广东省汕头市潮师高级中学2017届高三上学期期中考试理科数学试卷 WORD版含解析.doc

1、2017届广东省汕头市潮师高级中学高三上学期期中考试理科数学试卷一、单选题（共12小题）1已知集合，则（ ）ABCD2已知复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出的值为（ ）A6B8C10D124已知， 则的值是（ ）ABCD5已知随机变量服从正态分布, 且, 则（ ）A0.84B0.68C0.32D0.166已知下列四个命题：若直线和平面内的无数条直线垂直，则；：若，则，；：若，则，；：在中，若，则其中真命题的个数是（ ）A1B2C3D47如果，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为， 是抛物线的

2、焦点，若，则（ ）ABCD8等比数列中，函数，则（ ）ABCD9若，则（ ）ABCD10已知边长为的菱形中，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为（ ）ABCD11设满足约束条件若目标函数的最大值为35，则的最小值为（ ）A2B3C4D512如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（ ）ABCD二、填空题（共4小题）13.一个总体中有60个个体，随机编号0，1，2，59，依编号顺序平均分成6个小组，组号依次为1，2，3，6现用系统抽样方法抽取一个容量为6的样本，若在第1组随机抽取的号码为3，则在第5组中抽取的号码是 14.的展开式

3、中，的系数为 （用数字填写答案）15.已知是的中线，则的最小值是 .16.已知函数 则函数的零点个数为 个三、解答题（共7小题）17.如图，在中，点在边上，,.（）求的长；（）求的面积18.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点在函数的图象上（1）求数列的通项公式；（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数.19.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间，内的频率之比为（）求这些产品质量指标值落在区间内的频率；（）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3

4、件产品中质量指标值位于区间内的产品件数为，求的分布列与数学期望20.如图，四棱柱的底面是菱形，底面，（）证明：平面平面；（）若，求二面角的余弦值21.已知函数,（）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；（）当时，证明：.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.（）求曲线的直角坐标方程；（）在曲线上求一点，使它到直线：（为参数，）的距离最短，并求出点的直角坐标.23.设函数（）当时，求不等式的解集；（）若对任意，不等式的解集为空集，求实数的取值范围答案部分1.考点：集合的运算试题解析：，故选D.答案：D 2.考点：复数综合运算试题解析：,，所

5、对应的点为，在第四象限，故选D.答案：D 3.考点：算法和程序框图试题解析：执行程序：输入，进入循环；，判断条件，否，进入循环；，判断条件，否，进入循环；，判断条件，否，进入循环；，判断条件，否，进入循环；，判断条件，是，跳出循环；输出，所以选C.答案：C 4.考点：诱导公式试题解析：，故选A.答案：A 5.考点：正态分布试题解析：服从正态分布, 且,则， ，,故选B.答案：B 6.考点：全称量词与存在性量词试题解析：直线与平面内任意直线垂直才垂直于面，直线和平面内的无数条直线垂直不能得到，命题错误；：，命题成立；：由，解得，所以不存在这样的，使得，命题错误；：当都是锐角时， ，可得，当为钝角

6、，为锐角时，由，可得，则，也成立，命题正确.故真命题的个数为2个，选B.答案：B 7.考点：抛物线试题解析：的横坐标为，选A.答案：A 8.考点：等比数列函数求导运算试题解析：，则，故选C.答案：C 9.考点：对数与对数函数试题解析：，为减函数，A 错误；，B错误；，C错误；函数为减函数，则有，故选D.答案：D 10.考点：空间几何体的表面积与体积试题解析：设外接球的球心为，则到的距离相等，过分别做面、面的垂线，垂直分别为，则为的中心，取中点连接，则，连接则，在中，即外接球的半径为，表面积为，选D.答案：D 11.考点：均值定理线性规划试题解析：画出可行域如图所示，目标函数可化为直线，所以当直

7、线过时，有最大值，所以，解得，所以选D.答案：D 12.考点：空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图试题解析：如图，三视图的还原图为正方体中的四面体，其中，为等腰三角形，取中点，连接，即为三角形的高，所以该四面体的表面积为，故选A.答案：A 13.考点：抽样试题解析：，第一组抽取的号码为3，则第五组抽取的号码为.答案：43 14.考点：二项式定理与性质试题解析：，通项为，时，系数为，时，系数为，时，系数为，时，系数为，所以的系数为.答案：-40 15.考点：余弦定理数量积的应用试题解析：，又，由余弦定理所以，所以的最小值为1.答案：1 16.考点：零点与方程试题解析：令即，令，在同

8、一坐标系中画出函数的和图象如图所示，两个函数有两个交点，所以有两个零点.答案：2 17.考点：解斜三角形试题解析：（）解法一：在中，因为，设，则在中，因为，所以在中，因为，由余弦定理得因为，所以，即解得所以的长为.解法二： 在中，因为，设，则在中，因为，所以所以在中，因为，由余弦定理得所以解得所以的长为.（）解法一：由（）求得，所以，从而所以解法二：由（）求得，因为，所以为等腰三角形因为，所以所以底边上的高所以答案：见解析 18.考点：数列综合应用试题解析：（1）设函数，则，由，得，所以.又因为点在函数的图象上，所以.当时，.当时，所以，（2）由（1）知，故因此，要使恒成立，则需满足即可，所以

9、满足要求的最小正整数为10.答案：见解析 19.考点：概率综合试题解析：（）设区间内的频率为，则区间，内的频率分别为和依题意得，解得所以区间内的频率为（）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以服从二项分布，其中由（）得，区间内的频率为，将频率视为概率得因为的所有可能取值为0，1，2，3，且，所以的分布列为： 所以的数学期望为（或直接根据二项分布的均值公式得到）答案：见解析 20.考点：立体几何综合试题解析：（）证明：因为平面，平面，所以因为是菱形，所以因为，所以平面因为平面，所以平面平面（）解法一：因为平面，以为原点，方向为，轴正方向建立如图所示空间直角坐标系

10、因为，所以，则，所以，设平面的法向量为，因为，所以令，得同理可求得平面的法向量为所以因为二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为解法二：由（）知平面平面，连接与交于点，连接，因为，所以为平行四边形因为，分别是，的中点，所以为平行四边形且因为平面平面，过点作于，则平面过点作于，连接，则所以是二面角的平面角的补角在中，在中，因为，所以因为，所以因为，所以为直角三角形所以所以所以所以二面角的余弦值为答案：见解析 21.考点：导数的综合运用试题解析：（）解：因为，所以.因为曲线在点处的切线斜率为，所以，解得.（）证法一：因为,，所以等价于当时，要证，只需证明.以下给出二种思路证明思路1：设，则.设，

11、则所以函数在上单调递增因为，所以函数在上有唯一零点，且.因为，所以，即.当时，；当时，所以当时，取得最小值.所以.综上可知，当时，.思路2：先证明设，则因为当时，当时，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增所以所以（当且仅当时取等号）所以要证明，只需证明下面证明设，则当时，当时，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增所以所以（当且仅当时取等号）由于取等号的条件不同，所以综上可知，当时，.答案：见解析 22.考点：极坐标方程曲线参数方程试题解析：（）解：由，可得因为，所以曲线的普通方程为（或）（）解法一：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为因为曲线：是以为圆心，1为半

12、径的圆，设点，且点到直线：的距离最短，所以曲线在点处的切线与直线：平行即直线与的斜率的乘积等于，即因为，解得或所以点的坐标为或由于点到直线的距离最短，所以点的坐标为解法二：因为直线的参数方程为（为参数，），消去得直线的普通方程为因为曲线是以为圆心，1为半径的圆，因为点在曲线上，所以可设点所以点到直线的距离为因为，所以当时，此时，所以点的坐标为答案：见解析 23.考点：绝对值不等式试题解析：（）解：当时，等价于当时，不等式化为，无解；当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得综上所述，不等式的解集为（）因为不等式的解集为空集，所以以下给出两种思路求的最大值.思路1：因为，当时，当时，当时，所以思路2：因为 ，当且仅当时取等号所以因为对任意，不等式的解集为空集，所以以下给出三种思路求的最大值.思路1：令，所以当且仅当，即时等号成立所以所以的取值范围为思路2：令，因为，所以可设，则，当且仅当时等号成立所以的取值范围为思路3：令，因为，设则问题转化为在的条件下，求的最大值利用数形结合的方法容易求得的最大值为，此时所以的取值范围为答案：见解析