全国通用2022高考数学二轮复习专题一第4讲函数图象的切线及交点个数问题训练文.docx

1、第4讲函数图象的切线及交点个数问题一、选择题1.曲线y在点(1，1)处的切线方程为()A.y2x1 B.y2x1C.y2x3 D.y2x2解析易知点(1，1)在曲线上，且y，所以切线斜率ky|x12.由点斜式得切线方程为y12(x1)，即y2x1.答案A2.(2022武汉模拟)若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab的值为()A.1 B.0 C.1 D.2解析f(x)asin x，f(0)0.又g(x)2xb，g(0)b，b0.又g(0)1m，f(0)am1，ab1.答案C3.(2022邯郸模拟)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1，3)，则

2、2ab的值为()A.2 B.1 C.1 D.2解析y3x2a.y|x13ak，又3k1，k2，a1.又31ab，b3，2ab231.答案C4.(2022武汉模拟)曲线yxln x在点(e，e)处的切线与直线xay1垂直，则实数a的值为()A.2 B.2 C. D.解析依题意得y1ln x，y|xe1ln e2，所以21，a2，故选A.答案A5.已知e是自然对数的底数，函数f(x)exx2的零点为a，函数g(x)ln xx2的零点为b，则下列不等式中成立的是()A.f(a)f(1)f(b) B.f(a)f(b)f(1)C.f(1)f(a)f(b) D.f(b)f(1)f(a)解析由题意，知f(x

3、)ex10恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，而f(0)e00210，f(1)e112e10，所以函数f(x)的零点a(0，1)；由题意，知g(x)10，所以g(x)在(0，)上是单调递增的，又g(1)ln 11210，g(2)ln 222ln 20，所以函数g(x)的零点b(1，2).综上，可得0a1b2.因为f(x)在R上是增函数，所以f(a)f(1)f(b).答案A二、填空题6.(2022全国卷)已知曲线yxln x在点(1，1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.解析由yxln x，得y1，得曲线在点(1，1)的切线的斜率为ky|x12，所以切线方程为y12(x1)

4、，即y2x1，此切线与曲线yax2(a2)x1相切，消去y得ax2ax20，得a0且a28a0，解得a8.答案87.函数f(x)x3x23x1的图象与x轴的交点个数是_.解析f(x)x22x3(x1)(x3)，函数f(x)在(，1)和(3，)上是增函数，在(1，3)上是减函数，由f(x)极小值f(3)100，f(x)极大值f(1)0知函数f(x)的图象与x轴的交点个数为3.答案38.(2022长沙模拟)关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_.解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x

5、10，x22.当x0时，f(x)0；当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值f(0)a；当x2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(2)4a，所以解得4a0.答案(4，0)三、解答题9.已知函数f(x)x3x2axa，xR，其中a0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(2，0)内恰有两个零点，求a的取值范围.解(1)f(x)x2(1a)xa(x1)(xa).由f(x)0，得x11，x2a0.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值故函数f

6、(x)的单调递增区间是(，1)，(a，)；单调递减区间是(1，a).(2)由(1)知f(x)在区间(2，1)内单调递增，在区间(1，0)内单调递减，从而函数f(x)在区间(2，0)内恰有两个零点当且仅当解得0a.所以a的取值范围是.10.(2022郑州模拟)已知函数f(x)xln x，g(x)x2ax2(e为自然对数的底数，aR).(1)判断曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与曲线yg(x)的公共点个数；(2)当x时，若函数yf(x)g(x)有两个零点，求a的取值范围.解(1)f(x)ln x1，所以切线斜率kf(1)1.又f(1)0，曲线在点(1，0)处的切线方程为yx1.由x2(1a

7、)x10.由(1a)24a22a3(a1)(a3)可知：当0时，即a1或a3时，有两个公共点；当0时，即a1或a3时，有一个公共点；当0时，即1a3时，没有公共点.(2)yf(x)g(x)x2ax2xln x，由y0，得axln x.令h(x)xln x，则h(x).当x时，由h(x)0，得x1.所以h(x)在上单调递减，在1，e上单调递增，因此h(x)minh(1)3.由h2e1，h(e)e1，比较可知hh(e)，所以，结合函数图象可得，当3ae1时，函数yf(x)g(x)有两个零点.11.(2022济南模拟)已知函数f(x)2ln xx2ax(aR).(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点，求实数m的取值范围.解(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2x.因为x，所以当g(x)0时，x1.当x1时，g(x)0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，则g(e)g，所以g(x)在上的最小值是g(e).g(x)在上有两个零点的条件是解得1m2，所以实数m的取值范围是.5