2021届高考数学一轮知能训练：专题五　圆锥曲线的综合及应用问题 第3课时 WORD版含解析.doc

1、第3课时1已知椭圆C：1 (ab0)的两焦点在x轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为2的等腰直角三角形(1)求椭圆的方程； (2)动直线l：3mx3nyn0(mR，nR，m，n不全为零)交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2如图Z52，已知椭圆C1：y21的左、右顶点为A1，A2，上、下顶点为B1，B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为C2.(1)求圆C2的标准方程；(2)已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C1于P，M两点求证：OPOM；试探究是否为定值图Z523如

2、图Z53，抛物线C1：y28x与双曲线C2：1(a0，b0)有公共焦点F2，点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|5.(1)求双曲线C2的方程；(2)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：(x2)2y21.已知点P(1，)，过点P作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l1和l2，设被圆M截得的弦长为s，l2被圆N截得的弦长为t.试探索是否为定值？请说明理由图Z534如图Z54，椭圆E：1(ab0 )的左、右焦点分别为F1，F2，MF2x轴，直线MF1交y轴于H点，OH，Q为椭圆E上的动点，F1F2Q的面积的最大值为1.(1)求椭圆E的方程；(2)过点S(4,0)作两条直

3、线与椭圆E分别交于A，B，C，D，且使ADx轴，如图，问四边形ABCD的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由图Z545已知抛物线E的顶点为原点O，焦点为圆F：x2y24x30的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A，D两点，交圆F于B，C两点， A，B在第一象限， C，D在第四象限(1)求抛物线E的方程；(2)是否存在直线l，使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由6已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，且椭圆过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A为椭圆C的下顶点，D，E为椭圆C上与A不重合的两点，若直线AD

4、与直线AE的斜率之和为a2，试判断是否存在定点G，使得直线DE恒过点G，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由第3课时1解：(1)椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形，bc.又斜边长为2，即2b2，故cb1，a， 椭圆方程为y21.(2)由题意可知该动直线过定点P.当l与x轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x22；当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2y21.由得故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0,1)下面证明Q(0,1)为所求：若直线l的斜率不存在，上述已经证明若直线l的斜率存在，设直线l：ykx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(918

5、k2)x212kx160, 144k264(918k2)0，x1x2，x1x2， (x1，y11)，(x2，y21)，x1x2(y11)(y21)(1k2)x1x2(x1x2)(1k2)0, ，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1)2(1)解：A2，B1分别为椭圆C1：y21的右顶点和上顶点，则A2，B1坐标分别为(2,0)，(0,1)，可得直线A2B1的方程为x2y2.原点O到直线A2B1的距离为d，圆C2的半径rd，故圆C2的标准方程为x2y2.(2)证明：可设切线l：ykxb(k0)，P(x1，y1)，M(x2，y2)，将直线PM方程代入椭圆C1可得x22kbxb210，由韦达定理得：

6、y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2，又l与圆C2相切，可知原点O到l的距离d，整理可得k2b21，则y1y2，x1x2y1y20，故OPOM.由OPOM知SOPM|OP|OM|，)当直线OP的斜率不存在时，显然|OP|1，|OM|2，此时；)当直线OP的斜率存在时，设OP：yk1x代入椭圆方程可得kx21，则x2，故|OP|2x2y2(1k)x2，同理|OM|2，则.综上可知：为定值3解：(1)抛物线C1：y28x的焦点为F2(2,0)，双曲线C2的焦点为F1(2,0)，F2(2,0)设A(x0，y0)在抛物线C1：y28x上，且|AF2|5.由抛物线的定义得，x

7、025，x03.y83，y02 .|AF1|7，又点A在双曲线上，由双曲线定义，得2a|75|2，a1.双曲线的方程为：x21.(2)为定值下面给出说明：设圆M的方程为(x2)2y2r2，双曲线的渐近线方程为yx.圆M与渐近线yx相切，圆M的半径为r.故圆M：(x2)2y23.依题意l1，l2的斜率存在且均不为零，设l1的方程为yk(x1)，即kxyk0，设l2的方程为y(x1)，即xkyk10，点M到直线l1的距离为d1，点N到直线l2的距离为d2，直线l1被圆M截得的弦长s2 2，直线l2被圆N截得的弦长t2 2 ，故为定值.4解：(1)设F(c,0)，由题意可得1，即yM.OH是F1F2

8、M的中位线，且OH，|MF2|，即，整理得a22b4.又由题知，当Q在椭圆E的上顶点时，F1F2M的面积最大，2cb1，整理得bc1，即b2(a2b2)1，联立可得2b6b41，变形得(b21)(2b4b21)0，解得b21，进而a22.椭圆E的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则由对称性可知D(x1，y1)，B(x2，y2)设直线AC与x轴交于点(t,0)，则直线AC的方程为xmyt(m0)，联立消去x，得(m22)y22mtyt220，y1y2，y1y2，由A，B，S三点共线kASkBS，即，将x1my1t，x2my2t代入整理，得y1(my2t4)y2(my1t4

9、)0，即2my1y2(t4)(y1y2)0，从而0，化简得2m(4t2)0，解得t，于是直线AC的方程为xmy， 故直线AC过定点.同理可得BD过定点.直线AC与BD的交点是定点，定点坐标为.5解：(1)设抛物线E的方程为y22px(p0)，圆F的方程为2y21，圆心F的坐标为F，半径r1.2，解得p4, 抛物线E的方程为y28x.(2)2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项，|AB|CD|4|BC|42r8.|AD|AB|BC|CD|10.若l垂直于x轴，则l的方程为x2，代入y28x，得y4.此时|AD|y1y2|810，即直线x2不满足题意若l不垂直于x轴，设l的斜率为k，由已知得k0

10、, l的方程为yk(x2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2x4k20.x1x2.抛物线E的准线为x2，|AD|AF|DF|(x12)(x22)x1x24，410，解得k2. 当k2时， k2x2(4k28)x4k20化为x26x40, (6)24140，x26x40有两个不相等实数根k2满足题意，即直线y2(x2)满足题意存在满足要求的直线l，它的方程为2xy40或2xy40.6解：(1)椭圆C的离心率e，即a22b2，点在椭圆C上，1，由 解得椭圆C的标准方程为y21.(2)由(1)知A(0，1)，当直线DE的斜率存在时，设直线DE的方程为ykxt(t1)，代入y21得，(12k2)x24ktx2t220，16k2t24(12k2)(2t22)0，即t22k21.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1x2，x1x2，直线AD与直线AE的斜率之和为a2，kADkAE 2k 2ka22，整理得t1k，直线DE的方程为ykxtkx1kk(x1)1，显然直线yk(x1)1经过定点(1,1)当直线DE的斜率不存在时，设直线DE的方程为xm，直线AD与直线AE的斜率之和为a2，设D(m，n)，则E(m，n)，kADkAEa22，解得m1，此时直线DE的方程为x1，显然直线x1经过定点(1,1)综上，存在定点G(1,1)，使得直线DE恒过点G.