湖北省巴东一中高二数学教案 选修2-1：3.doc

1、3.2.4坐标法中解方程组求向量的有关问题【学情分析】：教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,前面已经学习了直线的方向向量和平面的法向量，并且对坐标法也有一定的认识，本节课是进一步通过坐标法来解决立体几何的一些问题。我们可以将这些问题，转化为空间向量的代数运算和方程组来解决。【教学目标】：（1）知识与技能：能根据图形的特点建立合适的空间坐标系并用坐标表示点和向量；对某个向量能用解方程组的方法求其坐标.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合与问题转化的思想方法，加深对相关内容的理解。（3）情感态度与价值观：体会把立方体几何几何转化为向量问题优势，培养探索精神。【

2、教学重点】：解方程组求向量的的坐标.【教学难点】：解方程组求向量的的坐标.【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一、复习引入1 单位向量，平面的法向量 （1）单位向量模为1的向量。 （2）平面的法向量垂直于平面的向量。2 坐标法。为探索新知识做准备.二、探究与练习一、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”学生回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，与老师共同得出用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点

3、、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）二、例题例1：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求证：平面A1BC1的法向量为直线DB1的方向向量.分析：（1）建立空间坐标系； （2）用坐标表示向量 （3）设平面A1BC1的方向向量为n=(x,y,z)，由下列关系列方程组求x,y,z. （4）证明向量n/ （解略）思考：有更简单的方法吗？向量 与、的数量积为零即可。 例2，ABCD是一个直角梯形，角ABC是直角，SA垂直于平面ABCD，SA=AB=BC=1,AD=0.5,求平面SCD与平

4、面SBA所成二面角的余弦。 分析：求二面角的余弦，可以转换为求它们的方向向量夹角的余弦。所以本题关键是求平面的法向量。解：以 A为原点建立空间直角坐标系，使点A、C、D、S的坐标分别为A（0，0，0）、C（1，1，0）、D（0，0.5、0）、S（0，0，1）。设平面F1F2F3ACO500kgB分析：建立坐标系，将向量坐标化，然后进行坐标形式下的向量运算。为简化运算，可以选择以三角形的一个顶点为原点、一条边所在直线为一条轴、三角形所在平面为坐标平面的坐标系。 探究：不建立坐标系，如何解决这个问题？ 求每个力向上的分力。让学生通过回顾寻找将立体几何问题转化为向量问题的步骤。例1在建立坐标系后，比

5、较简单，容易把握。分析中的方法是为配合本次课的课题而设计的。由学生回答本例的简便解法。例2是一个典型的通过解方程组求法向量的问题，这类问题可以不用作出二面角的平面角就求出结果。取y2，因为只要向量的方向。例3是数学与物理的综合应用问题，求合力转化为向量的加法。帮助学生理解如何建立坐标系。单位向量的模为1。开拓学生思维。三、拓展与提高1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P在A1B1上，Q在BC上，且A1P=QB，M、N分别为AB1、PQ的中点。求证：MN/平面ABCD。 证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz设正方形边长为2，又设A1P=BQ=2x则P(2，2x，2)、Q(2-2x，

6、2，0)，故N(2-x, 1+x, 1),而M(2, 1, 1)所以向量 =(-x, x, 0)，又平面AC的法向量为=(0, 0, 1)， =0 又M不在平面AC 内，所以MN平面AC。2，课本P122第11题。答案：3/8.学生进行提高训练应用.四、小结1 根据图形特点建立合适的空间直角坐标系，用坐标表示点和向量，通过向量解决问题。2 个别点和向量的坐标先假设，再列方程组来求出。反思归纳五、作业课本P121 ，第 6 题 和P122第10题。练习与测试：（基础题）1，已知S是ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若，则xyz 答：02，把边长为的正三角形沿高线折成的二面角，点到的距离是（

7、）A B C D答：D3，若a=(2x,1,3),b=(1,2y,9),如果a与b为共线向量，则A.x=1,y=1 B.x=,y= C.x=,y=D.x=,y=解析：因为a=(2x,1,3)与b=(1,2y,9)共线，故有=,x=,y=,应选C.答案：C4，若空间三点A(1，5，2)、B(2，4，1)、C(p,3,q+2)共线，则p=_,q=_.解析：A、B、C三点共线，则=,即(1，1，3)=(p1,2,q+4)，=，代入得p=3,q=2.答案：3 2（中等题）CBAOC1B1O1A1EFyxz5，棱长为a的正方体OABCO1A1B1C1中，E、F分别为棱AB、BC上的动点，且AE=BF=x

8、（0xa）. 如图，以O为原点，直线OA、OC、OO1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 求证：A1FC1E； 当BEF的面积取得最大值时，求二面角B1EFB的正切值.证明：（1）A1（a，0a），F（a-x，a，0），C1（0，a，a），E（a，x，0） 所以 ，由此得=0， A1FC1E （2）当BEF的面积取得最大值时，E、F应分别为相应边的中点，可求得二面角B1EFB的正切值.6，如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱BC的中点，点F是棱CD上的动点.试确定点F的位置，使得D1E平面AB1F；解：以A为坐标原点，建立下图所示的空间直角坐标系.设DF=x，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1), E(1,0),F(x,1,0). =(1，1)，=(1，0，1)，=(x,1,0). =11=0，即D1EAB1. 于是D1E平面AB1FD1EAF=0x=0，即x=.故当点F是CD的中点时，D1E平面AB1F.