齐次化妙解圆锥曲线（学生版）.pdf

1、1齐次化妙解圆锥曲线题型 1 定点在原点的斜率问题题型 2 定点在原点转化成斜率问题题型 3 定点不在原点之齐次化基础运用题型 4 定点不在原点的斜率问题题型 5 定点不在原点转化为斜率问题题型 6 定点不在原点之二级结论第三定义的使用题型 7 齐次化妙解之等角问题题型 8 点乘双根法的基础运用题型 9 点乘双根法在解答题中的运用题型 1 定点在原点的斜率问题圆锥曲线的定义、定值、弦长、面积，很多都可以转化为斜率问题，当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积，以往我们的常用解法是设直线 y=kx+b，与圆锥曲线方程联立方程组，韦达定理，再将斜率之和或之积的式子通分后，将 x1+x2和 x1 x2代入

2、，得到关于 k、b 的式子解法不难，计算量较为复杂如果采用齐次化解决，直接得到关于 k 的方程，会使题目计算量大大减少“齐次”即次数相等的意思，例如 f x=ax2+bxy+cy2称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为 f x中每一项都是关于 x、y 的二次项如果公共点在原点，不需要平移1 直线 mx+ny=1 与抛物线 y2=4x 交于 A x1,y1,B x2,y2，求 kOA+kOB,kOA kOB(用 m ,n 表示)21 直线 mx+ny=1 与椭圆 x24+y23=1 交于 A x1,y1,B x2,y2，求 kOA kOB(用 m ,n 表示)2 抛物线 y2=4x，直线 l 交

3、抛物线于 A、B 两点，且 OA OB，求证：直线 l 过定点3 不过原点的动直线交椭圆 x24+y23=1 于 A、B 两点，直线 OA、AB、OB 的斜率成等比数列，求证：直线 l 的斜率为定值34 已知直线 y=kx+4 交椭圆 x24+y2=1 于 A，B 两点，O 为坐标原点，若 kOA+kOB=2，求该直线方程5 设 Q1，Q2为椭圆 x22b2+y2b2=1 上两个动点，且 OQ1 OQ2，过原点 O 作直线 Q1Q2的垂线 OD，求 D的轨迹方程4题型 2 定点在原点转化成斜率问题圆锥曲线齐次化原理是：过程中为了式子整齐好记，所以将它齐次化。齐次化是常见的代数处理技巧，圆锥曲线

4、中用齐次化的方法解决和斜率相关的定值定点。齐次化法简化计算适用范围：圆锥曲线中处理斜率之和与斜率之积类型问题。以圆锥曲线中椭圆为例，先介绍齐次化解题的基本特征与一般步骤：(一)基本特征1.椭圆上有定点 P(xo,yo)和动弦 AB;2.题设或结论中涉及 PA,PB 的斜率之积或斜率之和等情况.如 k k,k +k,。(二)解题步骤1.设直线方程为 m(x-xo)+n(y-yo)=1,其中点(xo,yo)为两相关直线的交点(这样设直线方程的形式，右边为 1 对联立齐次化较为方便);2.椭圆方程变形为3.椭圆变形方程与直线方程联立齐次化：4.由韦达定理得 k +k,k k;5.根据题设进一步求解。

5、注意：过一定点作两条直线且两直线间存在斜率关系(显性或隐性)如果你发现题目出现了以上情况那这个题目八成可用齐次化来简化但要注意叙述的严谨性和完整性否则易被老师扣去过程分1 已知抛物线 C 的方程为 y2=2px，若直线 y=kx+b 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，且以 AB 为直径的圆过坐标原点，证明直线 y=kx+b 过定点1直线 x+2y-3=0 与圆 x2+y2+x-6y+c=0 相交于 P，Q，且 OP OQ，求 c 的值类型识别：OP OQ，所以 kOP kOQ=-1，适合用齐次化来处理52(2021 重庆期末)已知抛物线 C:y2=2px p 0上一点 A 2,a到其焦点的距

6、离为 3()求抛物线 C 的方程；()过点 4,0的直线与抛物线 C 交于 P，Q 两点，O 为坐标原点，证明：POQ=903(2022 连云港期末)已知直线 l 与抛物线 C:y2=4x 交于 A，B 两点(1)若直线 l 的斜率为-1，且经过抛物线 C 的焦点，求线段 AB 的长；(2)若点 O 为坐标原点，且 OA OB，求证：直线 l 过定点题型 3 定点不在原点之齐次化基础运用y-nx-m 型怎么采用齐次化运算解决，平移是关键如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，你没有看错，“上减下加”，因为是在等式与 y

7、同侧进行加减，我们以往记的“上加下减”都是在等式与 y 的异侧进行的例：y=kx+b 向上平移 1 个单位，变为 y=kx+b+1，即 y-1=kx+b，x2a2+y2b2=1 向上平移 1 个单位，变为 x2a2+y-12b2=1设平移后的直线为 mx+ny=1(为什么这样设？这样齐次化更加方便，相当于“1”的妙用)，与平移后的圆锥联立，一次项乘以 mx+ny，常数项乘以 mx+ny2，构造 ay2+bxy+cx2=0，然后等式两边同时除以 x2(前面注明 x 不等于 0)，得到 a yx2+b yx+c=0，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，y1x1+y2x2=-ba，y1x1

8、 y2x2=ca，即可得出答案如果是过定点题目，还需要还原，之前如何平移，现在反平移回去总结解法为：平移；联立并齐次化；同除以 x2；韦达定理证明完毕，若过定点，还需要还原优点：大大减小计算量，提高准确率！缺点：mx+ny=1 不能表示过原点的直线，少量题目需要讨论61 抛物线 y2=4x，P 1,2，直线 l 交抛物线于 A、B 两点，PA PB，求证：直线 l 过定点1 椭圆 x24+y23=1，点 P 1 ,32，A ,B 为椭圆上两点，kPA+kPB=0求证：直线 AB 斜率为定值2 双曲线 x22-y22=1，P 2,0，A、B 为双曲线上两点，且 kPA+kPB=0 AB 不与 x

9、 轴垂直，求证：直线 AB 过定点73 已知椭圆 x24+y2=1，设直线 l 不经过点 P(0,1)的直线交椭圆于 A，B 两点，若直线 PA，PB 的斜率之和为-1，证明：直线 l 恒过定点题型 4 定点不在原点的斜率问题1 如图，椭圆 E:x2a2+y2b2=1 a b 0经过点 A 0,-1，且离心率为22()求椭圆 E 的方程；()经过点 1,1，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q(均异于点 A)，证明：直线 AP 与 AQ斜率之和为 281(2017 年全国卷理)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0，四点 P1 1,1，P2 0,1，P3-1,32，

10、P41,32中恰有三点在椭圆 C 上(1)求 C 的方程；(2)设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为-1，证明：l 过定点2(2022 惠州模拟)已知左焦点为 F-1,0的椭圆过点 E 1,2 33，过点 P 1,1分别作斜率为 k1，k2的椭圆的动弦 AB，CD，设 M，N 分别为线段 AB，CD 的中点(1)求椭圆的标准方程；(2)若 P 为线段 AB 的中点，求 k1；(3)若 k1+k2=1，求证：直线 MN 恒过定点，并求出定点坐标93(2022 阎良区期末)已知抛物线 C:x2=2py p 0，直线 l 经过抛物线 C

11、 的焦点，且垂直于抛物线 C的对称轴，直线 l 与抛物线 C 交于 M，N 两点，且 MN=4(1)求抛物线 C 的方程；(2)已知点 P 2,1，直线 m:y=k x+2与抛物线 C 相交于不同的两点 A，B，设直线 PA 与直线 PB 的斜率分别为 k1和 k2，求证：k1 k2为定值4已知椭圆 C 过点 A 1,32，两个焦点为(-1,0)，(1,0)(I)求椭圆 C 的标准方程；(II)E，F 是椭圆上的两个动点，(1)如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率之和为 2，证明直线 EF 恒过定点；(2)如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率之积为 2，证明直线 EF 恒过定点105(20

12、22 滁州期末)已知点 A 在圆 C:x-22+y2=16 上，B-2,0，P 0,2，线段 AB 的垂直平分线与 AC 相交于点 D.(1)求动点 D 的轨迹方程;(2)若过点 Q 0,-1的直线 l 斜率存在，且直线 l 与动点 D 的轨迹相交于 M，N 两点.证明：直线 PM 与 PN的斜率之积为定值.题型 5 定点不在原点转化为斜率问题1 若 A，B 为抛物线 C：y2=2px 上两点，且以 AB 为直径的圆过点 P(p,2p)，证明：直线 AB 过定点1 设 A，B 为曲线 C:y=x24 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上

13、一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM BM，求直线 AB 的方程112(2020山东)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为22，且过点 A 2,1(1)求 C 的方程；(2)点 M，N 在 C 上，且 AM AN，AD MN，D 为垂足证明：存在定点 Q，使得 DQ 为定值3(2022 武汉模拟)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的左右顶点分别为 A，B，过椭圆内点D 23,0且不与 x 轴重合的动直线交椭圆 C 于 P，Q 两点，当直线 PQ 与 x 轴垂直时，PD=BD=43(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)设直线 AP，AQ 和直线

14、 l:x=t 分别交于点 M，N，若 MD ND 恒成立，求 t 的值4已知椭圆 C：x2a2+y2b2=1(a b 0)经过点 1,62,且离心率等于22(1)求椭圆 C 的方程；(2)过点 P(2,0)作直线 PA,PB 交椭圆于 A，B 两点，且满足 PA PB，试判断直线 AB 是否过定点，若过定点请写出点坐标12题型 6 定点不在原点之二级结论第三定义的使用齐次化运算为什么不是解决圆锥曲线的常规武器通过上面分析，我们可以发现，齐次化运算比传统的设而不求运算量大大的降低，但为什么齐次化运算并不是常规武器呢？首先我们总结一下齐次化运算步骤f x ,y=0 ,g x ,y=0 A yx2+

15、B yx+C=0 y1x1+y2x2=-BA ,y1x1 y2x2=CAk1+k2=-BA ,k1k2=CA .通过上面的步骤可以看出，本方法适用于斜率的相关问题，有较大的局限性，当然，还有一个难点在于方程消元的基本思路是消未知数，而本方法是消去常数，这也是学生不适应之处但更大的难点是如果通过审题，转化为斜率之积、之和问题齐次化运算在解析几何中的运算，只可以处理斜率之和(积)的问题，基本步骤如下：f x ,y=0 ,g x ,y=0 A yx2+B yx+C=0 y1x1+y2x2=-BA ,y1x1 y2x2=CAk1+k2=-BA ,k1k2=CA，重点一在于通过分析题意，明确能不能用本方

16、法，二在于直线方程的设元技巧，三在于消元中的齐次化运算1 A,B 分别是椭圆 E:x29+y2=1 左右顶点，P 是直线 x=6 的动点，PA 交 E 于另一点 C，PB 交 E 于另一点 D求证：直线 CD 过定点1A,B 分别是椭圆 E:x24+y2=1 下上两顶点，过(1,0)的直线 l 交于 E 的 C，D，设直线 AC,BD 的斜率为 k1,k2，k1=2k2，求直线 l 的方程132(2020新课标)已知 A，B 分别为椭圆 E:x2a2+y2=1 a 1的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，AGGB=8 P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的

17、另一交点为 D(1)求 E 的方程；(2)证明：直线 CD 过定点题型 7 齐次化妙解之等角问题等角问题的推广：结论 1：过抛物线线外一点 P 作抛物线的切线 PA，PB，则 AFP=BFP结论 2：过椭圆外一点 P 作椭圆的切线 PA，PB，则 AFP=BFP141 设椭圆 C：x22+y2=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 相交于 A，B 两点，点 M 点坐标为(2,0)(1)当直线 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；(2)设 O 为坐标原点，证明：OMA=OMB1(2013 年数学高考陕西卷理科)已知动圆过定点 A(4,0)，且在 y 轴上截得弦长 MN 的长为

18、8(1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程；(2)已知点 B(-1,0)，设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两个点 P，Q，若 x 轴是 PBQ 的角平分线，证明：直线 l 过定点2(2018 全国一文)设抛物线 C:y2=2x，点 A 2,0，B-2,0，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M，N 两点(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；(2)证明：ABM=ABN153(2018 全国一卷理)设椭圆 C:x22+y2=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，点 M 的坐标为 2,0(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；

19、(2)设 O 为坐标原点，证明：OMA=OMB4(2022 德州期末)椭圆 C:x2a2+y2b2=1(a b 0)的离心率为22，过点 P(0,1)的动直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点，当直线 l 平行于 x 轴时，直线 l 被椭圆 C 截得线段长为 2 6.(1)求椭圆 C 的方程；(2)在 y 轴上是否存在异于点 P 的定点 Q，使得直线 l 变化时，总有 PQA=PQB？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.16题型 8 点乘双根法的基础运用点乘双根法及其应用1.点乘双根法的含义与原理：何谓点乘双根法呢？在大学数学中，把向量 a，b 的数量积 a b 叫做向量 a 点乘

20、向量 b，因此点乘得名；所谓双根是由初中的一元二次方程知识可知：若 x1和 x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根，则 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，我们把 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)叫做二次方程的双根式，所谓的点乘双根法就是构建双根式是去解决含 x1+x2和 x1x2或者可转化为含含 x1+x2和 x1x2的计算问题，其中以向量的数量积有关的问题为最常见2.点乘双根法的原理：点乘双根法是通过对双根式 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)进行赋值 x=x0和 y=y0，直接计算(x1-x0)(x2-x0)和(y1-y0)(y2-y0)的含参

21、表达式，然后整体代入目标 PA PB=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)，从而构建出关于参数的等式关系式，避免繁杂的计算，达到快速解题的目的(其中，点 P 坐标(x0,y0)为已知定点，A(x1,y1)，B(x2,y2)为直线 l 与圆锥曲线的交点)3.点乘双根法适用题型:在圆锥曲线中，遇到如 PA PB=m(其中 m 为常数)的形式，其中点 P 是已知的点，AB 为直线 l 与圆锥曲线的交点的问题时，可用点乘双根法以达到简化运算，快速解题的目的1 椭圆 C：x24+x23=1，若直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 交于 A，B 两点(A，B 不是左右顶点)，且以直线A

22、B 为直径的圆恒过椭圆 C 的右顶点求证：直线 l 恒过定点，并求出该点的坐标1(2018 年全国课标卷 3 理科 16 题)已知点 M-1,1和抛物线 C：y2=4x，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A，B 两点若 AMB=90，则 k=2已知抛物线 y2=2px，过原点且相互垂直的直线 OA，OB 交抛物线于 A，B 两点，求证：直线 AB 过定点173过双曲线 x2a2-y2b2=1 右焦点且斜率为35 的直线 l 交双曲线于 A，B，若 OA OB 且 AB=4，求双曲线的方程方法识别：因为 OA OB，所以 kOA kOB=-1，适合用齐次化来处理4 已知抛物线 y2

23、=4x 的焦点为 F，过 F 作两条垂直的直线 l1，l2，l1与抛物线相交于 A，B 两点，l2与抛物线相交于 C，D 两点，求|AF|BF|+|EF|FD|的最小值5 已知抛物线方程为 y=2x2，直线 y=kx+2 与抛物线交于 A，B 两点，Nk4,k28，且 NA NB=0，求 k 的值18题型 9 点乘双根法在解答题中的运用1(2013 年石家庄一模理科 20)椭圆 x2a2+y2b2=1(a b 0)的左，右焦点分别为 F1(-1,0)，F2(1,0)，过 F1作与 x 轴不重合的直线 l 交椭圆于 A，B 两点(1)若 ABF2为正三角形，求椭圆的离心离；(2)若椭圆的离心离满

24、足 0 e 5-12，O 为坐标原点，求证：OA2+OB2 0 时，恒有|OA|OB|192(2017 年高考课标 1 卷第 20 题)设 A，B 为曲线 C：y=x24 上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM BM，求直线 AB 的方程3(2019 年北京二中期中考试)已知抛物线 y2=2px(p 0)过点 A(2,y0)，且点 A 到其准线的距离为 4(1)求抛物线的方程；(2)直线 y=x+m 与抛物线交于两个不同的点 P，Q，若 OP OQ，则求实数 m 的值；4(2012 年

25、重庆理科第 20 题)设椭圆中心在原点 O，长轴在 x 轴上，上顶点为 A，左右顶点分别为 F1，F2，线段 OF1，OF2中点分别为 B1，B2，且 AB1B2是面积为 4 的直角三角形(1)求其椭圆的方程(2)过 B1作直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，使 PB2 QB2，求直线 l 的方程201(2022 广东一模)已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率为 12，过椭圆 C 右焦点并垂直于 x轴的直线 PM 交椭圆 C 于 P，M(点 P 位于 x 轴上方)两点，且 OPM(O 为坐标原点)的面积为 32(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 l 交椭圆 C 于 A

26、，B(A，B 异于点 P)两点，且直线 PA 与 PB 的斜率之积为-94，求点 P 到直线 l距离的最大值2(2023山西吕梁统考二模)已知抛物线 C：y2=2px 过点 A 2,4(1)求抛物线 C 的方程；(2)P，Q 是抛物线 C 上的两个动点，直线 AP 的斜率与直线 AQ 的斜率之和为 4，证明：直线 PQ 恒过定点213(2023河南开封统考模拟预测)已知点 A(3,1)在椭圆 C:x2a2+y2a2-8=1 上，直线 l 交 C 于 M，N 两点，直线 AM，AN 的斜率之和为 0(1)求直线 l 的斜率；(2)求 OMN 的面积的最大值(O 为坐标原点)4(2023江西校联考

27、模拟预测)已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1(a 0,b 0)，渐近线方程为 y x2=0，点A 2,0在 C 上；(1)求双曲线 C 的方程；(2)过点 A 的两条直线 AP，AQ 分别与双曲线 C 交于 P，Q 两点(不与 A 点重合)，且两条直线的斜率 k1，k2满足 k1+k2=1，直线 PQ 与直线 x=2，y 轴分别交于 M，N 两点，求证：AMN 的面积为定值.225(2024海南省直辖县级单位校考模拟预测)椭圆 C:x2a2+y2b2=1 a b 0的离心率 e=12，过点0,3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点12,0且斜率不为 0 的直线 l 与椭圆交于 M,N 两点

28、，椭圆的左顶点为 A，求直线 AM 与直线 AN 的斜率之积.6(2023云南大理统考一模)已知双曲线：x2a2-y2b2=1 a 0,b 0，其渐近线方程为 x 2y=0，点 2 2,1在 上.(1)求双曲线 的方程；(2)过点 A 2,0的两条直线 AP，AQ 分别与双曲线 交于 P，Q 两点(不与点 A 重合)，且两条直线的斜率之和为 1，求证：直线 PQ 过定点.237(2022全国统考高考真题)已知点 A(2,1)在双曲线 C:x2a2-y2a2-1=1(a 1)上，直线 l 交 C 于 P，Q两点，直线 AP,AQ 的斜率之和为 0(1)求 l 的斜率；(2)若 tanPAQ=2 2，求 PAQ 的面积