江苏省淮安市2016届高三5月信息卷（最后一模）考试数学试题 WORD版含解析.doc

1、江苏省淮安市2016届高三5月信息卷（最后一模）考试数学试题一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合，若，则 【答案】【解析】试题分析：因为，所以考点：集合运算，集合关系 2.设复数z满足，（为虚数单位），则复数的实部为 【答案】3【解析】试题分析：，即复数的实部为3考点：复数概念3.函数的定义域为 【答案】【解析】试题分析：由题意得，即定义域为考点：函数定义域4.某商场在五一黄金周的促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为 万元【答案】12【解析】试题分析：由题意得11时

2、至12时的销售额为考点：频率分布直方图5.右图是一个算法流程图，则输出的值是 结束Sk2 -5开始k2S100N输出k YkS第5题图【答案】11【解析】试题分析：第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；第四次循环：；结束循环，输出考点：循环结构流程图6.从中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 【答案】【解析】试题分析：从中随机取出两个不同的数，共有种不同方法，其中和为奇数包含种方法，因此所求概率为考点：古典概型概率7.已知圆锥的母线长为，高为，则此圆锥的底面积和侧面积之比为 【答案】【解析】试题分析：由题意得圆锥的底面半径为，因此圆锥的底面积和侧面积之比为考点：圆锥侧面积8.已知函

3、数，若曲线在点处的切线过原点，则实数 的值为 【答案】【解析】试题分析：因为，因此考点：导数几何意义 9.已知双曲线的右焦点到其一条渐近线距离为3，则实数的值是 【答案】或【解析】试题分析：由题意得，因此，即实数的值是或考点：双曲线性质10.已知函数（），且（），则 【答案】【解析】试题分析：由题意得，而，因此，解得考点：三角函数性质11.设满足约束条件则目标函数的取值范围为 【答案】【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中,因此当时过点C时，取最大值1，当时与直线相切时取最小值，当时，综上目标函数的取值范围为考点：线性规划12.已知等差数列的首项为，公差为，其前项和为若存在，

4、使得，则实数的最小值为 【答案】【解析】试题分析：由题意得，即，当且仅当时取等号，因为，又 ，所以实数的最小值为考点：等差数列求和，不等式求最值13.在区间上存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】【解析】试题分析：由二次函数图像知：当时，即；当时，即；综上实数的取值范围是考点：二次函数图像与性质14.如图，在等腰梯形中，点，分别为，的中点如果对于常数，在的四条边上，有且只有个不同的点使得成立，那么实数的取值范围为 第14题图【答案】（，）【解析】试题分析：由题意得，四条边上各存在两点.先建立直角坐标系：以CD中点为坐标原点，CD所在直线为x轴，则，根据对称性只需研究点在情况：当点在

5、上，满足存在两点;当点在上，满足存在两点;当点在上，满足存在两点;三种情况的交集为实数的取值范围为考点：向量数量积二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题满分14分）已知. （1）若，求角的值； （2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先由向量垂直坐标表示得，即，再根据角范围，确定（2）先根据向量的模的定义得，再根据同角三角函数关系及配角公式得，最后根据角的范围，根据余弦函数确定最值16.（本小题满分14分）在三棱锥PABC中，D为AB的中点（1）若与BC平行的平面PDE交AC于点E，求证：点为的中点；（2）若PA

6、PB，且PCD为锐角三角形，又平面PCD平面ABC，求证：ABPC【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】试题分析：（1）已知线面平行，一般利用线面平行性质定理转化为线线平行：BCDE再根据三角形中位线性质得E为AC中点（2）先由PAPB，得 ABPD，再利用面面垂直性质定理转化为线面垂直，作POCD，则PO平面ABC，从而得POAB，最后根据线面垂直判定定理得AB平面PCD，即得ABPC试题解析：（1）平面PDE交AC于点E，即平面PDE平面ABCDE，而BC平面PDE，BC平面ABC，所以BCDE. .3分在ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC中点. .6分（2）因为PAPB，D

7、为AB的中点，所以ABPD，. .8分因为平面PCD平面ABC，平面PCD平面ABCCD，在锐角PCD所在平面内作POCD于点O，则PO平面ABC.11分因为AB平面ABC，所以POAB，又POPDP，PO，PD平面PCD，则AB平面PCD，又PC平面PCD，所以ABPC. . .14分考点：线面平行性质定理，面面垂直性质定理，线面垂直判定与性质定理 17.（本小题满分14分）某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷泉的示意图如图所示，两点为喷泉，圆心为的中点，其中米，半径米，市民可位于水池边缘任意一点处观赏（1）若当时，求此时的值；（2）设，且 （i）试将表示为的函数，并求出的取值范

8、围；（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点处观赏喷泉时，观赏角度的最大值不小于，试求两处喷泉间距离的最小值第17题图【答案】（1）（2）（i），；（ii）【解析】试题分析：（1）已知中，两角一边求另一边，应用正弦定理：得（2）（i）利用余弦定理得及，从而，即，再根据求的取值范围，（ii）结合条件，利用余弦定理建立函数关系式：，利用基本不等式得，即，解得试题解析：（1）在中，由正弦定理得，易得3分（2）（i）易知，故，5分又因为，即，解得，即，；7分（ii）当观赏角度的最大时，取得最小值，由余弦定理可得11分由题意可知，解此不等式得，经验证，即13分答：（1）此时；（2）（i）所得函数关系式为

9、，；（ii）两处喷泉间距离的最小值为14分考点：正余弦定理，基本不等式求最值18.（本小题满分16分）已知椭圆：（）的离心率为，椭圆与轴交于两点，且（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上的一个动点，且点在轴的右侧，直线与直线交于两点，若以为直径的圆与轴交于，求点横坐标的取值范围及的最大值【答案】（1）（2）点横坐标，的最大值2【解析】试题分析：（1）先根据椭圆性质确定两个独立条件：，解方程组得（2）根据题意用点横坐标表示两点坐标：设，则可求得，因而可得以为直径的圆，进而得到与轴弦长，此时需要利用进行化简得，因此可得点横坐标，的最大值2试题解析：（1）由题意可得，3分 得， 解得， 椭圆的标准方

10、程为.5分（2）设， 所以，直线的方程为，同理得直线的方程为， 直线与直线的交点为， 直线与直线的交点为，线段的中点，10分所以圆的方程为，令，则， 因为，所以 ， 所以，12分因为这个圆与轴相交,该方程有两个不同的实数解，所以，解得14分设交点坐标，则（），所以该圆被轴截得的弦长为最大值为216分考点：直线与圆位置关系，两直线交点 19.(本小题满分16分)已知数列，其前项和为（1）若是公差为的等差数列，且也是公差为的等差数列，求数列的通项公式；（2）若数列对任意，且，都有，求证：数列是等差数列【答案】（1）（2）详见解析【解析】试题分析：（1）利用恒等式求等差数列通项公式：，因此，代入得（

11、2）从任意性入手：取，取，因此，即， ，而去，因此试题解析：（1）设，则，当时， ， ， 联立消去，得 得：，则，将代入解出（舍去）， 2分从而解得，所以. 4分此时，对于任意正整数满足题意. 6分（2）因为对任意，都有， 在中取， 8分同理，10分由知，,即，即， 12分中令，从而，即， 14分所以，数列成等差数列. 16分考点：求等差数列通项公式，证等差数列20.（本小题满分16分）已知函数，直线为曲线的切线为自然对数的底数（1）求实数的值；（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围【答案】（1）1（2）试题解析：（1）对函数求导得1分设直线与曲线切于点，则，解得所以

12、的值为14分（2）记函数，下面考察函数的符号对函数求导得，5分当时，恒成立6分当时，从而8分所以在内恒成立，故在内单调递减因为，所以又曲线在区间上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知，存在唯一的实数，使所以，；，所以从而所以12分由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，恒成立（1）当时，在内恒成立，即在恒成立记，则，当变化时，变化情况列表如下：0极小值所以故“在恒成立”只需，即14分（2）当时，当时，在内恒成立，综合（1）（2）知，当时，函数为增函数故实数的取值范围是16分考点：导数几何意义，利用导数研究函数最值，利用导数研究不等式恒成立问题附加题21.A（本小题满分10分）如图

13、，已知为的切线，为切点，直线交于点，过点作的垂线交于点，垂足为.证明：.第21A图【答案】详见解析【解析】试题分析：由射影定理得，而，因此试题解析：连接，因为是圆的切线，所以，又因为，所以，所以， 即， 5分因为为圆的直径，即，所以即，10分考点：射影定理 21.B（本小题满分10分）若圆在矩阵对应的变换下变成椭圆，求矩阵的逆矩阵.【答案】【解析】试题分析：先根据矩阵运算得，再运用转移法求轨迹与重合得，最后根据逆矩阵公式求得试题解析：设点为圆C：上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为，则，所以因为点在椭圆：上，所以，又圆方程为，故，即，5分又，所以，所以，8分所以10分考点：逆矩阵21.C（本小

14、题满分10分）已知曲线的极坐标方程是，直线的参数方程是（为参数）设直线与轴的交点是，是曲线上一动点，求的最大值.【答案】【解析】试题分析：先利用将极坐标方程化为直角坐标方程，再利用代入消元法将参数方程化为普通方程，最后利用直线与圆位置关系得的最大值.试题解析：曲线的极坐标方程可化为. 又，所以曲线的直角坐标方程为. 4分将直线的参数方程化为直角坐标方程，得，7分令，得，即点的坐标为(2，0). 又曲线的圆心坐标为(1，0)，半径，则， 所以.10分考点：极坐标化为直角坐标，参数方程化为普通方程，直线与圆位置关系21.D（本小题满分10分）实数满足，求证：.【答案】详见解析【解析】试题分析：利用

15、基本不等式得，类似可得，并对应相加得试题解析：证明：， 3分， 6分，9分当且仅当时，不等式等号成立三个不等式相加可得，10分考点：基本不等式22.（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中，已知，.是线段的中点. （1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的大小的余弦值.ABCDA1B1C1第22题图【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）利用空间向量研究线面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求面的法向量，最后利用向量数量积求夹角余弦值的绝对值，也是线面角的正弦值（2）利用空间向量研究二面角，首先建立恰当空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组求两个平面的法向量，

16、最后利用向量数量积求夹角余弦值，根据图形确定二面角的大小的余弦值与夹角余弦值之间关系.试题解析：因为在直三棱柱中，所以分别以、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则,因为是的中点，所以，2分（1）因为，设平面的法向量，则，即，取，所以平面的法向量，而，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为；5分（2），设平面的法向量，则，即，取，平面的法向量，所以，二面角的大小的余弦值10分考点：利用空间向量研究线面角、二面角 23.（本小题满分10分）已知非空集合满足若存在非负整数，使得当时，均有，则称集合具有性质设具有性质的集合的个数为（1）求的值；（2）求的表达式【答案】（1）（2）【解析】试题分

17、析：（1）因为，所以，对应的分别为，故（2）通过研究相邻两项之间关系，得递推关系，进而可求通项：设当时，具有性质的集合的个数为，当时，关键计算关于的表达式， 当为偶数时，为奇数，； 当为奇数时，为偶数，最后根据累加法解得试题解析：（1）当时，具有性质，对应的分别为，故3分（2）可知当时，具有性质的集合的个数为，则当时，其中表达也具有性质的集合的个数，下面计算关于的表达式，此时应有，即，故对分奇偶讨论， 当为偶数时，为奇数，故应该有，则对每一个，和必然属于集合，且和，和共有组数，每一组数中的两个数必然同时属于或不属于集合，故对每一个，对应的具有性质的集合的个数为，所以， 当为奇数时，为偶数，故应该有，同理，综上，可得又，由累加法解得即10分考点：数列新定义，数列递推关系 版权所有：高考资源网()