湖北省宜昌第一中学高中数学第一章计数原理导学案.doc

1、11分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第1课时加法原理与乘法原理(一)学习目标：（1）理解分类计数原理与分步计数原理（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 购买福利彩票可以从当地投注站购买，也可以电话投注如果张三想购买一注福利彩票，他可以有几种购买方式？知识点一分类加法计数原理的解读完成一件事有_不同方案，在第1类方案中有_种不同的方法，在第2类方案中有_种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法知识点二分步乘法计数原理的解读完成一件事需要_步骤，做第1步有_种不同的方法，做第2步有_种不同的方法，那么完成这件事共有N_种不同的方法题组一分类计数原理的应用【例题演练】1某一数

2、学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数为_种2一个信箱中有15封信，另一个信箱中有5封信，每封信的内容均不相同，从两个信箱中任取一封信，有多少种不同的取法？题组二分步计数原理的应用【例题演练】1将1,2,3填入33的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有()123312231A6种 B12种C24种 D48种2某人有3个不同的电子邮箱，他要发5个电子邮件，有多少种发送方法？题组三两个原理的综合应用【例题演练】1如图111所示，有A、B、C、D四个区域，用红、黄、

3、蓝三种颜色涂上，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同，共有_种不同的涂法图111图1122如图112所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数【变式巩固】某商店失窃，警察审讯4名犯罪嫌疑人他们当然不会承认是自己偷的，都说是其余3人中的某一个人偷的，他们的供述结果互不相同，共多少种不同的供述结果？当堂检测1要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？2若分给你10块完全一样的糖，规定每天至少吃一块，每天吃的块数不限，问共有多少种不同的吃法？n块糖呢？ 第2课时加法原理与乘法原理(二)学习目标：会

4、利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同(1)从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？(2)从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？知识点分类加法计数原理与分步乘法计数原理的联系与区别1分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的_的问题2区别在于：分类加法计数原理针对的是_问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是_问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事题组一运用两个原理解决含有限制条件的实际问题【例题演练】1若x，y

5、N*，且xy6，则有序自然数对(x，y)的个数为()A6 B8 C10 D152已知集合Aa1，a2，a3，a4，集合Bb1，b2，其中ai，bj(i1,2,3,4，j1,2)均为实数(1)从集合A到集合B能构成多少个不同的映射？(2)能构成多少个以集合A为定义域，集合B为值域的不同的函数？题组二两个基本原理思想的灵活运用【例题演练】1将3种作物种植在如图113所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方法共有_种(以数字作答)图1132同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有多少种？【变式巩固】

6、从0,1,2,3,4,5,6中任意取出三个不同的数字作为二次函数yax2bxc的系数，可有多少个不同的二次函数的表达式？其中二次函数对应的曲线关于y轴对称的有多少个？当堂检测1在120共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?2. 如图一,要给,四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为( ) A. 180 B. 160 C. 96 D. 60图一图二图三若变为图二,图三呢?(240种,5444=320种)3.75600有多少个正约数?有多少个奇约数?解:75600的约数就是能整除75600的整数,所以本题就是

7、分别求能整除75600的整数和奇约数的个数. 由于 75600=2433527(1) 75600的每个约数都可以写成的形式,其中,于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即分别在各自的范围内任取一个值,这样有5种取法,有4种取法,有3种取法,有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5432=120个.(2)奇约数中步不含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成的形式,同上奇约数的个数为432=24个. 1.2排列与组合 12.1排列 学习目标：理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导1从甲、乙、丙三位同学中选举两人担任正副班长，有多少种不同的选法？与顺序有关吗？2明年高考

8、填报志愿，假如你选择了第一批志愿中的四个，现需要从中选择三个填写在如下的志愿表中，有多少种不同的填法？高考志愿第一志愿第二志愿第三志愿知识点一排列及其特征1排列的定义：一般地，从_个不同元素中取出m(mn)个元素，按照_排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列2由排列的定义可知，排列与元素的_有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题知识点二排列数与排列数公式1排列数：从_个不同元素中取出_(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号_表示2排列数公式：An(n1)(n2)(nm1)3排列与阶乘：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素

9、的一个全排列这时公式中的mn，即有An(n1)(n2)321.正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示所以n个不同元素的全排列数公式可以写成An！.另外，我们规定0！1.因此排列数公式还可以写成A.4注意区别“一个排列”与“排列数”的不同：“一个排列”是指“从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列”，不是_；“排列数”是指“从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数”，是一个_因此符号只代表_，而不表示具体的排列题组一排列数公式的计算【例题演练】1(1)计算：A_；(2)化简：1！22！33！nn！_.2(1)计算：； (2)解方程：3A2A6A.题组二排列的应用【例题演练

10、】1沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备的不同的火车票数为()A15 B30 C12 D362某博物馆计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须放在一起，并且水彩画不放在两端，不同的陈列种数有多少种？题组三含有限制条件的排列应用题【例题演练】1三个女生和五个男生排成一排(1)如果女生全排在一起，有_种不同排法；(2)如果女生互不相邻，有_种不同排法；(3)如果女生不站两端，有_种不同排法；(4)如果甲排在乙的前面，有_种不同排法2用0,1,2,3,4,5这六个数字(1

11、)可组成多少个不同的自然数？(2)可组成多少个无重复数字的五位数？(3)可组成多少个无重复数字的五位奇数？(4)可组成多少个无重复数字的能被5整除的五位数？(5)可组成多少个无重复数字的且大于31 250的五位数？(6)可组成多少个无重复数字的能被3整除的五位数？【变式巩固】为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为_种(用数字回答)当堂检测1.求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻；（2）6男2女排成一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻；（4）4

12、男4女排成一排，同性者不能相邻2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？3 某小组6个人排队照相留念(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？(4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？(6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？2答 在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个3解 (1

13、)P66=720(种)(2)P21P41P44=2424=192(种)(3)P55P22=1202=240(种)(4)P66=360(种)(5)P43P33=246=144(种)(6)P55+P41P41P44=120+4424=504(种)或法二：(淘汰法)P66-2P55+P44=720-240+24=504(种)1.2.2组合学习目标：1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式；2.能正确认识组合与排列的联系与区别参加“哥本哈根”气候大会的甲、乙、丙、丁四个企业家进行合影留念，每两人进行一次合影，一共需要多少次合影？与顺序有关系吗？知识点一组合及其特点1定义：一般地，从_个不同元素中取出m

14、(mn)个元素_，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合2排列与组合的联系和区别共同点：都要“从n个不同元素中任取m个元素”，构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤，即选出元素不同点：排列与元素的顺序_，而组合与元素的顺序_知识点二组合数与组合数公式1组合数：从n个不同元素中抽取m(mn)个元素的_，叫做从n个不同元素中抽取m个元素的组合数，用符号_表示2组合数公式：C思考 组合数公式的推导方法对我们的解题有何启发？知识点三组合数的性质解读性质1：CC.性质2：CCC.题组一组合定义及组合数公式的应用【例题演练】1集合0,1,2,3的含有三个元素的子集的个数是()A4

15、B5 C7 D8 2用没有任何三点共线的五个点可以连成_条线段；如果是有向线段，共有_条3计算：(1)A_；(2)CCC_.题组二含有限制条件的组合应用题【例题演练】1空间10个点，其中有5点在同一个平面内，其余无三点共线，四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为()A205 B110 C204 D2002从7名男生5名女生中选出5人，分别求符合下列条件的选法种数有多少种：(1)A、B必须当选；(2)A、B都不当选；(3)A、B不全当选；(4)至少有2名女生当选；(5)选出5名同学，让他们分别担任体育委员、文娱委员等5种不同工作，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任【变式巩固】5

16、个身高均不相同的学生排成一排合影留念，高个子站中间，从中间到左边和从中间到右边一个比一个矮，则这样的排法共有多少种？当堂检测1（1）计算：；（2）求证：+2解方程：（1）； （2）解方程：3. 有同样大小的4个红球，6个白球。(1)从中任取4个，有多少种取法？(2)从中任取4个，使白球比红球多，有多少种取法？(3)从中任取4个，至少有一个是红球，有多少种取法？(4)假设取1个红球得2分，取1个白球得1分。从中取4个球，使总分不小于5分的取法有多少种？解决排列组合问题常见策略学习指导1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集

17、合中的元素是无序的。较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列。排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧。集合是常用的工具之一。为了将抽象问题具体化，可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。“正难则反”是处理问题常用的策略。常用方法：一. 合理选择主元例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？二. “至少”型组合问题用

18、隔板法对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n1份。例2. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？三. 注意合理分类元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。再用分类计数原理求出总数。例3. 求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。四. 特殊元素（位置）用优先法把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。例4. 6人站成一横排，其

19、中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。五. 分排问题用直排法对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成一排的方法求解。例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？六. 复杂问题用排除法对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。例6. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（ ）A. 150种

20、B. 147种 C. 144种 D. 141种七. 多元问题用分类法按题目条件，把符合条件的排列、组合问题分成互不重复的若干类，分别计算，最后计算总数。例7. 已知直线中的a，b，c是取自集合3，2，1，0，1，2，3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。八. 排列、组合综合问题用先选后排的策略处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。例8. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？九顺序问题用“除法”对于几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素同其余元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数

21、。例9：7个节目，甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现，有多少种排法？十特征分析研究有约束条件的排数问题，需紧扣题中所提供的数字特征，结构特征，进行推理，分析求解。例10：由1，2，3，4，5，6这六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？十一、利用对应关系有些时候，一个事件与一个结果之间存在一一对应的关系。例11：在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛后，失败者退出比赛），最后产生一名冠军，需举行多少场比赛？十二、用比例法有些排列应用题，可以根据每个元素出现机会占整个问题的比例，从而求得问题的结果。例12：从6个运动员中选出4个参加4100 米接力赛。如果甲、乙都不能跑第一棒，那么共

22、有多少种不同的参赛方案？十三、“树图”表示法 对某些分步进行的问题，可依次对每步可能出现的情况用“树”状图形表示出来。例13：四人各写出一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式有（ ）种。A.6 B.9 C.11 D.32例14.把棵不同的蔬菜，分别捆成捆，在下列情况下，分别有多少分捆的方法？每捆棵；一捆3棵，一捆2棵，一捆1棵.例15.把6棵不同的菜，分别种在3块不同的土地上，在下列情况下，分别有多少种植方法？ 每块地上种2棵； 甲地3棵，乙地2棵，丙地1棵； 一块地上3棵，一块地上2棵，一块地上1棵.道路网走法的一般解法题目 图1是某城市道路网的局部

23、，横向m个格子，纵向n个格子，若只允许向东或向北走，则从A处到B处有多少种不同的走法？ 本题在很多资料中都能见到，其解法是把道路网简化成较少格子后分步求，或猜想出一般结论，而没有证明。下面用组合知识给出其一般性的推导过程及结论。从A处到B处走每个格子的一边作为一步，则对于mn的网格共走mn步，我们把这mn步看作mn个位置。由于每种走法均为向东走了m步，向北走了n步，这样，当从mn个位置中选出m个位置作为向东走的各种情形，有种选法，剩余n个位置为向北走，所有不同走法有种。也可以这样计算：从mn个位置中选n个作为向北走的各种情形，剩余m个位置为向东走。故所求的不同走法有种。例 ：图2是65的网格线

24、图，只允许走网线，则从A经过C到B处的最短路线有多少条？解 最短路线的走法只能向上或向右走，从A处到C处有15条。从C处到B处有10条。故满足题设的最短路线有1510150条。例：如图，从56方格中的顶点A到顶点B的最短线路有多少条？ 分析：从A到的最短路线均需走11步，（一步即为一个单位），即横向走6步，纵向走5步，因此要确定一种走法，只需确定这11步中哪6步是横向走即可，故不同的走法为C116=462种. 答案：462种。解决排列组合问题常见策略答案例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座

25、位，有几种不同的坐法？解1-2分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有种不同坐法。例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。例2. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？解2：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有：（种）例3. 求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。解3：比2015大的四位数可

26、分成以下三类：第一类：3，4，5，共有：（个）；第二类：21，23，24，25，共有：（个）；第三类：203，204，205，共有：（个）比2015大的四位数共有237个。例4. 6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。解4法1：（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法，故站法共有：480（种）解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有种；第二步再让

27、剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有种，故站法共有：（种）例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？解5：9个人可以在三排中随意就坐，无其他限制条件，所以三排可以看作一排来处理，不同的坐标共有种。例6. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种解6：从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种；第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种；第三类，由中位线构成的平行四边形（

28、其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：（种）。例7. 已知直线中的a，b，c是取自集合3，2，1，0，1，2，3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数。解7：设倾斜角为，由为锐角，得，即a，b异号。（1）若c0，a，b各有3种取法，排除2个重复（，），故有：3327（条）。（2）若，a有3种取法，b有3种取法，而同时c还有4种取法，且其中任意两条直线均不相同，故这样的直线有：33436（条）。从而符合要求的直线共有：73643（条）例8. 将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名

29、教师，则不同的分派方案共有多少种？解8：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：（种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有：（种）。因此共有36种方案。例9：7个节目，甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现，有多少种排法？解9分析：7个节目的全排列为A77,甲、乙、丙之间的顺序已定。所以有A77A33=840种。答案：840种。例10：由1，2，3，4，5，6这六个数可组成多少个无重复且是6的倍数的五位数？解10分析：6的倍数既是2的倍数，又是3的倍数。是2的倍数，个位上为2、4或6；是3 的倍数必须

30、满足各个数字上的数字之和是3的倍数的特征。把这6个数分组（3）、（6）、（1，5）、（2，4），每组的数字和都是3的倍数，因此可分成两类讨论。第一类：由1、2、4、5、6作数码，首先从2、4、6中任选一个作为个位数字，有A31种，然后其余4个数字在其它数字上全排列有A44,所以，N1=A31A44个，第二类：由1、2、3、4、5作数码，依上法有N2=A21A44个。故N=N1+N2=120个。例11：在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场比赛后，失败者退出比赛），最后产生一名冠军，需举行多少场比赛？解11分析：要产生一名冠军，需要淘汰99名选手。要淘汰掉一名选手，必须举行一场比赛；反之，每

31、场比赛恰淘汰一名选手。两者之间一一对应。故要淘汰99名选手，应举行99场比赛，从而产生一名冠军。例12：从6个运动员中选出4个参加4100 米接力赛。如果甲、乙都不能跑第一棒，那么共有多少种不同的参赛方案？解12分析：若不受条件限制，则参赛方案有A64=360种，但其中限制甲、乙两人不能跑第一棒，即跑第一棒的只能是其他的人，而这4人在第一棒中出现的可能性为4/6故所求参赛方案有46A64=240种。答案：240种。例13：四人各写出一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配方式有（ ）种。A.6 B.9 C.11 D.32解13分析：将四张贺卡分别记为A,B,

32、C,D。由题意，某人（不妨设为A卡的供卡人）取卡有3种情况。因此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其它人依次取卡分步进行。为避免重复或遗漏现象，可用树状图表示。 ADC ADB ABCBCDA CDAB DCAB DAC DBA CBA所以共有9种不同的分配方式。又或：分析：设4人为甲、乙、丙、丁，则甲送出的卡片可以且只可以由其他三人中的一人收到，故有3种分配方式。以乙收到为例，其他人收到卡片的情况可分为两类：第一类，甲收到乙送出的卡片，这时丙、丁只有互送卡片1种分配方式；第二类，甲收到的不是乙送出的卡片，这时，甲收到卡片的方式有2种（分别是丙或丁送出的），对每一种情况，丙、丁收到卡片的

33、方式只有1种。因此，根据分步计数原理，不同的分配方式有：3（12）9（种）。注意：解题的关键在第2个人和第3个人的拿法，只要给他们规定一个拿卡的顺序，依次进行，则根据分步计数原理即可求得。例14.把棵不同的蔬菜，分别捆成捆，在下列情况下，分别有多少分捆的方法？每捆棵；一捆3棵，一捆2棵，一捆1棵.解14： 例15.把6棵不同的菜，分别种在3块不同的土地上，在下列情况下，分别有多少种植方法？ 每块地上种2棵； 甲地3棵，乙地2棵，丙地1棵； 一块地上3棵，一块地上2棵，一块地上1棵.解15： 变式：如果是7棵不同的菜，种到3块土地上，一块地上3棵，一块地上2棵，还有一块地上2棵呢？答案为 13二

34、项式定理13.1二项式定理 学习目标：1、能用计数原理证明二项式定理；2、掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式1(1)(ab)2_；(2)(ab)3_.2(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)展开式的各项都是4次式，每项是怎么样的？它们的系数有什么特点？怎样用组合的观点解释？知识点一二项式定理解读二项式定理：(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)1项数：n次二项展开式共有_项2次数：字母a的次数从n逐项递减到0，是_；字母b的次数从0逐项递增到n，是_；各项次数和均为二项式的次数n.3二项式系数：C叫做(第k1项的)二项式系数知识点二二项展开式的通项Canrbr叫二项展开

35、式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Canrbr.思考 当a1，bx时，二项式定理有何特征？题组一利用二项式定理求展开式【例题演练】14的展开式为_2写出5的展开式题组二二项展开式通项的应用【例题演练】1(xa)12的展开式中的倒数第4项为_2二项式n的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，求此展开式的有理项【变式巩固】求(1xx2)6的展开式中x5的系数当堂检测1展开2展开3求的展开式中的倒数第项4求（1）， （2）的展开式中的第项5（1）求的展开式常数项； （2）求的展开式的中间两项13.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学习目标：理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用1(1)(ab)n

36、_ ；(2)(1x)n_.2二项展开式的通项公式：Tr1_.知识点一二项式系数表(杨辉三角)1上述数表是我国南宋数学家杨辉在1261年所著的详解九章算法一书中最先提出的，是我国古代数学的一个重要成果，比欧洲早五百年左右，我们把这个数表称为_2从第一项起至中间项，二项式系数_，随后又_3表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上_知识点二二项式系数的性质二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(CC)(2)增减性与最大值：因为CC，所以C相对于C的增减情况由决定，1k.(3)二项式系数和：(1x)nCCxCx2CxrCxn，令x1，则2nCCCCC.题组

37、一二项式系数的性质【例题演练】已知n的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中二项式系数最大的项的系数【变式巩固】在(x2y)7的展开式中，求系数最大的项题组二二项式系数和的应用【例题演练】1设100a0a1xa2x2a100x100，则(1)a0_；(2)a1a2a3a4a100_；(3)a1a3a5a99_.2在12的展开式中，求：(1)各二项式系数之和；(2)奇数项二项式系数和；(3)偶数项二项式系数和【变式巩固】若多项式x2x10a0a1(x1)a9(x1)9a10(x1)10，则a9_.题组三二项式定理的综合应用【例题演练】1今天是星期一，今天是第一天，那么第810天是星期

38、()A一 B二 C三 D四2设f(x)(1x)m(1x)n(m、nN)，若其展开式中，关于x的一次项系数为11，试问：m、n取何值时，f(x)的展开式中x2项的系数取最小值，并求出这个最小值当堂检测1在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和2已知，求：（1）； （2）； （3）.3.求(1+x)+(1+x)2+(1+x)10展开式中x3的系数4.在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数5.已知的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项二项式定理1二项式定理：，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。二项式系数:展开式中各项的

39、系数.项数：共项，是关于与的齐次多项式通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。3注意关键点：项数：展开式中总共有项。顺序：注意正确选择,其顺序不能更改。与是不同的。指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于.系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数是与的系数（包括二项式系数）。4常用的结论：令 令 5性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，二项式系数和：令,则二项式系数的和为， 变形式。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令，则，从而得到：奇数项的系数和与偶数项的

40、系数和：二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值。 如果二项式的幂指数是奇数时，则中间两项的二项式系数,同时取得最大值。系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来。6二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；例1：练1：题型二：利用通项公式求的系数；例2：在二项式的展开式中倒数第项的系数为，求含有的项的系数？练2：求展开式中的系数？题型三：利用通项公式求常数项；例3：求二项式的展开式中的常数项？练3：求二项式的展开式中的常数项？练3-2：若的二项展开式中第项为常数项，则题

41、型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例4：求二项式展开式中的有理项？题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例5：若展开式中偶数项系数和为，求.练5：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。题型六：最大系数，最大项；例6：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？练6-1：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？练6-2：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？例7：写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？例8：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？练8：在的展

42、开式中系数最大的项是多少？题型七：含有三项变两项；例9：求当的展开式中的一次项的系数？练9：求式子的常数项？.题型八：两个二项式相乘；例10：.练10：练11：题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例11：题型十：赋值法；例12：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若,则等于多少？练12：若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？例13：练14：题型十一：整除性；例15：证明：能被64整除6二项式定理的十一种考题的解法：参考答案题型一：二项式定理的逆用；例1：解1：与已知的有一些差距， 练1：解1：设，则题型二：利用通项公式求的系数；例2：在二项式的展开式中倒数

43、第项的系数为，求含有的项的系数？解：由条件知，即，解得，由，由题意，则含有的项是第项,系数为。练2：求展开式中的系数？解2：，令,则故的系数为。题型三：利用通项公式求常数项；例3：求二项式的展开式中的常数项？解：，令，得，所以练3：求二项式的展开式中的常数项？解3-1：，令，得，所以练3-2：若的二项展开式中第项为常数项，则解3-2：，令，得.题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例4：求二项式展开式中的有理项？解4：，令,()得，所以当时，当时，。题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例5：若展开式中偶数项系数和为，求.解：设展开式中各项系数依次设为 ,则有，,则有 将-

44、得： 有题意得，。练5：若的展开式中，所有的奇数项的系数和为，求它的中间项。解5：，解得 所以中间两个项分别为，题型六：最大系数，最大项；例6：已知，若展开式中第项，第项与第项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数是多少？解6：解出，当时，展开式中二项式系数最大的项是，当时，展开式中二项式系数最大的项是，。练6-1：在的展开式中，二项式系数最大的项是多少？解6-1：二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大，即，也就是第项。练6-2：在的展开式中，只有第项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？解6-2：只有第项的二项式最大，则，即,所以展开式中常数项为第七项等于例7：

45、写出在的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？解7：因为二项式的幂指数是奇数，所以中间两项()的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有的系数最小，系数最大。例8：若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？解8：由解出,假设项最大，化简得到，又，展开式中系数最大的项为,有练8：在的展开式中系数最大的项是多少？解8：假设项最大，化简得到，又，展开式中系数最大的项为题型七：含有三项变两项；例9：求当的展开式中的一次项的系数？解9法：，当且仅当时，的展开式中才有x的一次项，此时，所以得一次项为它的系数为。解9法： 故展开式中含的项为，故展开式中的系数为240.练9：求式子的常数项？

46、解9：，设第项为常数项，则，得, .题型八：两个二项式相乘；例10：解10： .练10：解10：.练11：解11：题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例11：解11：题型十：赋值法；例12：设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为,若,则等于多少？解12：若，有， 令得，又,即解得，.练12：若的展开式中各项系数之和为，则展开式的常数项为多少？解12：令，则的展开式中各项系数之和为，所以，则展开式的常数项为.例13：解13： 练14：解14：题型十一：整除性；例15：证明：能被64整除证15：由于各项均能被64整除本章总结提升题组一两个原理的综合运用【例题演练】1将4名新来的

47、同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名同学，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案有() A18种 B24种C54种 D60种2用0,1,2,3,4,5,6这七个数字能够组成多少个无重复数字的四位偶数？题组二含有限制条件的排列组合问题【例题演练】1四张卡片上分别标有数字“2”，“0”，“0”，“9”，其中，“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为()A6 B12C18 D2422位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是()A60 B48C42 D36题组三二项式定理的综合应用【例题演练】1若

48、(12x)2 009a0a1xa2 009x2 009(xR)，则的值为()A2 B0C1 D224的展开式中x3y3的系数为_12011全国卷 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A4种 B10种 C18种 D20种解析 B若取出1本画册，3本集邮册，有C种赠送方法；若取出2本画册，2本集邮册，有C种赠送方法，则不同的赠送方法有CC10种，故选B.22011陕西卷 (4x2x)6(xR)展开式中的常数项是()A20 B15 C15 D20解析 C由Tr1Canrbr可知所求的通项为Tr1C(4x)6r(2x)rC(1)r

49、(2x)123r，要出现常数项，则r4，则常数项为C(1)415，故选C.32011北京卷 用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有_个(用数字作答)答案 14解析 若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，对个位，十位，百位，千位，每个“位置”都有两种选择，所以共有2416个四位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16214个满足要求的四位数42011山东卷 若6展开式的常数项为60，则常数a的值为_答案 4解析 Tr1Cx6rrCx6r(1)rax2rCx63r(1)ra，由63r0，得r2, 所以Ca60，所以a4.52011广东卷 x7的展开式

50、中，x4的系数是_(用数字作答)答案 84解析 先求x7中x3的系数，由于Tr1Cx7rrCx72r(2)r，所以72r3，所以r2，即x4的系数为C(2)284.62011湖北卷 给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色，当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如图T11所示：图T11由此推断，当n6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_种(结果用数值表示)答案 2143解析 (1)以黑色正方形的个数分类：若有3块黑色正方形，则有C4种；若有2块黑色正方形，则有C10种；若有1块黑色正方形，则有C6种；若无黑色正方形，则有1种所以共有4106121种(2)至少有2块黑色相邻包括：有2块黑色相邻，有3块黑色相邻，有4块黑色相邻，有5块黑色相邻，有6块黑色相邻等几种情况有2块黑色正方形相邻，有(CC)AC23种；有3块黑色正方形相邻，有CAC12种；有4块黑色正方形相邻，有CC5种；有5块黑色正方形相邻，有C2种；有6块黑色正方形相邻，有1种故共有231252143种