2021-2022学年新教材苏教版数学必修第一册课件：第7章 7-3 7-3-2 第3课时 正切函数的图象与性质 .ppt

1、7.3 三角函数的图象和性质 7.3.2 三角函数的图象与性质 第3课时 正切函数的图象与性质 第7章 三角函数 学 习 任 务核 心 素 养1了解正切函数图象的画法，掌握正切函数的性质(重点)2能利用正切函数的图象及性质解决有关问题(难点、易错点)1借助正切函数的图象研究问题，培养直观想象素养2通过正切函数的性质的应用，提升逻辑推理素养.情境导学探新知 NO.1正切函数是以 为周期的函数，因此画正切函数图象只需先画出一个周期内的图象，那么选择怎样的一个周期合适呢？仿照由正弦线画正弦函数图象的方法，自己尝试用该方法作出 ytan x，x2，2的图象知识点 正切函数的图象与性质解析式ytan x

2、图象定义域xxk2，kZ值域R周期奇偶性奇函数单调性在开区间_上都是增函数对称性无对称轴，对称中心为k2，0(kZ)k2，k2(kZ)正切函数在定义域内是单调函数吗？提示 不是1.思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)正切函数在定义域上是单调递增函数()(2)正切函数的对称轴方程为 xk2，kZ.()(3)正切函数的对称中心为(k，0)，kZ.()提示(1)正切函数在2k，2k，kZ 上是单调递增函数(2)正切函数不是轴对称图形(3)正切函数的对称中心为k2，0，kZ.答案(1)(2)(3)xxk2 3，kZ 因为 2x62k，kZ，所以 xk2 3，kZ.2.函数 ytan 2x6 的

3、定义域为_合作探究释疑难 NO.2类型1 正切函数的定义域 类型2 正切函数单调性的应用 类型3 正切函数的图象及应用 类型4 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性 类型 1 正切函数的定义域【例 1】求下列函数的定义域(1)y11tan2x4；(2)y3tan x3.解(1)要使 y11tan2x4有意义，则2x4k2kZ，2x4k4kZ，xk2 38 kZ，xk2 kZ，函数 y11tan2x4的定义域为xxk2 且xk2 38，kZ.(2)由题意得 3tan x30，tan x 3，k3xk2(kZ)，y3tan x3的定义域为xk3xk2，kZ.求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数

4、有关的函数的定义域时，除了函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数 ytan x 有意义(2)求正切型函数 yAtan(x)(A0，0)的定义域时，要将“x”视为一个“整体”，令 xk2，kZ，解得 x.跟进训练1求下列函数的定义域(1)y3tan 6x4；(2)y tan x1lg(1tan x)解(1)要使函数有意义应满足6x4k2，kZ.解得 x4k43，kZ.所以函数的定义域为xx4k43，kZ.(2)由题意知tan x101tan x0，即1tan x1，在2，2 上满足上述不等式的 x 的取值范围是4，4，又因为 ytan x 的周期为 k，kZ，所以函数的定义域为x4kx4k，k

5、Z.类型 2 正切函数单调性的应用【例 2】(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4 从小到大的排列顺序为_(2)求函数 y3tan 42x 的单调区间(1)tan 2tan 3tan 4tan 1 ytan x 在区间2，32 上是单调增函数，且 tan 1tan(1)，又2234132，所以 tan 2tan 3tan 4tan 1.(2)解 y3tan 42x 3tan2x4，由2k2x42k，kZ 得，8k2x38 k2，kZ，所以 y3tan 42x 的减区间为8k2，38 k2，kZ.1将本例(2)中的函数改为“y3tan12x4”，结果又如何？解 由 k212x4k2

6、(kZ)，得 2k2x0)的递增区间，即k，2k，kZ.1求函数 yAtan(x)(A0，0，且 A，都是常数)的单调区间的方法(1)若 0，由于 ytan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令 k2xk2，kZ，解得 x 的范围即可(2)若 0，可利用诱导公式先把 yAtan(x)转化为 yAtan(x)Atan(x)，即把 x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得 x 的范围即可2运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系提醒：正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并

7、且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间跟进训练2不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小(1)tan 134 与 tan 175；(2)tan 134 与 tan 165.解(1)因为 tan 134 tan 4，tan 175 tan 25，又 0425 2，ytan x 在0，2 内单调递增，所以 tan 4tan 25，即 tan 134 tan 175.(2)因为 tan 134 tan 4，tan 165 tan 5，又 054tan 5，所以tan 4tan 5，即 tan 134 tan 165.类型 3 正切函数的图象及应用【例 3】根据函数 y|tan x|的图象，判

8、断其单调区间、奇偶性、周期性解 由 y|tan x|得，ytan x，kxk2kZ，tan x，2kxkkZ，其图象如图由图象可知，函数 y|tan x|是偶函数，单调递增区间为k，2k(kZ)，单调递减区间为2k，k(kZ)，周期为.将本例中的函数 y|tan x|改为 ytan|x|，解答同样的问题解 由 ytan|x|得ytan x，x0且xk2，kZ，tan x，x0且xk2，kZ，根据 ytan x 的图象，作出 ytan|x|的图象如图：由图象可知，函数 ytan|x|是偶函数，单调增区间为0，2，k2，k32(k0,1,2，)；单调减区间为2，0，k32，k2(k0，1，2，)，

9、不具有周期性作由正切函数复合而成的简单函数图象的 2 种方法(1)直接描点法，要注意定义域；(2)图象变换法，即以 ytan x 的图象为基础，采用反转、对称、平移等变换，作出函数的图象 作出 f(x)tan x|tan x|的简图，如图所示，易得函数 f(x)tan x|tan x|的最小正周期 T.跟进训练3函数 f(x)tan x|tan x|的周期是_类型 4 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性【例 4】(1)函数 f(x)tan2x3 的周期为_(2)已知函数 ytanx3，则该函数图象的对称中心坐标为_(3)判断下列函数的奇偶性：y3xtan 2x2x4；ycos2x tan x

10、.(1)2(2)k2 3，0，kZ(1)法一：(定义法)tan2x3 tan2x3，即 tan2x2 3 tan2x3，f(x)tan2x3 的周期是2.法二：(公式法)f(x)tan2x3 的周期 T2.(2)由 x3k2(kZ)得 xk2 3(kZ)，所以图象的对称中心坐标为k2 3，0，kZ.(3)解 定义域为xxk2 4，kZ，关于原点对称，又 f(x)3(x)tan 2(x)2(x)43xtan 2x2x4f(x)，所以它是偶函数定义域为xxk2，kZ，关于原点对称，ycos2x tan xsin xtan x，又 f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，所以它

11、是奇函数1函数 f(x)Atan(x)周期的求解方法(1)定义法(2)公式法：对于函数 f(x)Atan(x)的最小正周期 T|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看 f(x)与 f(x)的关系提醒：ytan x，xk2，kZ 的对称中心坐标为k2，0，kZ.跟进训练4判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)tan2 xtan xtan x1；(2)f(x)tanx4 tanx4.解(1)由xk2，kZ，tan

12、x1，得 f(x)的定义域为xxk2且xk4，kZ，不关于原点对称，所以函数 f(x)既不是偶函数，也不是奇函数(2)函数定义域为xxk4且xk4，kZ，关于原点对称，又 f(x)tanx4 tanx4tanx4 tanx4 f(x)，所以函数 f(x)是奇函数当堂达标夯基础 NO.31 2 3 4 5 D T122.1函数 y4tanx2 的最小正周期为()A2 B C32 D21 2 3 4 5 2.(多选题)下列函数中，周期为，且在0，4 上为增函数的是()A.ytanx2Bytan2x2Cycos2x2Dysin2x21 2 3 4 5 AC 对于 A 选项，函数 ytanx2 的周期

13、为，且在0，4 上为增函数，符合题意，故 A 选项正确对于 B 选项，函数 ytan2x2 的周期为2，不合题意，故 B 选项错误1 2 3 4 5 对于 C 选项，函数 ycos2x2 sin 2x 的周期为，且在0，4 上为增函数，符合题意，故 C 选项正确对于 D 选项，函数 ysin2x2 cos 2x 在0，4 上为减函数，不符合题意，故 D 选项错误故选 AC.1 2 3 4 5 1，3 4x3，1tan x 3.3函数 ytan x 在4，3 上的值域为_1 2 3 4 5 4函数 f(x)1tan2x2的最小正周期为_，函数的奇偶性为_1 2 3 4 5 2 奇函数 函数 f(

14、x)1tan2x21tan x2，所以 T|122，又因为函数 f(x)的定义域为xx2k，关于原点对称且 f(x)1tanx21tan x2f(x)，所以函数 f(x)为奇函数5 1 2 3 4 xx2k53，kZ 由x23k2，kZ，得 x2k53，kZ，函数的定义域为xx2k53，kZ.5函数 ytanx23 的定义域为_回顾本节知识，自我完成以下问题1正切函数 ytan x 在其定义域内是否为增函数？提示 不是正切函数的图象被直线 xk2(kZ)隔开，是不连续的故单调区间为k2，k2(kZ)内2若让你比较 tan43 与 tan115 的大小，你应该怎样做？提示 根据函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较点击右图进入 课 后 素 养 落 实 谢谢观看 THANK YOU!