《优选整合》人教A版高中数学选修1-1 专题2-2-2双曲线的简单几何性质 素材 .doc

1、双曲线的简单几何性质 -学习要点双曲线的简单几何性质双曲线（a0，b0）的简单几何性质范围双曲线上所有的点都在两条平行直线x=-a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x-a或xa.对称性对于双曲线标准方程（a0，b0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a0，b0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。顶点双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。双曲线（a0，b0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（-a，0），A2（a，0），顶点是双曲线

2、两支上的点中距离最近的点。两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，-b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。双曲线的焦点总在实轴上。实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。离心率双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。因为ca0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用

3、来表示双曲线开口的大小程度。等轴双曲线，所以离心率。渐近线经过点A2、A1作y轴的平行线x=a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是。我们把直线叫做双曲线的渐近线；双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。要点1：双曲线的简单几何性质例1求双曲线的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率.【解析】把方程化为标准方程，由此可知实半轴长，虚半轴长，双曲线的实轴长，虚轴长，顶点坐标，焦点坐标，离心率，渐近线方程为【精彩点拨】在几何性质的讨论中要注意a和2a，b和2b的区别，另外也要注意焦点所在轴的不同，几何量也有不同的表示.

4、要点2：双曲线的渐近线例2.已知双曲线方程，求渐近线方程。（1）；（2）【解析】（1）双曲线的渐近线方程为：即（2）双曲线的渐近线方程为：即【精彩点拨】双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为，即；若双曲线的方程为（，焦点在轴上，焦点要点3：求双曲线的离心率或离心率的取值范围例3.已知是双曲线的左、右焦点,过且垂直于轴的直线与双曲线的左支交于A、B两点,若是正三角形,求双曲线的离心率。【解析】，是正三角形，【精彩点拨】双曲线的离心率是双曲线几何性质的一个重要参数，求双曲线离心率的关键是由条件寻求a、c满足的关系式，从而求出要点4：双曲线的焦点三角形例4已知双曲线实轴长6，过左焦点的弦交左半支于、两点，且，设右焦点，求的周长.【解析】由双曲线的定义有:，.即.故的周长.【精彩点拨】双曲线的焦点三角形中涉及了双曲线的特征几何量，在双曲线的焦点三角形中，经常运用正弦定理、余弦定理、双曲线定义来解题，解题过程中，常对定义式两边平方探求关系