2021-2022高中数学人教版必修5教案：2-4等比数列 （系列四） WORD版含答案.doc

1、2.4 等比数列教学目标：掌握等比数列的定义，理解等比数列的通项公式及推导；培养学生的发现意识，提高学生创新意识，提高学生的逻辑推理能力，增强学生的应用意识.教学重点：等比数列的定义及通项公式.教学难点：灵活应用等比数列的定义式及通项公式解决一些相关问题.教学过程：.复习回顾前面几节课，我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下等差数列的主要内容.讲授新课下面我们来看这样几个数列，看其又有何共同特点?1，2，4，8，16，263；5，25，125，625，；1，；仔细观察数列，寻其共同特点.对于数列，an2n1；2(n2)对于数列，an5n；5(n2)对于数列，an(1)n+1； (n2)共

2、同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数.也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点.1.定义等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示(q0)，即：anan1q(q0)如：数列，都是等比数列，它们的公比依次是2，5，.与等差数列比较，仅一字之差.总之，若一数列从第二项起，每一项与其前一项之“差”为常数，则为等差数列，之“比”为常数，则为等比数列，此常数称为“公差”或“公比”.Z,xx,k.Com注意（1）公差“d”可为0，（2）公比“q”不

3、可为0.等比数列的通项公式又如何呢?2.等比数列的通项公式请同学们想想等差数列通项公式的推导过程，试着推一下等比数列的通项公式.解法一：由定义式可得：a2a1q，a3a2q(a1q)qa1q2，a4a3q(a1q2)qa1q3，anan1qa1qn1(a1，q0)，n1时，等式也成立，即对一切nN*成立.解法二：由定义式得： (n1)个等式若将上述n1个等式相乘，便可得：qn1即：ana1qn1(n2)当n1时，左a1，右a1，所以等式成立，等比数列通项公式为：ana1qn1(a1，q0)如：数列，an12n12n1(n64)数列：an55n15n，数列：an1()n1(1)n1与等差数列比较

4、，两者均可用归纳法求得通项公式.或者，等差数列是将由定义式得到的n1个式子相“加”，便可求得通项公式；而等比数列则需将由定义式得到的n1个式子相“乘”，方可求得通项公式.下面看一些例子：例1培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第5代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？分析：下一代的种子数总是上一代种子数的120倍，逐代的种子数可组成一等比数列，然后可用等比数列的有关知识解决题目所要求的问题.解：由题意可得：逐代的种子数可组成一以a1120，q120的等比数列an.由等比数列通项公式可得：ana1

5、qn1120120n1120na512052.51010.答：到第5代大约可以得到种子2.51010粒.评述：遇到实际问题，首先应仔细分析题意，以准确恰当建立数学模型.例2一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.分析：应将已知条件用数学语言描述，并联立，然后求得通项公式.解：设这个等比数列的首项是a1，公比是q则：得：q 代入得：a1ana1qn1（）n1，a2a1q8.答：这个数列的第1项与第2项分别是和8.评述：要灵活应用等比数列定义式及通项公式.课堂练习课本P48练习1，2，3已知an是无穷等比数列，公比为q.(1)将数列an中的前k项去掉，剩余各项组成一个新

6、数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设an为：a1，a2，ak，ak+1，则去掉前k项的数可列为：ak+1，ak+2，an，可知，此数列是等比数列，它的首项为ak+1，公比为q.(2)取出数列an中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的首项和公比各是多少？解：设an为：a1，a2，a3，a2k1，a2k，取出an中的所有奇数项，分别为：a1，a3，a5，a7，a2k1，a2k+1，q2(k1)此数列为等比数列，这个数列的首项是a1，公比为q2.(3)在数列an中，每隔10项取出一项，组成一个新的数列，这个数列是等比数列吗？如果是，它的公比

7、是多少？解：设数列an为：a1，a2，an，每隔10项取出一项的数可列为：a11，a22，a33，可知，此数列为等比数列，其公式为：q11.评述：注意灵活应用等比数列的定义式和通项公式.课时小结本节课主要学习了等比数列的定义，即：q(q0，q为常数，n2)等比数列的通项公式：ana1qn1(n2)及推导过程.课后作业课本P52习题 1，2，3，4等比数列(一)1已知Sn是数列an的前n项和，Snpn，那么数列an是 （ ）A.等比数列B.当p0时为等比数列C.当p0，p1时为等比数列D.不可能为等比数列 2公差不为0的等差数列an中，a2，a3，a6依次成等比数列，则公比等于 （ ）A. B.

8、 C.2 D.33数列an的前n项之和是Snanb(a、b为常数且a0，1)，问数列an是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由.4已知等比数列x，y，求x，y.5已知数列an是等比数列，首项为a1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t，k，p项，求数列an的通项公式.6已知数列an为等比数列，a1a310，a4a6，求a4的值.等比数列(一)答案1D 2D3数列an的前n项之和是Snanb(a、b为常数且a0，1)，问数列an是等比数列吗？若是，写出通项公式，若不是，说明理由.分析：利用等比数列的定义解题.解：a1S1ab，当n2时，anSnSn1(a1)an又a1

9、(a1)a0a1若a1ab，即b1时，显然数列an不是等比数列.若a1ab，即b1时，由an(a1)an1(n1)，得a(n2)故数列an是等比数列.4x，y5已知数列an是等比数列，首项为a1，公比不等于1，又其中有连续三项分别是一等差数列的第t，k，p项，求数列an的通项公式.分析一：先从等比数列入手解决问题.解法一：设符合题设的等比数列an中的连续三项为am，am+1，am+2，则：am+1amq，am+2am+1q (q为公比)两式相减，得q又am+1am(kt)d，即am+1am(kt)d同理am+2am+1(pk)d(d为公差），故q 所求通项公式为ana1( )n1.分析二：先从等差数列入手解决问题.解法二：设等差数列为bn，公差为d，则由题设知，bt，bk，bp是等比数列an中的连续三项：故q利用等比定理，可得 q，ana1()n1.6已知数列an为等比数列，a1a310，a4a6，求a4的值.分析：要求a4可以先求an，这样求基本量a1和q的值就成了关键，结合条件考虑运用方程思想解决.解：设此数列的公比为q,由已知得：由a10，1q20，得，q3qa18. a4a1q381.评述：本题在求基本量a1和q时，运用方程思想把两个方程相除达到消元的目的，此法应重视.7