江苏省无锡一中2013届高三开学检测数学试题.doc

1、 江苏无锡一中2013届高三开学检测数 学 试 题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分答案写在答卷纸上）1若全集，集合，则集合U M= 2若复数（，为虚数单位）是纯虚数,则实数的值为 3某校高一、高二、高三学生共有3200名，其中高三800名，如果通过分层抽样的方法从全体学生中抽取一个160人的样本，那么应当从高三的学生抽取的人数是 4在平面直接坐标系中，角的始边与轴的正半轴重合，终 边在直线上，且，则 5 从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第三象限的概率为 6某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为 7“”是“函数在其定义域上为奇函数”的

2、 条 件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）8已知实数满足线性约束条件，目标函数，若取最大值时的唯一最优解是(1,3)，则实数的取值范围是 9已知是双曲线-的左焦点，是双曲线的虚轴，是的中点，过的直线交双曲线于点，且，则双曲线的离心率是 10若正实数满足，则的最大值是 11已知数列是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，若存在常数对任意正整数都有，则 12如图，线段的长度为1，端点在边长不小于1的正方形的四边上滑动，当沿正方形的四边滑动一周时，的中点所形成的轨迹为，若的周长为，其围成的面积为，则的最大值为 13在平面直角坐标系中，点是第一象限内曲线上的一个动点，

3、点处的切线与两个坐标轴交于两点,则的面积的最小值为 .14记，对于任意实数，的最大值与最小值的和是 .二、 解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)已知函数（1）求函数的单调递增区间；（2）内角的对边分别为，若，且，试求角和角.16. (本小题满分14分)如图，四棱锥中，（）求证：；（）线段上是否存在点，使/ 平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由17. (本小题满分14分)如图，现有一个以为圆心角、湖岸与为半径的扇形湖面.现欲在弧上取不同于的点，用渔网沿着弧（弧在扇形的弧上）、半径和线段（其中），在该扇形湖面内隔出两个养殖

4、区域养殖区域和养殖区域. 若，.（1）用表示的长度；（2）求所需渔网长度（即图中弧、半径和线段长度之和）的取值范围.18. (本小题满分16分)已知椭圆的两个焦点分别为，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.（）求椭圆的方程；（）过点的直线与椭圆相交于，两点,设点，记直线，的斜率分别为，求证：为定值.19. (本小题满分16分)已知：函数 ，在区间上有最大值4，最小值1，设函数（1）求、的值及函数的解析式；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；（3）如果关于的方程有三个相异的实数根，求实数的取值范围20. (本小题满分16分)已知各项均为正数的数列的前n项和为，数列的前n项和为，满足.（

5、1）求p的值及数列的通项公式；（2）问是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，指出的关系，若不存在，请说明理由.若成等差数列，求正整数的值. 数学（附加题）注意事项：考试时间30分钟，由选考物理的考生作答。21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤B. 已知矩阵的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.C. 在极坐标系中，圆的方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），判断直线和圆的位置关系【必做题】第22题、第23题

6、，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.（本小题满分10分）甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为，三人各射击一次，击中目标的次数记为.（1）求的分布列及数学期望；（2）在概率(=0，1，2，3)中, 若的值最大, 求实数的取值范围.23. （本小题满分10分）已知，nN*.(1) 若，求中含项的系数；(2) 若是展开式中所有无理项的系数和，数列是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：(1)(1)(1)参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分答案写在答卷纸上）1.； 2.； 3.40； 4.； 5.；

7、 6.126； 7.充分不必要；8. ； 9.； 10.； 11.6； 12.； 13.； 14.4二、 解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15. (本小题满分14分)16. (本小题满分14分)（）证明：取中点，连结，因为 ，所以 2分因为 ，所以 ，又因为 ，所以四边形为矩形， 所以 4分 因为 ，所以 平面 6分所以 7分 （）解：点满足，即为中点时，有/ 平面8分证明如下：取中点，连接， 9分因为为中点，所以， 因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以 12分因为 平面，平面， 13分所以 / 平面 14分 17. (本小题满分14分)解：(

8、1) 由CDOA，AOB，AOC，得OCD，ODC，COD.在OCD中，由正弦定理，得CDsin，(6分)(2) 设渔网的长度为f()由(1)可知，f()1sin.(8分)所以f()1cos，因为，所以，令f()0，得cos，所以，所以.f()0f()极大值所以f().故所需渔网长度的取值范围是.(14分)18. (本小题满分16分)解:（）依题意，由已知得 ，由已知易得,解得. 3分 则椭圆的方程为. 4分(II) 当直线的斜率不存在时，由解得.设，则为定值. 6分当直线的斜率存在时，设直线的方程为：.将代入整理化简，得.7分依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，则，. 9分又，所以 10分

9、.15分综上得为常数2. .16分19. (本小题满分16分)解：（1），由题意得： 得 或 得（舍）， ，4分（2）不等式，即，设，10分（3），即令，则 记方程的根为、，当时，原方程有三个相异实根，记，由题可知，或14分时满足题设16分20. (本小题满分16分)解：（1）n=1时，即，.当时，.将n=2代入，得.与条件矛盾. 当时，.将n=2代入，得.由，得-，得则，即.则则-，得数列是等比数列，则，符合题意. 8分(2) 假设存在正整数，使得成等差数列. 则，当且仅当且成立. 即时取等号，与矛盾. 假设不成立，则不存在正整数，使得成等差数列. 若成等差数列，即成等差数列. 由知， 16

10、分附加题答案21.B解：矩阵M的特征多项式为 =1分因为方程的一根，所以3分由得，5分设对应的一个特征向量为,则得8分令,所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为10分C消去参数，得直线的直角坐标方程为； 2分即，两边同乘以得，得的直角坐标方程为：, 6分圆心到直线的距离，所以直线和相交 10分22. (1)是“个人命中,个人未命中”的概率.其中的可能取值为0，1，2，3. , ,. 所以的分布列为的数学期望为. 5分(2) ,.由和，得,即的取值范围是. 10分23. (1) 解：g(x)中含x2项的系数为C2C3C1104556.(3分)(2) 证明：由题意，pn2n1.(5分) 当n1时，p1(a11)a11，成立； 假设当nk时，pk(a1a2ak1)(1a1)(1a2)(1ak)成立，当nk1时，(1a1)(1a2)(1ak)(1ak1)2k1(a1a2ak1)(1ak1)2k1(a1a2akak1a1a2akak11)(*) ak1，a1a2ak(ak11)ak11，即a1a2akak11a1a2akak1，代入(*)式得(1a1)(1a2)(1ak)(1ak1)2k(a1a2akak11)成立综合可知，pn（a1a2an1）（1a1）（1a2）（1an）对任意nN*成立（10分）