广东省深圳外国语学校2020届高三数学下学期第6次月考试题 理（含解析）.doc

1、广东省深圳外国语学校2020届高三数学下学期第6次月考试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1.已知集合 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据集合及可求得.表示出集合A与集合B，由并集运算即可求得.【详解】集合，解得，故选：A【点睛】本题考查了由集合的运算结果求参数，集合交集与并集运算，属于基础题.2.若复数的对应点在直线上，则（ ）A. B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】先将复数化简，表示出点的坐标.将坐标代入直线方程，即可求得的值.【详解】，在复平面内对应点的坐标为，由题

2、意，则故选：C【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数在复平面内对应点的坐标，属于基础题.3.设等比数列的前6项和，且为的等差中项，则（ ）A. B. 8C. 10D. 14【答案】B【解析】【分析】根据等差中项性质，结合等比数列的通项公式，可求得与的等量关系；由等比数列前n项和公式，也可得与的等量关系，联立方程即可求得，进而用表示出.代入等比数列通项公式即可求解.【详解】为的等差中项，设等比数列的公比为，则，又前6项和，联立，解得 故选：B【点睛】本题考查了等差中项性质应用，等比数列通项公式及前n项和公式的应用，化简需要技巧性，属于中档题.4.2021年广东新高考将实行模式，即语文数学英语必选

3、，物理历史二选一，政治地理化学生物四选二，共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则他们选课相同的概率( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】基本事件总数n6，他们选课相同包含的基本事件m1，由此能求出他们选课相同的概率【详解】今年高一的小明与小芳都准备选历史，假若他们都对后面四科没有偏好，则基本事件总数n6，他们选课相同包含的基本事件m1，他们选课相同的概率p故选D【点睛】本题考查古典概型，准确计算基本事件总数和选课相同包含的基本事件数是关键，是基础题.5.椭圆C：1（）的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，且，点，则的面积为（ ）A

4、. B. C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得，即可求得、，结合余弦定理即可求得，即可由三角形面积公式求解.【详解】椭圆C：1（）的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，且，可得，则，所以，不妨设，由余弦定理可得，解得，即，所以的面积为故选：C【点睛】本题考查椭圆标准方程及几何性质的简单应用，余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，属于基础题.6.点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（ ）A. 3B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】过作，根据平面向量基本定理求得，即可求得与的面积之比.【详解】点是所在平面上一点，过作，如下图所示：由，故，所以与的面积之比

5、为，故选：D【点睛】本题考查了平面向量基本定理的简单应用，面积比与线段比的关系，属于基础题.7.函数（其中，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法不正确的是（ ）A. 函数为奇函数B. 函数最大值为C. 函数的最小正周期为D. 函数在上单调递增【答案】D【解析】【分析】根据图象得到函数的最大值与周期，从而确定与，再将点代入，从而得到的解析式，再利用的图象变换规律，得到的解析式，再利用正弦函数的性质，即可得解.【详解】由图可知，将点代入，得,()，故，向左平移个单位长度得,，函数为奇函数，故A正确；的最大值为，故B正确；的最小正周期为，故C正确；在上单调递增

6、，在上单调递减，故D错误.故选：D.【点睛】本题考查了函数的部分图象求解析式以及图象变换规律，考查了正弦函数的性质，属于中档题.8.设函数，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据解析式，可知函数为偶函数.结合解析式可判断函数在时单调递增，因而由对称性可解不等式组，求得不等式成立的解集.【详解】的定义域为，为偶函数，当时，单调递增，由，可得，解得且，即，故选：B【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，由单调性由奇偶性解不等式，属于基础题.9.点是直角斜边上一动点，将直角沿着翻折，使与构成直二面角，则翻折后的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案

7、】B【解析】【分析】过点作于点E，连接，根据折叠性质设，用表示出，在中由余弦定理表示出，再在中，由勾股定理即可求得的最小值.【详解】过点作于点E，连接，如下图所示：设，则有，在中，由余弦定理得，在中，由勾股定理得，当时，取得最小值故选：B【点睛】本题考查了立体几何中折叠问题的综合应用，余弦定理表示出边长，并由三角函数值域的有界性确定最值，属于中档题.10.设为双曲线上且在第一象限内的点，分别是双曲的左、右焦点，轴上有一点且，是的中点，线段与交于点.若，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得，直线的方程为，令，可得，是的中点，线段与交于点，故选A.11.已知函

8、数，方程有4个不同的实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】可采用构造函数法，令，方程有4个不同的实数根转化为当时，两函数图像有四个交点，再分别分析临界点所对应的值，即可求出范围【详解】由图像分析可知，当时应有两解，即，解得，此时应满足，解得当，若与图像相切，设切点坐标为，由，又，即联立可得，综上所述，答案选A【点睛】本题考查函数零点的求法，采用构造函数法，再根据交点个数是零点的具体体现来进行转化，同时利用导数来研究函数零点，本题中解法也是解决函数问题中常用解法12.已知数列满足：，其中为的前项和若对任意的均有恒成立，则的最大整数值为（ ）A. 2B. 3C

9、. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】根据所给条件，结合，代入后展开化简，构造数列，由等差数列性质可知为等差数列，进而由首项与公差求得.将不等式化简可得，代入后构造函数，并求得后可证明函数为单调递增数列，求得，即可确定的最大整数值.【详解】当时，由条件，可得，整理得，化简得：，从而，故，由于，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，则，整理得，依题只须，令，则，所以为单调递增数列，故，故选：B【点睛】本题考查了数列递推公式的应用，构造数列法求通项公式，并构造函数证明数列的单调性，综合性强，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上13.的

10、展开式中的常数项为_（用数字作答）【答案】180【解析】【分析】根据二项式定理，结合展开式通项即可确定的指数形式.将多项式展开，即可确定常数项.【详解】的展开式中的通项公式 ，而分别令，解得，或的展开式中的常数项故答案为：180【点睛】本题考查了二项式定理通项展开式的应用，多项式的乘法展开式，常数项的求法，属于中档题.14.随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻亮一次红灯与亮一次绿灯的时间之和为90秒，其中亮红灯的时间不超过60秒，亮绿灯的时间不超过50秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为_【答案】【解析】【分析】根据题意，设亮绿灯的时间为t秒，表示出亮红

11、灯的取值范围；进而求得亮绿灯时间的间隔取值范围，再由几何概型概率公式即可求解.【详解】设亮绿灯的时间为t秒，则，则亮红灯的时间为秒，则，所以，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间，即，解得，由几何概型中的线段型可得亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为，故答案为：【点睛】本题考查了长度型几何概率的求解，属于基础题.15.在三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为_【答案】20【解析】【分析】根据条件及余弦定理，可求得.由勾股定理可得为直角三角形则三棱锥的外接球的球心在过的外心E垂线上，根据余弦定理可求得，结合同角三角函数关系式求得.由正弦定理求得外接圆的半径，可求得三棱锥外接球半径，即可得外接球的表面

12、积.【详解】根据题意，可得几何关系如下图所：根据条件，结合余弦定理可得，所以，故为直角三角形所以三棱锥的外接球的球心在过的外心E垂线上设为点O由余弦定理可得根据同角三角函数关系式可得故外接圆的半径则三棱锥外接球的半径故外接球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，三棱锥的外接球表面积求法，注意球的几何性质应用，属于中档题.16.已知平面四边形ABCD中，的面积为，则 _【答案】2【解析】【分析】在中由余弦定理并结合，即可求得的值. 设，.由的面积用表示出；再在中应用余弦定理表示出，由可求得.在中由余弦定理即可求得的长.【详解】在中，由余弦定理可得，又，即解得

13、所以，设，则，又，；在中，由余弦定理可得，整理得，即，由，即，解得，解得或，又，所以，解得在中由余弦定理可得，故答案为：2【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，同角三角函数关系式的应用，属于难题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知数列的前和为，且满足（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求的最小值【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根据递推公式及，代入后可证明数列为等比数列，即可求得数列的通项公式.（2）由（1）中所得的通项公式表示出，代入后求得数列的通项公式，结合错位相减法即可求得数列的前项和，根据的单调性即可确定的

14、最小值【详解】（1）时， 化为，时，解得数列是等比数列，首项为1，公比为3，（2），数列的前n项和，化为因为为单调递增数列，所以的最小值是 【点睛】本题考查了递推公式在求通项公式中的应用，由等比数列定义求等比数列通项公式，错位相减法求和的应用，属于中档题.18.（2017新课标全国理科）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）利用题意证得二面角的平面角为

15、90，则可得到面面垂直；（2）利用题意求得两个半平面的法向量，然后利用二面角的夹角公式可求得二面角DAEC的余弦值为.试题解析：（1）由题设可得，从而.又是直角三角形，所以.取AC的中点O，连接DO,BO,则DOAC,DO=AO.又由于是正三角形，故.所以为二面角的平面角.在中，.又，所以，故.所以平面ACD平面ABC.（2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则.由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得.故.设是平面DAE的法向量，则即 可取.

16、设是平面AEC的法向量，则同理可取.则所以二面角D-AE-C余弦值为.【名师点睛】（1）求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算时，要认真细心，准确计算.（2）设m，n分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等，故有.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.19.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，其右焦点为，且点在椭圆C上求椭圆C的方程；设椭圆的左、右顶点分别为A、B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上【答案】（1） （2）见解

17、析【解析】【分析】（1）设椭圆的方程为，由题意可得，解方程组即可.（2）设，直线MN的方程为，由方程组，消去整理得，根据韦达定理求出点的坐标，根据向量即可求出，且向量和有公共点，即可证明【详解】（1）不妨设椭圆的方程为，.由题意可得，解得，故椭圆的方程.（1）设，直线的方程为，由方程组，消去x整理得，直线的方程可表示为，将此方程与直线成立，可求得点的坐标为，向量和有公共点，三点在同一条直线上【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识，是中档题20.红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害，每只红铃虫的

18、平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.（表中）平均温度21232527293235平均产卵数/个71121246611532527.42981.2863.61240.182147.714（1）根据散点图判断，与（其中自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28以上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28以上的概

19、率为.记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率p.当取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为X，求X的数学期望和方差.附：线性回归方程系数公式.【答案】（1）更适宜，；（2），；，【解析】【分析】（1）根据散点图选择合适函数模拟，利用变量，构造线性回归方程，利用已知量求解出关于的线性回归方程，即可求解出y关于x的回归方程；（2）先表示出，然后根据分析出的最大值以及的值；根据的值以及二项分布的均值与方差的计算方法求解出结果即可.【详解】解：（1）根据散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型；对两边取自然对数，得；令，得；因为

20、，；所以z关于x的回归方程为；所以y关于x的回归方程为；（2）（i）由，得，因为，令，得，解得；所以在上单调递增，在上单调递减，所以有唯一的极大值为，也是最大值；所以当时，；（ii）由（i）知，当取最大值时，所以，所以X的数学期望为，方差为.【点睛】本题考查线性回归方程的求解、独立重复试验的概率与函数的综合应用、二项分布的均值与方差计算，难度较难.已知，则.21.已知函数（1）讨论的单调性；（2）设，若函数的两个极值点恰为函数的两个零点，且的范围是，求实数a的取值范围.【答案】（1）当时，单调递减区间为，无单调递增区间；当时，单调递减区间为；单调递增区间为；（2）【解析】【分析】（1）求解导函

21、数，根据导函数的分子（二次函数）分类讨论与的关系，从而可分析出函数的单调性；（2）根据已知条件构造关于的新函数，根据新函数的单调性分析出的取值范围，然后根据与的关系即可求解出的取值范围.【详解】解：（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，（ii）若，令得.当时，；当时，所以，当时，单调递减区间为，无单调递增区间；当时，单调递减区间为；单调递增区间为.（2）由（1）知：且.又，由得，.令，所以在上单调递减.由y的取值范围是，得t的取值范围是，又，故实数a的取值范围是.【点睛】（1）含参函数的单调性分析，要注意抓住参数的临界值进行分类讨论；（2）利用导数求解双变量问题，多数情况下需要构造关

22、于（或）的新函数，借助新函数的单调性分析问题.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号22.以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为（,a为常数），过点、倾斜角为的直线的参数方程满足，（为参数） （1）求曲线C的普通方程和直线的参数方程；（2）若直线与曲线C相交于A、B两点（点P在A、B之间），且，求和的值【答案】（1） 为参数）； （2）.【解析】【分析】（1）根据，化曲线C的极坐标方程为直角坐标方程，根据点斜式得直线的普通方程，代入解得，即得参数方程.（2）将直线参数方程代入曲线C方程，根据参数几何意义得，解得，

23、再根据，利用韦达定理解得结果.【详解】（1）由得， 又，得，C的普通方程为，过点、倾斜角为的直线的普通方程为， 由得直线的参数方程为 （t为参数）； （2）将代入，得， 依题意知则上方程的根、就是交点A、B对应的参数，由参数t的几何意义知，得，点P在A、B之间，即，解得（满足）， ，又，【点睛】本题考查直线的参数方程的标准形式的应用，考查基本分析应用求解能力，属基本题.23.设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于x的不等式有解，求的取值范围【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）当时，不等式， 零点分段可得不等式的解集为； （2）由绝对值三角不等式的性质可得，则原问题等价于，据此可得的取值范围是【详解】（1）当时，即， 即或或，所以或，所以原不等式的解集为； （2） ，因为不等式有解，所以，即， 所以的取值范围是【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想