《创新方案》2015届高考数学（新课标版文）二轮复习专题训练：专题1 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数.DOC

1、专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合、常用逻辑用语(选择、填空题型)1.(2014山东高考) 设集合 Ax|x22x0,则綈p为()A.x0R,x10 B.x0R,x10C.x0R,x1b”是“a2b2”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选D可采用特殊值法进行判断,令a1,b1,满足ab,但不满足a2b2,即条件“ab”不能推出结论“a2b2”；再令a1,b0,满足a2b2,但不满足ab,即结论“a2b2”不能推出条件“ab”.故选D.4.(2014陕西高考)原命题为“若an,nN,则an为递减数列”,关于其逆

2、命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,真,真 B.假,假,真C.真,真,假 D.假,假,假解析：选A从原命题的真假入手,由于anan1anan为递减数列,即原命题和逆命题均为真命题,又原命题与逆否命题同真同假,则逆命题、否命题和逆否命题均为真命题,选A.5.(2014重庆高考)已知命题p：对任意xR,总有|x|0；q：x1是方程x20的根.则下列命题为真命题的是()A.p(綈q) B.(綈p)qC.(綈p)(綈q) D.pq解析：选A命题p为真命题,命题q为假命题,所以命题綈q为真命题,所以p(綈q)为真命题,选A.1.集合的运算性质与结论(1)AAA,AA,ABBA

3、.(2)AAA,A,ABBA.(3)A(UA),A(UA)U.(4)ABAAB,ABABA.2.四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.3.充分条件与必要条件(1)若pq,则p是q的充分条件,q是p的必要条件；若pq,则p,q互为充要条件；(2)充要条件与集合的关系：设命题p对应集合A,命题q对应集合B,则pq等价于AB,pq等价于AB.4.复合命题真假的判断方法命题pq,pq及綈p真假可以用下表来判定：pqpqpq綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真口诀记忆：pq,一真则真；pq,一假则假；綈p与p真假相

4、反.5.全(特)称命题及其否定(1)全称命题p：xM,p(x).它的否定綈p：x0M,綈p(x0).(2)特称命题p：x0M,p(x0).它的否定綈p：xM,綈p(x).热点一集合的概念及运算命题角度(1)考查集合的含义及集合间的关系,如T1；(2)考查集合的基本运算,且常与不等式、函数的定义域等问题相结合考查,如T2,T3,T4.1.(2014温州模拟)已知集合A1,2,3,B(x,y)|xA,yA,xyA,则B中所含元素的个数为()A.2B.3C.4D.62.(2014四川高考)已知集合Ax|x2x20,集合B为整数集,则AB()A.1,0,1,2 B.2,1,0,1C.0,1 D.1,0

5、3.(2014郑州模拟)已知集合Ax|ax10,Bx|1log2x2,xN,且ABA,则a的所有值组成的集合是()A. B. C. D.4.(2014东城模拟)全集UR,集合Ax|x22x0,By|ycos x,xR,则图中阴影部分表示的集合为_. 自主解答1.集合B中满足条件的元素有(1,1),(1,2),(2,1),共3个,故选B.2.因为Ax|1x2,BZ,故AB1,0,1,2.3.由ABA可得AB,而集合Bx|2x4,xN3,4.显然当a0时,A,AB.当a0时,由3或4,得a或.故a的所有值组成的集合为,故选D.4.由题意知,集合Ax|0x2,By|1y1,则图中阴影部分表示的集合为

6、ABx|0x1.答案1.B2.A3.D4.x|0x1解答集合的概念及运算问题的一般思路(1)正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性、代表的意义.(2)根据集合中元素的性质化简集合.(3)依据元素的不同属性采用不同的方法求解,此时常用到以下技巧：若已知的集合是不等式的解集,用数轴求解；若已知的集合是点集,用数形结合法求解；若已知的集合是抽象集合,用Venn图求解.热点二真假命题的判定及命题的否定命题角度(1)四种命题及其真假判断,如T1；(2)含逻辑联结词的复合命题的真假判定,如T2；(3)全(特)称命题的否定,如T3；(4)由命题的真假性求参数,如T4.1.(2014皖西七校联考)命题“若

7、ay,则xy,则x2y2.在命题pq；pq；p(綈q)；(綈p)q中,真命题是()A. B. C. D.3.(2014宜春模拟)命题“xR,exx2”的否定是()A.不存在x0R,使ex0x B.x0R,使ex0xC.x0R,使ex0x D.xR,使exx24.(2014泰州模拟)由命题“存在x0R,使x2x0m0”是假命题,求得m的取值范围是(a,),则实数a的值是_.自主解答1.原命题为：“若a0,则方程x2xa0有实根”,因为方程的判别式为14a,a0,方程x2xa0有实根,故命题为真；逆否命题为：“若方程x2xa0没有实根,则a0”,根据原命题与逆否命题,真假一致,可知命题为真；逆命题

8、为：“若方程x2xa0有实根,则a0”,因为方程有实根,所以判别式14a0,a,显然a0”是真命题,44m1,故a的值是1.答案1.B2.C3.C4.11.三步辨明“或”“且”“非”命题的真假性(1)弄清构成命题的p和q的真假性；(2)弄清结构形式；(3)根据真值表判断构成新命题的真假性.2.全(特)称命题的否定全称命题的否定是将全称量词改为存在量词,并把结论否定；特称命题的否定是将存在量词改为全称量词,并把结论否定.热点三充 要 条 件命题角度(1)充要条件的判定,如T1；(2)由充要条件确定参数,如T2. 1.(2014新课标全国卷)函数f(x) 在xx0 处导数存在.若p：f(x0)0；

9、q：xx0是f(x)的极值点,则() A.p 是q 的充分必要条件 B.p是 q的充分条件,但不是q 的必要条件 C.p是 q的必要条件,但不是q 的充分条件 D.p 既不是q 的充分条件,也不是 q的必要条件2.(2014连云港模拟)设p：x1,q：x2(2a1)xa(a1)0,若綈p是綈q的必要而不充分条件,则实数a的取值范围是_.自主解答1.设f(x)x3,f(0)0,但是f(x)是单调增函数,在x0处不存在极值,故若p则q是一个假命题,由极值的定义可得,若q则p是一个真命题.故选C.2.由x2(2a1)xa(a1)0,得(xa)(xa1)0,则axa1,若綈p是綈q的必要而不充分条件,

10、则q是p的必要而不充分条件,有即0a.答案1.C2.本题2的条件下,是否存在实数a,使綈p是綈q的充分不必要条件？解：要使綈p是綈q的充分不必要条件,则p是q的必要不充分条件,即故a不存在.所以,不存在实数a,使綈p是綈q的充分不必要条件. 判断充分、必要条件时应关注三点(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B,且B不能推出A.(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时,可以通过举出恰当的反例来说明.(3)要注意转化：綈p是綈q的必要不充分条件p是q的充分不必要条件；綈p是綈q的充要

11、条件p是q的充要条件.热点四与命题有关的综合问题命题角度对“命题”的考查,切入点很广泛,知识载体也是常考常新.高考中常将四种命题、充要条件、逻辑联结词等相综合,以真假命题的判断为载体考查.例1(1)(2014江西高考)下列叙述中正确的是() A.若a,b,cR,则“ax2bxc0”的充分条件是“b24ac0” B.若a,b,cR,则“ab2cb2”的充要条件是“ac” C.命题“对任意xR,有x20”的否定是“存在x0R,有x0” D.l是一条直线, 是两个不同的平面,若l,l,则(2)(2014福州模拟)已知下列命题：命题“x0R,x1x01”的否定是“xR,x212”是“a5”的充分不必要

12、条件；“若xy0,则x0且y0”的逆否命题为真命题.其中所有真命题的序号是_.师生共研(1)由b24ac0推不出ax2bxc0,这是因为a的符号不确定,所以A不正确；当b20时,由ac推不出ab2cb2,所以B不正确；“对任意xR,有x20”的否定是“存在x0R,有xx01”的否定是“xR,x21x1”,故错；“pq”为假命题说明p假q假,则“(綈p)(綈q)”为真命题,故对；a5a2,但a2/ a5,故“a2”是“a5”的必要不充分条件,故错；因为“若xy0,则x0或y0”,所以原命题为假命题,故其逆否命题也为假命题,故错.答案(1)D(2)解决此类问题需要对每一个命题逐一作出判断,需要有扎

13、实的基础知识,这是破解此类问题的前提条件.若需证明某命题为真,需要根据有关知识作出逻辑证明,但若需要证明某命题为假,只要举出一个反例即可,因此,“找反例”是破解此类问题的重要方法之一.1.下列命题中错误的是()A.命题“若x25x60,则x3”的逆否命题是“若x3,则x25x60”B.若x、yR,则“xy”是“xy2成立”的充要条件C.已知命题p和q,若pq为假命题,则命题p与q中必一真一假D.对命题p：x0R,使xx02b”是“a2b2”的充要条件；“ABB”是“B”的必要不充分条件；“x3”的必要不充分条件是“x22x30”；“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”.其中正确说法的序号

14、是_.解析：如24,但220,显然错误.故选A.法二：设点A(x1,y1)为函数f(x)图象上任意一点,由已知存在点B(x2,y2)满足x1x2y1y20,有OAOB,作出各函数图象,观察即得结论.(2)要使fA(x)fB(x)1,必有xx|xA且xBx|xB且xA1,6,10,12,所以AB1,6,10,12.答案(1)A(2)1,6,10,12解决集合中新定义问题的两个关键点(1)紧扣新定义：新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用,在解决问题时要分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中.(2)用好集合的性质：集合的性质是破解集合类新定义型试题的

15、基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.3.设集合A1,0,1,集合B0,1,2,3,定义A*B(x,y)|xAB,yAB,则A*B中元素的个数是()A.7B.10C.25 D.52解析：选B因为A1,0,1,B0,1,2,3,所以AB0,1,AB1,0,1,2,3.因为xAB,所以x可取0,1；因为yAB,所以y可取1,0,1,2,3.则(x,y)的可能取值如下表所示：故A*B中元素共有10个.4.设A是自然数集的一个非空子集,对于kA,如果k2A,且A,那么k是A的一个“酷元”,给定SxN|ylg(36x2),设MS,且集合M中的两

16、个元素都是“酷元”,那么这样的集合M的个数为_.解析：由题意,知S为函数ylg(36x2)的定义域内的自然数集,由36x20,解得6x0,集合Ax2x1,x,x1,B.若AB,则x2y2的值为_.师生共研(1)集合A(x,y)|x22xy22y2,可得(x1)2(y1)24,集合B(x,y)|x22xy22y,可得(xy)(xy2)0.在平面直角坐标系上画出A,B表示的图形可知AB的元素构成的图形的面积为2.(2)由xR,y0得x2x10,y0,0,且xx1,y.而AB,所以得x1,y2,从而集合A3,1,2,B2,1,3,符合条件,故x2y25.答案(1)B(2)5与集合有关的交汇性问题中,

17、集合知识固然是解题的一个重要方面,但更重要的是集合的外表下所蕴含的一些规律,通过分析题目的已知条件和结论,把这些规律找出来,脱掉集合的“外衣”,揭示问题的本质,是破解此类问题的主要思想方法.5.设集合A,B(x,y)|y2x,则AB的子集的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析：选D在同一坐标系下画出椭圆x21及函数y2x的图象,结合图形不难得知它们的图象有2个公共点,因此AB中有2个元素,故其子集有224个.一、选择题1.设全集为R,集合Ax|x290,Bx|1x5,则A(RB)()A.(3,0)B.(3,1)C.(3,1 D.(3,3)解析：选C因为Ax|3x5,所以A(RB)x|3

18、x5x|30,所以RPy|y1,所以RPQ,故选C.3.(2014广州模拟)命题“若x21,则1x1”的逆否命题是()A.若x21,则x1或x1B.若1x1,则x21或x1D.若x1或x1,则x21解析：选D由逆否命题的变换可知,命题“若x21,则1x,则sin sin .下列命题是真命题的是()A.p(綈q) B.(綈p)(綈q)C.(綈p)q D.pq解析：选Ap为真命题,q为假命题,所以綈q是真命题,从而p(綈q)为真命题.6.(2014安溪模拟)下列命题中,真命题是()A.x0R,ex00B.a1,b1是ab1的充要条件C.x|x240x|x1x2”的否定是真命题解析：选D因为ex的值

19、恒大于零.所以A选项不正确.由a1,b1可得ab1,所以充分性成立.但是ab1不能推出a1,b1.所以必要性不成立,即B选项不正确.由x|x240可得x2,又有x|x10可得x0x|x10x|xx2”的否定是x0R,使得2x0x.当x3时成立.故D正确.7.已知集合Mx|x25x0,Nx|px6,且MNx|21”是“|x|0”的充分不必要条件C.若pq为假命题,则p、q均为假命题D.命题p：“x0R,使得x2x031”,则必有“|x|0”,故是充分条件.反之,“|x|0”,则x可取负数,这时“x1”不成立,故不是必要条件,所以B正确；对C,若pq为假命题,则有可能是p、q中一真一假,故C不正确

20、.对D,因为命题：“x0A,p”的否定为“xA,綈p”,所以命题p：“x0R,使得x2x030”的否定是綈p：“xR,x22x30”,D正确.9.设P和Q是两个集合,定义集合PQx|xP且xQ,如果Px|log2 x1,Qx|x2|1,那么PQ等于()A.x|0x1 B.x|0x1C.x|1x2 D.x|2x3解析：选B由log2 x1,解得0x2,所以Px|0x2；由|x2|1,解得1x3,所以Qx|1x3.由题意,得PQx|01.注意到以1为首项、1为公差的等差数列的前7项和为28,因此由集合A中所有整数元素之和为28得7a3”的否定是_.解析：命题“存在x0R,使得|x01|x01|3”

21、的否定是“对任意的xR,都有|x1|x1|3”.答案：对任意的xR,都有|x1|x1|312.(2014广州模拟)给出下列四个结论：若命题p：x0R,xx010,则方程x2xm0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2xm0没有实数根,则m0”；若a0,b0,ab4,则的最小值为1.其中正确结论的序号为_.解析：由特称命题的否定知正确；(x3)(x4)0x3或x4,x3(x3)(x4)0,所以“(x3)(x4)0”是“x30”的必要而不充分条件,所以错误；由逆否命题的定义知正确；a0,b0, ab4,21,正确.答案：13.已知“命题p：(xm)23(xm)”是“命题q：x23x4m3或xm,命题

22、q：4x1.因为p是q成立的必要不充分条件,所以m34,m7或m1,故m的取值范围是(,71,).答案：(,71,)14.(2014福建高考) 已知集合a,b,c0,1,2,且下列三个关系：a2；b2；c0 有且只有一个正确,则100a10bc等于_.解析：可分下列三种情形：(1)若只有正确,则a2,b2,c0,所以ab1与集合元素的互异性相矛盾,所以只有正确是不可能的；(2)若只有正确,则b2,a2,c0,这与集合元素的互异性相矛盾,所以只有正确是不可能的；(3)若只有正确,则c0,a2,b2,所以b0,c1,所以100a10bc10021001201.答案：20115.设集合Aa|f(x)

23、8x33ax26x是(0,)上的增函数,则R(AB)_.解析：根据题意,f(x)24x26ax6,要使函数f(x)在(0,)上是增函数,则f(x)24x26ax60在(0,)上恒成立,即a4x.而4x2 4,所以a4,即集合Aa|a4.集合y|1y5,所以ABx|1x4,故R(AB)(,1)(4,).答案：(,1)(4,)16.(2014江西七校联考)记实数x1,x2,xn中的最大数为maxx1,x2,xn,最小数为minx1,x2,xn.已知ABC的三边边长为a、b、c(abc),定义它的倾斜度为tmaxmin,则“t1”是“ABC为等边三角形”的_.(填充分不必要条件、必要不充分条件、充要

24、条件、既不充分也不必要条件)解析：若ABC为等边三角形,即abc,则max1min,则t1；若ABC为等腰三角形,如a2,b2,c3时,则max；min,此时t1仍成立,但ABC不为等边三角形,所以“t1”是“ABC为等边三角形”的必要而不充分条件.答案：必要不充分条件第二讲函数的图象与性质(选择、填空题型)1.(2014山东高考) 函数f(x) 的定义域为()A.(0,2) B.(0,2C.(2,) D.2,) 解析：选C由题意可知x满足log2x10,即log2xlog22,根据对数函数的性质得x2,即函数f(x)的定义域是(2,).2.(2014新课标全国卷)设函数f(x),g(x)的定

25、义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数解析：选Cf(x)为奇函数,g(x)为偶函数,故f(x)g(x)为奇函数,|f(x)|g(x)为偶函数,f(x)|g(x)|为奇函数,|f(x)g(x)|为偶函数,故选C.3.(2014北京高考)下列函数中,定义域是R且为增函数的是()A.yex B.yx3 C.yln x D.y|x|解析：选B分别画出四个函数的图象,如图：因为对数函数yln x的定义域不是R,故首先排除选项C；因为指数函数y

26、ex,即yx,在定义域内单调递减,故排除选项A；对于函数y|x|,当x(,0)时,函数变为yx,在其定义域内单调递减,因此排除选项D；而函数yx3在定义域R上为增函数.故选B.4.(2014江西高考)在同一直角坐标系中,函数yax2x与ya2x32ax2xa(aR)的图象不可能的是()解析：选B分两种情况讨论：当a0时,函数为yx与yx,图象为D,故D有可能；当a0时,函数yax2x的对称轴为x,对函数ya2x32ax2xa求导得y3a2x24ax1(3ax1)(ax1),令y0,则x1,x2,所以对称轴x介于两个极值点x1,x2之间,A,C满足,B不满足,所以B不可能.故选B. 5.(201

27、4安徽高考)若函数f(x)(xR) 是周期为4的奇函数,且在0,2 上的解析式为 f(x)则ff_.解析：由于函数f(x)是周期为4的奇函数,所以ffffffffsin.答案： 1.函数的三个性质(1)单调性如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,且x1x2,都有f(x1)f(x2)成立,则f(x)在D上是减函数).(2)奇偶性对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称),都有f(x)f(x)成立,则f(x)为奇函数(都有f(x)f(x)成立,则f(x)为偶函数).(3)周期性周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条件：当x取定义域内的每一个值时,都有f(xT)f(

28、x)；T是不为零的最小正数.2.抽象函数的周期性与对称性(1)函数的周期性若函数f(x)满足f(xa)f(xa),则f(x)为周期函数,2a是它的一个周期.设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线xa(a0)对称,则f(x)是周期函数,2a是它的一个周期.设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线xa(a0)对称,则f(x)是周期函数,4a是它的一个周期.(2)函数图象的对称性若函数yf(x)满足f(ax)f(ax),即f(x)f(2ax),则f(x)的图象关于直线xa对称.若函数yf(x)满足f(ax)f(ax),即f(x)f(2ax),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.若函数yf(x)满

29、足f(ax)f(bx),则函数f(x)的图象关于直线x对称. 热点一函数及其表示命题角度(1)考查函数的定义域,如T1；(2)考查函数值(或值域)的求法,如T2,T4；(3)考查分段函数问题,如T3.1.函数f(x)的定义域为()A.2,0)(0,2 B.(1,0)(0,2C.2,2 D.(1,22.(2014长春模拟)已知函数f(x)的值域是8,1,则实数a的取值范围是()A.(,3 B.3,0)C.3,1 D.33.(2014三明模拟)已知函数f(x)若mn,则的值()A.一定是m B.一定是nC.是m、n中较大的数 D.是m、n中较小的数4.设f(x)是定义在R上的周期为2的函数,当x1

30、,1)时,f(x)则_.自主解答1.x需满足即解得1x0或0x2.2.当0x4时,f(x)8,1,当ax0时,f(x),所以8,1,81,即3a0.3.由题意可知f(mn)所以所以的值是m、n中较大的数,故选C.4.由已知易得f4221,又由函数的周期为2,可得f1.答案1.B2.B3.C4.1在题2中,当a取得最小值时,若方程f(x)m有且只有一个实数根,求m的取值范围. 解：由题2可知,a的最小值为3,则f(x)的图象如图所示.方程f(x)m有且只有一个实数根,等价于函数yf(x)的图象与直线ym有且只有一个公共点,由图可知,m的取值范围为m|m1或1m0. 函数值和值域的求法(1)求解函

31、数值时只要根据自变量的值与函数的对应关系代入求解即可,在分段函数中要根据自变量所在的区间选取函数解析式；(2)求解函数值域的方法有：公式法、图象法、换元法、数形结合法、有界性法等,要根据问题具体分析,确定求解的方法.热点二函数的性质命题角度(1)判断函数的单调性,奇偶性等,如T1；(2)求函数的最值或单调区间,如T2；(3)利用函数的性质求值,如T3.1.(2014内江模拟)若函数f(x),则函数f(x)()A.是偶函数,在(,0)是增函数B.是偶函数,在(,0)是减函数C.是奇函数,在(,0)是增函数D.是奇函数,在(,0)是减函数2.函数f(x)的定义域为xR|x1,对定义域中任意的x,都

32、有f(2x)f(x),且当x1时,f(x)的递增区间是()A. B.C. D.3.已知函数f(x)对任意xR都有f(x6)f(x)2f(3),yf(x1)的图象关于点(1,0)对称,且f(4)4,则f(2 012)()A.0 B.4 C.8 D.16自主解答1.法一：由定义易得,函数f(x)为偶函数.求导得：f(x).(这里之所以在分子提2x出来,目的是便于将分子求导)再令g(x)2x2xln 22x,则g(x)2xln 22ln 22xln 2ln 2(2x2x2)0),当x0时,ln 2(2x2x2)0时单调递减,g(x)g(0)0,从而f(x)0,所以f(x)在(0,)上是减函数,由偶函

33、数的对称性知,f(x)在(,0)上是增函数.法二：由定义易得,函数f(x)为偶函数.结合选项来看,函数在(,0)上必单调,故取特殊值来判断其单调性.f(1),f(2),所以f(x)在(0,)上是减函数,由偶函数的对称性可知,f(x)在(,0)上是增函数.选A.2.由f(2x)f(x),得函数图象关于直线x1对称,当xf(x1),则正实数a 的取值范围为_.师生共研(1)将解析式变形整理,f(x)1,当x0时,f(x)1(,0),当xf(x1)恒成立；又xR ,f(x)f(x1),且f(4a)f(2a)a,故只需4a(2a)1,即a,又a为正实数,故a.答案(1)A(2)C(3)作图、识图、用图

34、的技巧(1)作图：常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换.(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.(3)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结合图象研究.但是,在利用图象求交点个数或解的个数时,作图要十分准确,否则容易出错.1.已知函数yf(x)的定义域是R,若对于任意的正数a,函数g(x)f(xa)f(x)是其定义域上的增函数,则函数yf(x)的图象可能是()解析：选A设x1x2,由g(x)为其定义域上的增函数,得f(x1a)f(x1)f(x2a)f(x2),

35、即f(x1a)f(x2a),即曲线yf(x)的割线的斜率单调递增,结合函数图象可知,选项A正确.2.在同一平面直角坐标系中,函数yg(x)的图象与yex的图象关于直线yx对称.而函数yf(x)的图象与yg(x)的图象关于y轴对称,若f(m)1, 则m的值是_.解析：由题意知g(x)ln x,则f(x)ln(x),若f(m)1,则ln(m)1,解得m.答案：热点四函数与不等式的交汇问题命题角度函数与不等式的交汇是高考的热点,常涉及函数性质与不等式的解法、恒成立问题、求参数范围等,题目难度偏大.例2(2014合肥模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x0时,f(x)x24x,则不等式f(x)x

36、的解集用区间表示为_.师生共研由于f(x)为R上的奇函数,所以当x0时,f(0)0；当x0,所以f(x)x24xf(x),即f(x)x24x,所以f(x)由f(x)x,可得或解得x5或5xg(x)恒成立,则实数b的取值范围是_.(2)(2014南京模拟)对于函数f(x),若存在区间Ma,b,使得y|yf(x),xMM,则称区间M为函数f(x)的一个“好区间”,给出下列4个函数：f(x)sin x；f(x)|2x1|；f(x)x33x；f(x)lg x1.其中存在“好区间”的函数是_.(填入所有满足条件函数的序号)师生共研(1)函数g(x)的定义域是2,2,根据已知得f(x),所以h(x)2f(

37、x)g(x)6x2b.又h(x)g(x)恒成立,即6x2b 恒成立,即3xb 恒成立.令y3xb,y,则只要直线y3xb在半圆x2y24(y0)上方即可,由 2,解得b2(舍去负值),故实数b的取值范围是(2,).(2)函数f(x)sin x在上是单调增函数,若函数在上存在“好区间”a,b,则必有sin aa,sin bb,即方程sin xx有两个根,令g(x)sin xx,g(x)cos x10在上恒成立,所以函数g(x)在上为减函数,则函数g(x)在上至多有一个零点,即方程sin xx在上不可能有两个解,又因为函数f(x)的值域为1,1,所以当x时,方程sin xx无解.所以函数f(x)s

38、in x没有“好区间”；对于函数f(x)|2x1|,该函数在0,)上是增函数由幂函数的性质我们易得,M0,1时,f(x)0,1M,所以M0,1为函数f(x)|2x1|的一个“好区间”.对于函数f(x)x33x,f(x)3x233(x1)(x1),当x(1,1)时,f(x)0,所以函数f(x)x33x的增区间有(,1)和(1,),减区间是(1,1),取M2,2,此时f(2)2,f(1)2,f(1)2,f(2)2,所以函数f(x)x33x在M2,2上的值域是2,2,则M2,2为函数的一个“好区间”；函数f(x)lg x1在定义域(0,)上为增函数,若有“好区间”a,b则lg a1a,lg b1b,

39、也就是函数g(x)lg xx1有两个零点,显然x1是函数的一个零点,由g(x)1,函数g(x)在上为减函数；由g(x)10,得xg(1)0,则该函数g(x)在上还有一个零点.所以函数f(x)lg x1存在“好区间”.答案(1)(2,)(2)解决此类新定义问题首先要准确理解给出的新定义,然后把其转化为熟悉的数学问题求解.如本例(1)通过对“对称函数”的理解,将问题转化为熟知的直线与圆的位置关系,从而使问题得以顺利解决.4.在平面直角坐标系中,若两点P、Q满足条件；P、Q都在函数yf(x)的图象上；P、Q两点关于直线yx对称,则称点对P,Q是函数yf(x)的一对“和谐点对”.(注：点对P,Q与Q,

40、P看作同一对“和谐点对”)已知函数f(x)则此函数的“和谐点对”有()A.0对 B.1对 C.2对 D.3对解析：选C作出函数f(x)的图象,然后作出f(x)log2 x(x0)关于直线yx对称的图象,与函数f(x)x23x2(x0)的图象有2个不同交点,所以函数的“和谐点对”有2对.5.设函数f(x)x,对任意x1,),使不等式f(mx)mf(x)0,由函数的单调性可知f(mx)和mf(x)均为增函数,此时不符合题意,若m0,则f(mx)mf(x)0可化为mxmx0,所以2mx0,即12x2,因为y2x2在x1,)上的最小值为2,所以11,解得m1.答案：(,1)一、选择题1.函数y的定义域

41、是()A.x|0x2B.x|0x1或1x2C.x|0x2D.x|0x1或1x2解析：选D由题意知,要使函数有意义只需解得0x1或1x2,所以函数y的定义域为x|0x1或10,a1)的图象如图,则下列结论成立的是() A.a1,c1 B.a1,0c1 C.0a1 D.0a1,0cf成立的x的取值范围是()A. B. C. D.解析：选B因为偶函数的图象关于y轴对称,在区间0,)上单调递减,所以f(x)在(,0上单调递增,若f(2x1)f,则2x1,故x,故选B.8.定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x).当3x1时,f(x)(x2)2；当1x3时,f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f

42、(2 014)()A.335 B.337 C.1 678 D.2 012解析：选B由f(x6)f(x)可知,函数f(x)的周期为6,所以f(3)f(3)1,f(2)f(4)0,f(1)f(5)1,f(0)f(6)0,f(1)1,f(2)2,所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101,所以f(1)f(2)f(2 014)f(1)f(2)f(3)f(4)33511210335337,故选B.9.已知定义在R上的函数yf(x)满足以下三个条件：对于任意的xR,都有f(x4)f(x)；对于任意的x1,x2R,且0x1x22,都有f(x1)f(x2)；函数yf(x2)的图象关于y轴对称,则

43、下列结论中正确的是()A.f(4.5)f(7)f(6.5)B.f(7)f(4.5)f(6.5)C.f(7)f(6.5)f(4.5)D.f(4.5)f(6.5)f(7)解析：选A由f(x4)f(x)可知函数f(x)是周期为4的周期函数,函数yf(x2)的图象关于y轴对称,则函数yf(x)关于x2对称,当0x1x22时,有f(x1)f(x2),即函数f(x)在0,2上单调递增；故当2x1f(x2),即函数f(x)在2,4上单调递减；所以函数的大致图象如图所示.又f(4.5)f(0.5),f(6.5)f(2.5),f(7)f(3),根据函数f(x)在(0,4)上的单调性,有f(4.5)f(7)2,a

44、R)有最大值,则f(x)B.其中的真命题有()A. B. C. D.解析：选B显然正确；反例：函数y的值域为(0,1),存在M1符合题意,但此函数没有最值；当f(x)趋于时,无论g(x)在M,M内如何取值,f(x)g(x)都趋于,所以f(x)g(x)不可能有最大值,此命题正确；由于ln(x2)的值域为R,的值域为,由知如果a0,则函数f(x)aln(x2)的值域为R,无最大值,与已知矛盾,所以a0,所以此命题正确.二、填空题11.偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称,f(3)3,则f(1)_.解析：因为f(x)的图象关于直线x2对称,所以f(x)f(4x),f(x)f(4x),又f(x)f(

45、x),所以f(x)f(4x),则f(1)f(41)f(3)3.答案：312.已知偶函数f(x)在0,)单调递减,f(2)0.若f(x1)0,则x的取值范围是_.解析：由题可知,当2x0,f(x1)的图象是由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到的,若f(x1)0,则1x3.答案：(1,3)13.(2014江西七校联考)设函数f(x)2 012sin x的最大值为M,最小值为N,那么MN_.解析：函数f(x)2 012sin x2 012sin x2 0112 012sin x,y2 011x在x上为增函数,y在x上为减函数,y在x上为增函数,而ysin x在x上也为增函数,f(x)2 0112

46、 012sin x在x上为增函数,Mf,Nf,答案：4 02114.对实数a和b,定义运算“”：ab设函数f(x)(x22)(x1),xR.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是_.解析：由题设知f(x)画出函数f(x)的图象,如图,A(2,1),B(2,2),C(1,1),D(1,2).从图象中可以看出,直线yc与函数的图象有且只有两个公共点时,实数c的取值范围是(2,1(1,2.答案：(2,1(1,215.(2014杭州模拟)已知函数f(x)若a、b、c互不相等,且f(a)f(b)f(c),则abc的取值范围是_.解析：依题意不妨假设abc,由函数f(x)若a、

47、b、c互不相等,且f(a)f(b)f(c).因为函数ysin x的周期为2,所以,ab1,又因为1c2 012,所以2abcx2),若不等式f(x1)f(x2)g(x1)g(x2)恒成立,则称函数f(x)相对于函数g(x)在区间D上是“渐先函数”.已知函数f(x)ax2ax相对于函数g(x)2x3在区间a,a2上是渐先函数,则实数a的取值范围是_.解析：设ax2g(x1)g(x2)恒成立,即axax1(axax2)2x13(2x23)恒成立,即a(x1x2)(x1x21)2(x1x2).因为x1x2,故不等式转化为a(x1x21)2恒成立.因为ax2x1a2,所以2a1x1x210时,不等式恒

48、成立转化为a(2a1)2,即2a2a20,解得a；当abcB.acbC.cab D.cba解析：选Ca2(0,1),blog2(,0),cloglog23(1,),所以cab.2.(2014北京高考)已知函数f(x)log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是() A.(0,1) B.(1,2)C.(2,4) D.(4,)解析：选C因为f(1)6log2160,f(2)3log2220,f(4)log240),g(x)logax的图象可能是()解析：选D根据对数函数性质知,a0,所以幂函数是增函数,排除A(利用(1,1)点也可以排除)；选项B从对数函数图象看a1,与幂函数图象矛盾,故选

49、D.4.(2014北京高考)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p 与加工时间t(单位：分钟)满足的函数关系pat2btc (a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( )A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟解析：选B由实验数据和函数模型知,二次函数pat2btc的图象过点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5),分别代入解析式,得解得所以p0.2t21.5t20.2(t3.75)20.812 5,所以当t3.75分钟时,可食用率p最大.故选B.

50、5.(2014天津高考)已知函数f(x) 若函数yf(x)a|x| 恰有4个零点,则实数a 的取值范围为_.解析：画出函数f(x)的图象如图所示：函数yf(x)a|x|有4个零点,即函数y1a|x|的图象与函数f(x)的图象有4个交点(根据图象知需a0).当a2时,函数f(x)的图象与函数y1a|x|的图象有3个交点.故a2.当ya|x|(x0)与y|x25x4|相切时,在整个定义域内,f(x)的图象与y1a|x|的图象有5个交点,此时,由得x2(5a)x40.当0时,有(5a)2160,解得a1,或a9(舍去),则当1a2时,两个函数图象有4个交点.故实数a的取值范围是1a0且a1,b0且b

51、1,M0,N0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数对数函数图象单调性0a1时,在R上单调递增a1时,在(0,)上单调递增；0a1时,在(0,)上单调递减函数值性质0a0时,0y1；当x10a1时,y0；当0x0a1, 当x0时,y1；当x0时,0y1, 当x1时,y0；当0x1时,y0,且a1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是 ( ) 2.(2014涡阳模拟)设ae0.3,b0.92,clog0.87,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cbaC.cab D.bca3.已知函数f(x)ln x,x1,x2,且x1x2,则下列结论中正确的是()A.(x1x2)f(x1)f(

52、x2)0B.fx2f(x1)D.x2f(x2)x1f(x1)自主解答1.因为函数ylogax过点(3,1),所以1loga3,解得a3.y3x不可能过点(1,3),排除A；y(x)3x3不可能过点(1,1),排除C；ylog3(x)不可能过点(3,1),排除D,故选B.2.把a看成函数yex当x0.3时的函数值,因为e1,0.30,所以a1；把b看成函数y0.9x当x2时的函数值,因为00.90,所以0b1,00.871,所以c0.综上,cb0,故A错误；选项B,由函数图象的凸凹性可知f,故B错误；选项C,令g(x),由于g(x),当x时,g(x)0,即函数在区间上为增函数,故x1x2g(x1

53、)g(x2)x2f(x1)x2f(x2),D错误.答案1.B2.B3.C将题3中“f(x)ln x,x1,x2”改为“f(x)ex”,如何选择？解析：选B因为f(x)ex为增函数,所以(x1x2)f(x1)f(x2)0,故A错误；由于函数f(x)ex的凸凹性可知f,故B正确；令g(x),则g(x),所以g(x)在(,0),(0,1)上为减函数,在(1,)上为增函数,故C错误；同理,令h(x)xex,则h(x)exxex(1x)ex,所以h(x)xex在(,1)上为减函数,在(1,)上为增函数,故D错误. 1.三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调

54、性进行比较；(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性比较；(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小.2.解决含参数的指数、对数问题应注意的问题对于含参数的指数、对数问题,在应用单调性时,要注意对底数进行讨论.解决对数问题时,首先要考虑定义域,其次再利用性质求解.热点二函数的零点问题命题角度(1)判断函数零点所在的区间,如T1；(2)判断函数零点的个数,如T2；(3)由函数零点的情况求参数,如T3.1.(2014南安模拟)已知函数f(x)3x2x的零点所在的一个区间是()A.(2,1)B.(1,0)C.(0,1) D.(1,2)2.函数

55、f(x)的零点个数是_.3.已知函数f(x)|x2|1,g(x)kx.若方程f(x)g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是_.自主解答1.f(1)0,所以零点所在的一个区间是(1,0).2.当x0时,令x220,解得x；当x0时,f(x)2x6ln x,因为f(x)20,所以函数f(x)2x6ln x在(0,)上单调递增,因为f(1)26ln 140,所以函数f(x)2x6ln x在(0,)有且只有一个零点,综上,函数f(x)的零点个数为2.3.在同一坐标系中分别画出函数f(x),g(x)的图象如图所示,方程f(x)g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点,结合

56、图象可知,当直线ykx的斜率大于坐标原点与点(2,1)连线的斜率且小于直线yx1的斜率时符合题意,故k1.答案1.B2.23.判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f(x)0,则方程解的个数即为零点的个数.(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在a,b上是连续的曲线,且f(a)f(b)0,函数y1(10m)x20在0,200上是增函数,所以当x200时,生产A产品有最大利润,且y1max(10m)200201 980200m(万美元).又y20.05(x100)2460(xN,0x120),所以当x100时,生产B产品有最大利润,且y2max460(万美元).因为y1maxy2max

57、1 980200m4601 520200m所以当6m7.6时,可投资生产A产品200件；当m7.6时,生产A产品或生产B产品均可(投资生产A产品200件或生产B产品100件)；当7.6m8时,可投资生产B产品100件.热点四零点与函数性质的综合问题命题角度此类问题多以零点为载体考查函数与方程间的转化以及函数的图象和性质,且常以创新题的形式出现.例2(2014重庆高考)已知函数f(x)且g(x)f(x)mxm在(1,1内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.师生共研 g(x)f(x)mxm在(1,1内有且仅有两个不同的零点就是函数yf(x)的图象与函数ym(x1)的图象

58、有两个交点,在同一直角坐标系内作出函数f(x)和函数ym(x1)的图象,如图,当直线ym(x1)与y3,x(1,0和yx,x(0,1都相交时00)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点,则k的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A因为f(1x)f(1x),所以函数f(x)的图象关于直线x1对称,又f(x)是偶函数,所以f(x1)f(1x),即有f(2x)f(x),所以f(x)是周期为2的函数.由y,得x22xy20,即(x1)2y21,画出函数f(x)和直线yk(x1)的示意图.因为直线kxyk0(k0)与函数f(x)的图象有且仅有三个交点,所以根据示意图易知kbc B.bac C.acb

59、 D.cba解析：选C利用中间量比较大小.因为alog2(1,2),blog0,c2(0,1),所以acb.2.(2014西安模拟)函数f(x)exx2(e为自然对数的底数)的零点个数为()A.0 B.1 C.2 D.3解析：选B函数f(x)exx2在R上是增函数,f(0)10,f(0)f(1)b1,0xx B.xaxb C.logx alogx b D.loga xlogb x解析：选Dab1,0x1,01,xb1,0x1,xab1,0x1,logx ab1,0xlogb x,故选D.5.(2014温州模拟)对于函数f(x)4xm2x1,若存在实数x0,使得f(x0)f(x0)成立,则实数m

60、的取值范围是()A.m B.m C.m1 D.m1解析：选B若存在实数x0,使得f(x0)f(x0),则4x0m2x014x0m2x01,整理得,2m(2x02x0)4x04x0,2m(2x02x0),设t2x02x0(t2),则2mt在2,)上为增函数,当t2时,2m1,得m,所以m,故选B.6.(2014湖州模拟)如图是函数f(x)x2axb的部分图象,函数g(x)exf(x)的零点所在的区间是(k,k1)(kZ),则k的值为()A.1或0 B.0 C.1或1 D.0或1解析：选C由于函数f(x)x2axb经过点(1,0),代入得1ab0,即ab1；并且由f(x)的图象可以知0f(0)1,

61、即有0b1；从而有1ab12；f(x)2xa, 所以g(x)ex2xa,易知g(x)在区间(,ln 2)上单调递减；在区间(ln 2,)上单调递增,而g(ln 2)22ln 2a0,所以把0,1,1分别代入验证k的值为1或1.7.(2014湖北高考)已知f(x) 是定义在 R上的奇函数,当x0 时, f(x)x23x.则函数g(x)f(x)x3 的零点的集合为()A.1,3 B.3,1,1,3 C.2,1,3 D.2,1,3解析：选D当x0时,函数g(x)的零点即方程f(x)x3的根,由x23xx3,解得x1或3；当x0时,由f(x)是奇函数得f(x)f(x)x23(x),即f(x)x23x.

62、由f(x)x3得x2(正根舍去).选D.8.(2014南安模拟)已知x0是函数f(x)2x的一个零点.若x1(1,x0),x2(x0,),则()A.f(x1)0,f(x2)0 B.f(x1)0C.f(x1)0,f(x2)0,f(x2)0解析：选B方程的根与函数的零点的联系为：方程f(x)0有实根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.当x1时,y是增函数；y2x也是增函数.所以f(x)是增函数,因为f(x0)0且x1x0,所以f(x1)0.9.已知关于x的方程x有正根,则实数a的取值范围是()A.(0,1) B. C. D.(10,)解析：选C令f(x)x,g(x),由方程x有正

63、根,即f(x),g(x)的图象在(0,)上有交点,如图可知01,即整理得即即1lg a0,则a1.10.(2014忻州模拟)已知函数f(x)若方程f(x)kxk0有两个实数根,则k的取值范围是()A. B. C.1,) D.解析：选B要使方程f(x)kxk0有两个实数根,则函数yf(x)和yk(x1)的图象有两个交点,而f(x)画出图象,由于yk(x1)过定点(1,0),要使函数yf(x)和yk(x1)的图象有两个交点,由图可知kABk0,选B.二、填空题11.已知函数f(x)(aR),若ff(1)1,则a_.解析：因为10,所以ff(1)f(2)a221,解得a.答案：12.设函数f(x)则

64、使得f(x)2成立的x的取值范围是_.解析：当x1时,由ex12得x1ln 2,x0恒成立,写出所有满足题设的数对(a,b)_.解析：因为等式aln xbln(xb)对x0恒成立,所以ln xabln(xb),所以ln xaln ebln(xb),所以ln(xaeb)ln(xb),所以xaebxb对x0恒成立.只有满足时等式才成立,故填(1,0).答案：(1,0)14.(2014江苏高考)已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数,当x0,3)时,f(x).若函数yf(x)a在区间3,4上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是_.解析：函数yf(x)a在区间3,4上有互不相同的10个零点

65、,即函数yf(x),x3,4与ya的图象有10个不同交点.在坐标系中作出函数yf(x)在3,4上的图象,f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4),观察图象可得0a.答案：15.(2014定西模拟)已知函数f(x)满足f(x1)f(x),且f(x)是偶函数,当x0,1时,f(x)x2,若在区间1,3内,函数g(x)f(x)kxk有4个零点,则实数k的取值范围是_.解析：由题意f(x)f(x1)f(x2),知函数的周期为2,又有当x0,1时,f(x)x2,则可知在区间1,3内,函数f(x)的图象如下图所示,函数g(x)f(x)kxk有4个零点,即函数f(x)与直线ykxk(

66、恒过点(1,0)有4个交点,由图象易知0a0,cb0.(1)记集合M(a,b,c)|a,b,c不能构成一个三角形的三条边长,且ab,则(a,b,c)M所对应的f(x)的零点的取值集合为_；(2)若a,b,c是ABC的三条边长,则下列结论正确的是_(写出所有正确结论的序号).x(,1),f(x)0；x0R,使ax0,bx0,cx0不能构成一个三角形的三条边长；若ABC为钝角三角形,则x0(1,2),使f(x0)0.解析：(1)由题设f(x)0,ab2axcxx,又abc,abxx,x0,所以x0c1,又01,0,xxx1,即f(x)0,所以正确；由(1)可知正确；由ABC为钝角三角形,所以a2b

67、2c2,所以f(2)c,所以1,所以f(1)0,由零点存在性定理可知正确.答案：(1)x|0b0,cd0,则一定有()A.B. D.0,b0,所以1(a0,b0),ab(ab)77274,当且仅当时取等号,选D.3.(2014新课标全国卷)设x,y满足约束条件则zx2y的最大值为() A.8 B.7 C.2 D.1解析：选B作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,作直线yx,平移直线yx,当直线yx经过点C时在y轴上的截距取得最大值,即z取得最大值,由得即C(3,2),代入zx2y,得zmax3227,故选B.4.(2014辽宁高考)已知f(x) 为偶函数,当 x0时,f(x)则不等式f(

68、x1) 的解集为()A. B.C.D.解析：选A当0x时,令f(x)cos x,解得x；当x时,令f(x)2x1,解得b,c0acbc,ab,c0acb0,cd0acbd.(3)ab0anbn(nN,n1).(4)ab0(nN,n2).2.六个重要的不等式(1)|a|0,a20(aR)；(2)a2b22ab(a,bR)；(3)(a0,b0)；(4)ab2(a,bR)；(5) (a0,b0)；(6)2(a2b2)(ab)2(a,bR,当ab时等号成立).3.两个成立条件基本不等式：.(1)基本不等式成立的条件：a0,b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号.4.判断二元一次不等式表示的平

69、面区域的方法在直线AxByC0的某一侧任取一点(x0,y0),通过Ax0By0C的符号来判断AxByC0(或AxByC0)所表示的区域.热点一不等式的解法命题角度(1)利用不等式的性质解决不等式,如T1；(2)一元二次不等式的解法,如T2；(3)与分段函数有关的不等式的解法,如T3.1.(2014新余模拟)设奇函数f(x)在(0,)上为单调递减函数,且f(2)0,则不等式0的解集为()A.(,2(0,2B.2,02,)C.(,22,) D.2,0)(0,22.现有不等式0,则其解集为()A.B.C.1,)D.1,)3.已知函数f(x)则不等式f(a24)f(3a)的解集为()A.(2,6) B

70、.(1,4) C.(1,4) D.(3,5) 自主解答1.因为f(x)为奇函数,则000,因为f(x)在(0,)上为单调递减函数,且f(2)0,则当f(x)0时,0x2；由奇函数图象关于原点对称,得f(x)0时,2x0,选D.2.由0,得解之得f(3a),可得a243a,整理得a23a40,即(a1)(a4)0,解得1a0(a0),再求相应一元二次方程ax2bxc0(a0)的根,最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系,确定一元二次不等式的解集.(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把他们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解.热点二简单的线性规划问题命题角度(1)求面积,

71、如T1；(2)求最值,如T2；(3)根据可行域情况或最优解情况确定参数的值或取值范围,如T3.1.由不等式组确定的平面区域记为1,由不等式组确定的平面区域记为2.在1中随机取一点,则该点恰好在2内的概率为()A. B. C. D.2.(2014天津高考)设变量x,y 满足约束条件 则目标函数 zx2y的最小值为()A.2 B.3 C.4 D.53.(2014新课标全国卷)设x,y满足约束条件且zxay的最小值为7,则a()A.5 B.3 C.5或3 D.5或3自主解答1.由题意作图,如图所示,1的面积为222,图中阴影部分的面积为2,则所求的概率P.2. 画出约束条件表示的平面区域如图中阴影部

72、分所示,目标函数可化为yxz,由图可知,当直线yxz经过点(1,1)时z取得最小值3.3.联立方程解得代入xay7中,解得a3或5.当a5时,zxay的最大值是7；当a3时,zxay的最小值是7.故选B.答案1.D2.B3.B在题2的条件下,若M(x,y)为平面区域内的任意一点,求：x2y2的最小值；的最小值.解：因为表示平面区域内的点到坐标原点的距离,所以x2y2的最小值为12122.表示平面区域内的点与坐标原点的连线的斜率,所以的最小值为. 解决线性规划问题应关注三点(1)首先要找到可行域,再注意目标函数所表示的几何意义,找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点),但要注意作图一定

73、要准确,整点问题要验证解决.(2)画可行域时应注意区域是否包含边界.(3)对目标函数zAxBy中B的符号,一定要注意B的正负与z的最值的对应,要结合图形分析.热点三基本不等式的应用命题角度(1)利用基本不等式求最值,如T1,T2；(2)利用基本不等式求参数的取值范围,如T3.1.已知圆x2y24x8y10关于直线2axby80(a0,b0)对称,则的最小值是()A.4B.6C.8D.92.(2014皖西七校联考)已知ab,且ab1,则的最小值是_.3.已知x,y(0,),2x3y,若(m0)的最小值为3,则m的值为_.自主解答1.由圆的对称性可得,直线2axby80必过圆心(2,4),所以ab

74、2,所以52 59.由,得a24b2,又ab2,故当且仅当a,b时取等号.2.ab1,(ab),又ab,(ab)2 2(当且仅当ab且ab1时取等号),即的最小值为2.3.由2x3y得xy3,则(xy)(1m2),(1m2)3,即(1)29,解得m4.答案1.D2.23.4利用基本不等式求函数的最值应关注的三个方面(1)形式：一般地,分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数,特别适合用基本不等式求最值.(2)条件：利用基本不等式求最值需满足“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.(

75、3)方法：使用基本不等式时,一般通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式化为ax(ab0)的形式,常用的方法是变量分离法和配凑法.热点四不等式中参数的取值范围问题命题角度(1)与恒成立有关的参数求解问题；(2)与“存在”有关的参数求解问题.例1(1)(2014宜春模拟)若x,y(0,2且xy2,使不等式a(2xy)(2x)(4y)恒成立,则实数a的取值范围为()A.aB.a2C.a2D.a(2)(2014绍兴模拟)若至少存在一个x0,使得关于x的不等式x20,使得关于x的不等式|xa|2x2成立,令f(x)|xa|,g(x)2x2,函数f(x)|xa|与x轴交于点(a,0),与y轴交于点

76、(0,|a|),当函数f(x)|xa|的左支与y轴交于点(0,|a|),此时有a0,若|a|2,解得a2或a2,则当a2时,在y轴右侧,函数f(x)|xa|的图象在函数g(x)2x2的上方,不合乎题意；在y轴右侧,当函数f(x)|xa|的左支与曲线g(x)2x2的图象相切时,函数f(x)|xa|左支图象对应的解析式为yax,将yax代入y2x2得ax2x2,即x2x(a2)0,令(1)241(a2)0,即94a0,解得a,则当a时,如下图所示,在y轴右侧,函数f(x)|xa|的图象在函数g(x)2x2的上方或相切,则不等式|xa|2x2在(0,)上恒成立,不合乎题意；当2a0,使得不等式|xa

77、|(sin 2x(a0,a1)对任意x都成立,则a的取值范围为()A. B. C. D.(0,1)解析：选B记y1logax,y2sin 2x,原不等式相当于y1y2.作出两个函数的图象,如图所示,知当y1logax过点A时,a,所以当ay2.2.若存在正数x使2x(xa)1成立,则a的取值范围是()A.(,) B.(2,)C.(0,) D.(1,)解析：选D不等式2x(xa)1可变形为xax.设f(x)xa,g(x)x.在同一平面直角坐标系内作出直线f(x)xa与g(x)x的图象.由题意,在(0,)上,直线有一部分在曲线的下方.由图可知,有a1.热点五基本不等式与函数、方程的综合应用命题角度

78、此类问题多以条件方程或已知最值的条件为背景,求三元变量函数的最值,考查基本不等式的应用、二次函数的最值等,重点考查化归思想,难度较大.例2设正实数x,y,z满足x23xy4y2z0,则当取得最小值时,x2yz的最大值为()A.0 B. C.2 D.师生共研zx23xy4y2(x,y,z(0,),3 2 31.当且仅当,即x2y时“”成立,此时zx23xy4y24y26y24y22y2,x2yz2y2y2y22y24y2(y1)22.当y1时,x2yz取得最大值2.答案C(1)本题利用了转化与化归思想,一次转化是表示为3,二次转化是x2yz表示为2y24y.因此恰当应用数学思想方法是很有必要的.

79、(2)已知等式求最值问题,常利用基本不等式把等式转化为一元二次不等式求解.(3)运用基本不等式求最值,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足“正”“定”“等”三个条件,若三个条件中有一个不满足,则考虑使用导数求解.3.若正实数x,y满足xy5,则xy的最大值是()A.2 B.3 C.4 D.5解析：选C由已知xy5得到：xy5,xy,xy5.设xyt,即t5,得到t25t40,解得1t4,所以xy的最大值是4.4.对于c0,当非零实数a,b满足 4a22abb2c0且使 |2ab|最大时, 的最小值为_.解析：要使|2ab|最大,则必须a,b同号,因为4a2b24abc6ab,即(2ab

80、)2c32,故有(2ab)24c,c,当且仅当2ab时取等号,此时cb2,所以4211,故的最小值为1.答案：1热点六与线性规划有关的交汇问题命题角度线性规划常与向量、不等式、解析几何、概率等进行交汇命题.例3(1)(2014福建高考)已知圆C：(xa)2(yb)2 1,平面区域：若圆心C,且圆C与x轴相切,则 a2b2的最大值为 () A.5 B.29 C.37 D.49(2)(2014山东高考) 已知x,y满足约束条件当目标函数 zaxby(a0,b0)在该约束条件下取到最小值2 时,a2b2 的最小值为()A.5 B.4 C. D.2师生共研(1)平面区域为如图阴影部分所示,因圆心C(a

81、,b),且圆C与x轴相切,所以点C在如图所示的线段MN上,线段MN的方程为y1(2x6),由图形得,当点C在点N(6,1)处时,a2b2取得最大值621237,故选C.(2)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A(2,1)处取得最小值,故2ab2.法一：将2ab2两边分别平方得4a2b24ab20,而4ab2a2ba24b2,当且仅当a2b,即a,b时取等号.所以204a2b2a24b25(a2b2),所以a2b24,即a2b2的最小值为4.法二：将2ab2看作平面直角坐标系aOb中的直线,则a2b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方,故其

82、最小值为坐标原点到直线2ab2距离的平方,即24.答案(1)C(2)B线性规划问题不论怎样变化,还是应掌握线性规划的基础知识和解题程序,同时充分利用等价转化和数形结合思想对线性规划隐性条件进行挖掘.这样,才能透过现象看本质,以不变应万变.5.已知函数x,y满足则r的最小值为()A.1 B. C. D.解析：选B在平面直角坐标系中画出不等式组,表示的平面区域D,由于圆(x1)2(y1)2r2经过平面区域D,因此其半径r的最小值为圆心(1,1)到直线yx的距离,即rmin.6.已知点A(1,1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足 (12,01)的点P组成,则D的面积为_.解析：设

83、点P(x,y),由,得(x1,y1)(2,1)(1,2),故得由12,01,得即画出可行域如图中阴影部分所示,点B(3,0)到直线x2y0的距离d,点B,N之间的距离|BN|,故阴影部分的面积为3.答案：3一、选择题1.(2014绍兴模拟)已知ab0,则下列不等式中总成立的是()A.ab B.abC. D.ba解析：选A(ab)(ab),ab0,ab0,ab0,ab110,0,ab,选项A正确；对于选项B,取a1,b,则a12,b2,故ab不成立；对于C选项,要使成立,则有b(a1)a(b1),即abbababa,这与已知条件矛盾,选项C错误；对于选项D,若有ba,则有ba,这与选项A矛盾,错

84、误,故选A.2.(2014全国高考)不等式组的解集为()A.x|2x1 B.x|1x0C.x|0x1解析：选C解x(x2)0,得x0；解|x|1,得1x1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集,即x|0x1,故选C.3.关于x的不等式x22ax8a20)的解集为(x1,x2),且x2x115,则a()A.B.C.D.解析：选A由条件知x1,x2为方程x22ax8a20的两根,则x1x22a,x1x28a2,故(x2x1)2(x1x2)24x1x2(2a)24(8a2)36a2152,得a.4.(2014绍兴模拟)若关于x的不等式x2ax20在区间1,5上有解,则实数a的取值范围为()A.

85、B.C.(1,) D.(,1)解析：选A问题等价转化为不等式ax2x2在区间1,5上有解,即不等式ax在区间1,5上有解,令f(x)x,则有af(x)min,而函数f(x)在区间1,5上单调递减,故函数f(x)在x5处取得最小值,即f(x)minf(5)5,a.5.若变量x,y满足约束条件 则 2xy的最大值是() A.2 B.4 C.7 D.8解析：选C由题意作出可行域如图中阴影部分所示,由A(3,1).故2xy的最大值为7. 6.不等式组的解集记为D.有下面四个命题：p1：(x,y)D,x2y2；p2：(x,y)D,x2y2；p3：(x,y)D,x2y3；p4：(x,y)D,x2y1.其中

86、真命题是()A.p2,p3 B.p1,p4 C.p1,p2 D.p1,p3解析：选C画出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数zx2y经过可行域内的点A(2,1)时,取得最小值0,故x2y0,因此p1,p2是真命题,选C.7.(2014合肥模拟)若正实数x,y满足xy2,且M恒成立,则M的最大值为()A.1 B.2 C.3 D.4解析：选A正实数x,y满足xy2,xy1,1.又M恒成立,M1,即M的最大值为1.8.(2014福建四地六校联考)设zxy,其中实数x,y满足若z的最大值为12,则z的最小值为()A.3 B.6 C.3 D.6解析：选B由题意可得x,y满足的区域如图所示.而目

87、标函数zxy可化为yxz,当目标函数过点A时,z取最大值,由此可得12kk,即k6.当z取到最小值时,目标函数的图象过B点,所以z的最小值是6.故选B.9.设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数yax的图象上存在区域D上的点,则a的取值范围是()A.(1,3 B.2,3 C.(1,2 D.3,)解析：选A平面区域D如图所示.要使指数函数yax的图象上存在区域D上的点,所以1a3.10.当0x时,4xlogax,则a的取值范围是()A. B. C.(1,) D.(,2)解析：选B0x,14x1,0a1,排除答案C,D；取a,x,则有42,log1,显然4xlogax不成立,排除答案A.故选B.

88、二、填空题11.(2014江苏高考)已知函数f(x)x2mx1,若对于任意xm,m1,都有f(x)0成立,则实数m的取值范围是_.解析：由题可得f(x)0对于xm,m1恒成立,即解得m0.答案：12.(2014成都模拟)已知二次函数f(x)ax24xc(xR)的值域为0,),则的最小值为_.解析：由题意得：164ac0ac4,23.答案：313.(2014浙江高考)当实数x,y满足时,1axy4恒成立,则实数a的取值范围是_.解析：由线性规划的可行域(如图),求出三个交点坐标分别为(1,0),(2,1),都代入1axy4,可得1a.答案：14.已知实数 a,b,c满足 abc0,a2b2c21

89、,则a的最大值是_.解析：由abc0得,abc,则a2(bc)2b2c22bcb2c2b2c22(b2c2),又a2b2c21,所以3a22,解得a,故a的最大值为.答案：15.对于使x22xM成立的所有常数M中,我们把M的最小值1叫做x22x的“上确界”.若a,b(0,),且ab1,则的“上确界”为_.解析：由题意知,求的“上确界”相当于求的最大值.(ab)22(当且仅当a,b时等号成立),的“上确界”为.答案：16.定义区间(a,b),a,b),(a,b,a,b的长度均为dba.用x表示不超过x的最大整数,记xxx,其中xR.设f(x)xx,g(x)x1,若用d表示不等式f(x)g(x)解

90、集区间的长度,则当0x3时,d_.解析：f(x)xxx(xx)xxx2,由f(x)g(x)得xxx2x1,即(x1)x1,不合题意；当x1,2)时,x1,不等式为01,所以不等式(x1)xx21等价于xx1,此时恒成立,所以此时不等式的解为2x3,所以不等式f(x)1时,f(x)k0恒成立,即k在区间(1,)上恒成立.因为x1,所以01,所以k1.故选D.2.(2014陕西高考)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切).已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为()A.yx3x2x B.yx3x23x C.yx3x D.yx3x22x解析：选A法一：由

91、题意可知,该三次函数满足以下条件：过点(0,0),(2,0),在(0,0)处的切线方程为yx,在(2,0)处的切线方程为y3x6,以此对选项进行检验.A选项,yx3x2x,显然过两个定点,又yx2x1,则y|x01,y|x23,故条件都满足,又B,C,D选项可验证曲线在(0,0)或(2,0)处不与直线yx,y3x6相切,故选A.法二：设该三次函数为f(x)ax3bx2cxd,则f(x)3ax22bxc,由题设有解得a,b,c1,d0.故该函数的解析式为yx3x2x,选A.3.(2014辽宁高考)当x2,1 时,不等式 ax3x24x30恒成立,则实数a的取值范围是()A.5,3 B.C. D.

92、解析：选C显然x0时,对任意实数a,已知不等式恒成立；令t,若0x1,则原不等式等价于a3t34t2t,t1,),令g(t)3t34t2t,则g(t)9t28t1(9t1)(t1),由于t1,故g(t)0,即函数g(t)在1,)上单调递减,最大值为g(1)6,故只要a6；若2x0,则a的取值范围是()A.(2,) B.(1,) C.(,2) D.(,1)解析：选C当a0时,f(x)3x21有两个零点,不符合题意,故a0.f(x)3ax26x3x(ax2),令f(x)0,解得x0或x,当a0时,f(x)在(,0),上单调递增,在上单调递减.又f(0)1,此时f(x)在(,0)上存在零点,不满足题

93、意；当a0,则需f0,即a33210,解得a0)；(4)(logax)(a0,且a1).2.四个重要概念(1)切线的斜率函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,因此曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0),相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).(2)函数的单调性在某个区间(a,b)内,如果f(x)0(f(x)0),那么函数yf(x)在这个区间内单调递增(单调递减).(3)函数的极值设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近所有的点x,都有f(x)f(x0),那么f(x0)是函数的一个极小值,记作y极小值f(x0).极大值与极小值统称

94、为极值.(4)函数的最值将函数yf(x)在(a,b)内的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.3.三个步骤求函数yf(x)在某个区间上的极值的步骤第一步：求导数f(x)；第二步：求方程f(x)0的根x0; 第三步：检查f(x)在xx0左右的符号.左正右负f(x)在xx0处取极大值；左负右正f(x)在xx0处取极小值.热点一导数的几何意义命题角度(1)求已知曲线在某一点处的切线方程,如T1；(2)由曲线的切线方程求参数,如T2,T3.1.曲线yxex1在点(0,1)处的切线方程是()A.xy10B.2xy10C.xy10 D.x2y202.直线

95、ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1,3),则ab的值为()A.4B.1C.3D.23.(2014重庆质检)若曲线f(x)ax2ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是_.自主解答1.yexxex,y|x01,曲线yxex1在点(0,1)处的切线方程是y1x,即xy10.2.由题易知,直线ykx1和曲线yx3axb均过点A(1,3),则k2,ab2；又y3x2a,则ky|x13a2,所以a1,b3.3.依题意得f(x)2ax0(x0)有实根,a0.故a的取值范围为(,0).答案1.A2.A3.(,0)求曲线yf(x)的切线方程的三种类型(1)已知切点P(x0,y0),求切线方程求

96、出切线的斜率f(x0),由点斜式写出方程；(2)已知切线的斜率k,求切线方程设切点P(x0,y0),通过方程kf(x0)解得x0,再由点斜式写出方程；(3)已知切线上一点(非切点),求切线方程设切点P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程.热点二利用导数研究函数的单调性命题角度(1)求已知函数的单调区间,如T2；(2)已知函数的单调性求参数,如T1,T3.1.若函数f(x)x2ax在上是增函数,则a的取值范围是()A.1,0B.1,)C.0,3 D.3,)2.设函数f(x)x(ex1)x2,则函数f(x)的单调

97、增区间为_.3.若函数f(x)2x2ln x在其定义域内的一个子区间(k1,k1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是_.自主解答1.f(x)2xa,因为函数在是增函数,所以f(x)0在上恒成立,即a2x在上恒成立.设g(x)2x,g(x)2,令g(x)20,得x1,当x时,g(x)0,即(ex1)(x1)0,解得x(,1)或x(0,).所以函数f(x)的单调增区间为(,1和0,).3.f(x)的定义域为(0,),f(x)4x.由f(x)0,得x.据题意得解得1k0,则ln x1,即xe.又函数f(x)的定义域为(0,1)(1,),函数f(x)的单调递增区间为e,).利用导数研究函数单调性的步

98、骤第一步：确定函数f(x)的定义域；第二步：求f(x)；第三步：解方程f(x)0在定义域内的所有实数根；第四步：将函数f(x)的间断点(即f(x)无定义的点)的横坐标和各实数根按从小到大的顺序排列起来,分成若干个小区间；第五步：确定f(x)在各小区间内的符号,由此确定每个区间的单调性.热点三利用导数研究函数的极值与最值命题角度(1)利用导数求函数的极值或最值；(2)利用函数的极值或最值求参数.例1(1)(2014太原模拟)设函数f(x)xex,则()A.x1为f(x)的极大值点B.x1为f(x)的极小值点C.x1为f(x)的极大值点D.x1为f(x)的极小值点(2)(2014烟台模拟)若函数f

99、(x)x33x在区间(a,6a2)上有最小值,则实数a的取值范围是()A.(,1)B.,1)C.2,1) D.(2,1)师生共研(1)f(x)xex,f(x)exxex,令f(x)0,则x1.当x1时,f(x)1时,f(x)0,所以x1为f(x)的极小值点,故选D.(2)若f(x)3x230,则x1,且x1为函数的极小值点,x1为函数的极大值点.函数f(x)在区间(a,6a2)上有最小值,则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6a2)内,且左端点的函数值不小于f(1),即实数a满足a16a2且f(a)a33af(1)2.解a16a2,得a0)的极大值点和极小值点都在区间(1,1)内,则实数a的

100、取值范围是()A.(0,2B.(0,2)C.,2) D.(,2)解析：选D由题意可知f(x)0的两个不同解都在区间(1,1)内.因为f(x)3x22ax1,所以根据导函数图象可得又a0,解得a0),则称f(x)和g(x)在a,b上是“k度和谐函数”,a,b称为“k度密切区间”.设函数f(x)ln x与g(x)在上是“e度和谐函数”,则m的取值范围是()A.e1,1 B.1,e1C. D.解析：选B设h(x)f(x)g(x)ln xmln x,h(x),故当x时,h(x)1,所以hh(e),故函数h(x)的最大值为hme1.故函数h(x)在上的值域为m1,me1.由题意,|h(x)|e,即eh(

101、x)e,所以解得1m1e.热点四利用导数解决方程、不等式问题命题角度(1)比较大小问题；(2)方程根的个数问题.例2(1)(2014湖南高考)若0x1x2ln x2ln x1B.ex2ex1x1ex2D.x2ex1x1ex2(2)已知函数f(x)x3ax2bxc有两个极值点x1,x2.若f(x1)x1f(x)恒成立,又常数a,b满足ab0,则下列不等式一定成立是_.bf(a)af(b)；af(a)bf(b)；bf(a)af(b)；af(a)g(x2),x2ex1x1ex2,故选C.(2)因为函数f(x)x3ax2bxc有两个极值点x1,x2,可知关于导函数的方程f(x)3x22axb0有两个不

102、等的实根x1,x2.则方程3(f(x)22af(x)b0有两个不等的实根,即f(x)x1或f(x)x2,原方程根的个数就是这两个方程f(x)x1和f(x)x2的不等实根的个数之和,再结合图象可看出函数yf(x)的图象与直线yx1和直线yx2共有3个不同的交点,故所求方程有3个不同的实根.(3)令g(x),x(0,).g(x),因为xf(x)f(x),所以g(x)0,即g(x)在(0,)上是增函数.由ab0得g(a)g(b),即,所以bf(a)af(b).所以成立,不成立；再令h(x)xf(x),x(0,).所以h(x)xf(x)xf(x)f(x)xf(x),因为不能确定h(x)是否大于0,所以

103、h(x)单调性不能确定,即不知道h(a)af(a)与h(b)bf(b)的大小关系,所以不一定成立.因此本题填.答案(1)C(2)A(3)研究方程及不等式问题,都要运用函数性质,而导数是研究函数性质的一种重要工具.基本思路是构造函数,通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值,根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数,必要时画出函数的草图辅助思考.3.已知函数f(x)满足f(x)f,当x1,3时,f(x)ln x.若在区间内,函数g(x)f(x)ax与x轴有三个不同的交点,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.解析：选C由题意可知当x在区间内时,1,3,f(x)f

104、ln ln x,则f(x)函数g(x)f(x)ax与x轴有三个不同的交点,即f(x)ax0有三个不同的根,即f(x)ax有三个不同的根,即函数f(x)的图象与直线yax有三个不同的交点,当x在区间上时,函数f(x)的图象与直线yax有一个交点,当x1,3时,函数f(x)的图象与直线yax有两个交点.当直线yax过点(3,ln 3)时,a的值满足ln 33a,即a；当直线yax与f(x)相切时,设切点为(x0,ln x0),则点(x0,ln x0)在直线上,故ln x0ax0,而a(ln x),所以ln x01,x0e,即a,函数f(x)的图象与直线yax有三个不同的交点,则a的取值范围是.4.

105、已知f(x)定义域为(0,),f(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)(x1)f(x21)的解集是()A.(0,1) B.(1,) C.(1,2) D.(2,)解析：选D因为f(x)xf(x)0,所以(xf(x)(x21)f(x21),所以x12.一、选择题1.(2014西安模拟)曲线y(x1)ex(e为自然对数的底数)在点(1,0)处的切线方程为()A.yexe B.yexeC.yx1 D.yx1解析：选Ay(x1)ex,yxex,曲线在y(x1)ex在点(1,0)处的切线的斜率为k1e1e；曲线y(x1)ex在点(1,0)处的切线的方程为yexe,故选A.2.(2014华安模拟)已知函数

106、f(x)sin xx,xR,则f、f(1)、f的大小关系为()A.fff(1)B.ff(1)fC.f(1)ffD.ff(1)f解析：选B因为函数f(x)sin xx的导数为f(x)cos x10.所以函数f(x)在定义域内单调递减.又因为1f(1)f.故选B.3.(2014江西七校联考)设函数f(x)xsin xcos x的图象在点(t,f(t)处切线的斜率为k,则函数kg(t)的部分图象为()解析：选Bf(x)xsin xcos x,f(x)xcos x,kg(t)tcos t,根据ycos t的图象可知g(t)应该为奇函数且当t时g(t)0,故选B.4.设函数f(x)在R上可导,其导函数为

107、f(x),且函数y(1x)f(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析：选D由图象可知,当x0,所以此时f(x)0,故函数f(x)在(,2)上单调递增.当2x1,y(1x)f(x)0,所以此时f(x)0,故函数f(x)在(2,1)上单调递减.当1x0,所以此时f(x)2时,y(1x)f(x)0,故函数f(x)在(2,)上单调递增.所以函数f(x)有极大值f(2),极小值f(2),选D.5.设a

108、0,b0,e是自然对数的底数,则下列命题正确的是()A.若ea2aeb3b,则abB.若ea2aeb3b,则abD.若ea2aeb3b,则a0,b0.ea2aeb3beb2bbeb2b.对于函数yex2x(x0),yex20,yex2x在(0,)上单调递增,因而ab成立.6.(2014内江模拟)已知函数f(x)x3x2cxd有极值,则c的取值范围为()A.c解析：选A求导得：f(x)x2xc.函数f(x)x3x2cxd有极值,则方程x2xc0有两个不同的解,所以14c0c0,23,23,b,c18a,函数f(x)在x3处取得极小值,于是有f(3)27a9b3c34115,a81,a2.9.(2

109、014宿州模拟)已知yf(x)为R上的可导函数,当x0时,f(x)0,则函数g(x)f(x)的零点个数为()A.1 B.2 C.0 D.0或2解析：选C因为函数yf(x)在R上是可导函数,当x0时,f(x)0,即是0,令h(x)xf(x),即0.所以可得或所以当函数h(x)在x0时单调递增,所以h(x)h(0)0,即函数当x0时,h(x)0.同理当x0.又因为函数g(x)f(x)可化为g(x),所以当x0时,g(x)0即与x轴没交点.当x0,所以函数g(x)f(x)的零点个数为0.故选C.10.若函数f(x)(x1)ex,则下列命题正确的是()A.对任意m,都存在xR,使得f(x),都存在xR

110、,使得f(x)mC.对任意m,方程f(x)m总有两个实根解析：选B因为f(x)(x1)ex(x1)exex(x2)ex,故函数在区间(,2),(2,)上分别为减函数与增函数,故f(x)minf(2),故当m时,总存在x使得f(x)m.二、填空题11.函数yx2ln x的单调递减区间为_.解析：函数yx2ln x的定义域为(0,),yx,令y0,则可得0x0)上任意一点处的切线的斜率为k,若k的最小值为4,则此时切点的坐标为_.解析：函数yx2aln x(a0)的定义域为x|x0,y2x24,则a2,当且仅当x1时“”成立,将x1代入曲线方程得y1,故所求的切点坐标是(1,1).答案：(1,1)

111、13.已知函数f(x)x3tx23x,若对任意的a1,2,b(2,3,函数f(x)在区间(a,b)上单调递减,则实数t的取值范围是_.解析：f(x)x3tx23x,f(x)3x22tx3,由于函数f(x)在(a,b)上单调递减,则有f(x)0在a,b上恒成立,即不等式3x22tx30在a,b上恒成立,即有t在a,b上恒成立,而函数y在1,3上单调递增,由于a1,2,b(2,3,当b3时,函数y取得最大值,即ymax5,所以t5.答案：5,)14.(2014孝感模拟)函数f(x)ax33x1对于x1,1总有f(x)0成立,则a的取值范围为_.解析：f(x)3ax23,a0时,f(x)0,函数f(

112、x)为R上减函数,而f(1)a20时,x和为增函数；x为减函数；又f(1)a40a4,f(1)a20a2,即2a4,所以必须有函数f(x)的极小值f31102a4,才能满足在区间1,1上f(x)0,即a4.答案：415.(2014漳平模拟)对于三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0),给出定义：设f(x)是函数yf(x)的导数,f(x)是函数f(x)的导数,若方程f(x)0有实数解x0,则称点(x0,f(x0)为函数yf(x)的“拐点”,某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数f(x)x3x23x,请你根据上面探究结果,

113、计算ffff_.解析：由题意可得f(x)x3x23x,所以f(x)x2x3,所以f(x)2x1.令f(x)0可得x,所以函数f(x)的拐点即对称中心为,即如果x1x21,则f(x1)f(x2)2,所以ffff1 006212 013.故填2 013.答案：2 01316.设函数f(x)(aR,e为自然对数的底数).若存在b0,1使f(f(b)b成立,则a的取值范围是_.解析：由题意得 x,x0,1.化简得exxx2a,x0,1.令g(x)exxx2,则g(x)ex12x.设h(x)ex12x,则h(x)ex2.所以当x(0,ln 2)时,h(x)0；当x(ln 2,1)时,h(x)0.所以g(

114、x)g(ln 2)32ln 20,所以g(x)在0,1上单调递增,所以原题中的方程有解必须方程有解,所以g(0)ag(1).答案：1,e第六讲高考中的导数综合应用(解答题型)第1课时利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题1.(2014重庆高考)已知函数f(x)ln x,其中aR,且曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值.解：(1)对f(x)求导得f(x),由f(x)在点(1,f(1)处的切线垂直于直线yx,知f(1)a2,解得a.(2)由(1)知f(x)ln x,则f(x),令f(x)0,解得x1或x5,因为x1不在f(x

115、)的定义域(0,)内,故舍去.当x(0,5)时,f(x)0,故f(x)在(5,)内为增函数.由此知函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln 5.2.(2014江西高考)已知函数 f(x)(4x24axa2),其中 a0.则f(x).由f(x)0得0x2.故函数f(x)的单调递增区间为和(2,).(2)f(x),a0,由f(x)0得x或x.当x时,f(x)单调递增；当x,时,f(x)单调递减；当x时,f(x)单调递增.易知f(x)(2xa)20,且f0.当1时,即2a0时,f(x)在1,4上的最小值为f(1),由f(1)44aa28,得a22,均不符合题意.当14时,即8a4时,即a0),当a

116、0时,f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增；若a0,f(x)0,解得x11,x2,当1a0时,f(x)在(0,1)和上单调递减,在上单调递增；当a1时,f(x)在(0,)上单调递减；当a1时,f(x)在和(1,)上单调递减,在上单调递增.在本例条件下,若关于x的方程f(x)ax在(0,1)上有两个相异实根,求实数a的取值范围.解：当f(x)ax时,(1a)ln x0,所以a1(0x1),令g(x)1(0x0).当x(0,1),f(x)0时,函数f(x)3x2x2ln x单调递增.当x(1,),f(x)0时,函数f(x)3x2x2ln x单调递减.故函数f(x)的单调递增区间为(

117、0,1),单调递减区间为(1,).(2)f(x)4x,若函数f(x)在区间1,2上为单调函数,即在1,2上,f(x)4x0或f(x)4x0,即4x0或4x0在1,2上恒成立.即4x或4x.令h(x)4x,因为函数h(x)在1,2上单调递增,所以h(2)或h(1),即或3,解得a0或00),若f(x)在1,1上的最小值记为g(a).(1)求g(a)；(2)证明：当x1,1时,恒有f(x)g(a)4.师生共研(1)因为a0,1x1,所以当0a1时,若x1,a,则f(x)x33x3a,f(x)3x230,故f(x)在(a,1)上是增函数；所以g(a)f(a)a3.当a1时,有xa,则f(x)x33x

118、3a,f(x)3x230,故f(x)在(1,1)上是减函数,所以g(a)f(1)23a.综上,g(a)(2)证明：令h(x)f(x)g(a),当0a1时,g(a)a3.若xa,1,h(x)x33x3aa3,得h(x)3x23,则h(x)在(a,1)上是增函数,所以h(x)在a,1上的最大值是h(1)43aa3,且0a0,知t(a)在(0,1)上是增函数.所以,t(a)t(1)4,即h(1)0,只需M(x)x2ax2xa0在(0,1)上恒成立,于是解得a.(2)h(x)f(x)g(x)(x2xa2a1)ex,求导得h(x)(x2xa2a)ex(xa1)(xa)ex,令h(x)0,得x1a,x2a

119、1,a,a1,2,a1,若a1,即a时,h(x)0在1,2上成立,此时h(x)在1,2上单调递增,h(x)有最小值h(1)(a2a1)e；若a1(1,2),即a(3,2)时,当x1,a1)时,有h(x)0,此时h(x)在(a1,2上单调递增,h(x)有最小值h(a1)(2a3)ea1；若a12,),即a(,3时,h(x)0在1,2上成立,此时h(x)在1,2上单调递减,h(x)有最小值h(2)(a2a3)e2.综上,当x1,2时,h(x)min热点三导数在实际问题中的应用命题角度利用导数研究生活中的优化问题也是高考中的常考内容,其本质还是利用导数研究函数的最值.例3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形

120、蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.师生共研(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元,底面的总成本为160r2元,所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元.根据题意得200rh160r212 000,所以h(3004r2),从而V(r)r2h(300r4r3).由h0,

121、且r0可得0r0,故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时,V(r)0,故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知,V(r)在r5处取得最大值,此时h8,即当r5,h8时,该蓄水池的体积最大.利用导数解决优化问题的五个步骤(1)审题设未知数；(2)结合题意列出函数关系式；(3)确定函数的定义域；(4)在定义域内求极值；(5)下结论.3.如图所示,四边形ABCD表示一正方形空地,边长为30 m,电源在点P处,点P到边AD,AB距离分别为9 m,3 m.某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕MNEF,MNNE169.线段MN必须过点P,端点M,N分别在边AD,AB上,设ANx(

122、m),液晶广告屏幕MNEF的面积为S(m2).(1)用含x的代数式表示AM；(2)求S关于x的函数关系式及该函数的定义域；(3)当x取何值时,液晶广告屏幕MNEF的面积S最小？解：(1)因为点P到边AD,AB距离分别为9 m,3 m,所以由平面几何知识,得,解得AM(10x30).(2)由勾股定理,得MN2AN2AM2x2.因为MNNE169,所以NEMN.所以SMNNEMN2x2,定义域为10,30.(3)S2x,令S0,得x10(舍),x293.当10x93时,S0,S为减函数；当930,S为增函数.所以当x93时,S取得最小值.课题1利用导数研究函数的最值问题典例(2014深圳模拟)设函

123、数f(x)x3kx2x(kR).(1)当k1时,求函数f(x)的单调区间；(2)当k0时,求函数f(x)在k,k上的最小值m和最大值M.考题揭秘本题以三次函数为背景,主要考查导数在研究函数的单调性、极值、最值中的应用,意在考查考生运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力.审题过程第一步：审条件.已知函数f(x)的解析式.第二步：审结论.在已知k的值或取值范围的前提下,求f(x)的单调区间及最值.第三步：建联系.(1)求导后,根据不等式的解即可确定f(x)的单调区间；(2)求出f(x)的极值点及端点处的函数值比较大小,即可求得最值.规范解答(1)当k1时,f(x)x3x2x,f(x)3x22

124、x1.方程3x22x10的判别式44380,f(x)0恒成立,f(x)的单调递增区间为(,).(2)当k0时,f(x)3x22kx1,方程3x22kx10的判别式4k2434(k23),当0时,有k230,即k0时,f(x)0恒成立,这时f(x)在k,k上单调递增,有mf(k)k3kk2kk,Mf(k)k3kk2k2k3k.当0时,有k230,即k,令f(x)3x22kx10,解得x10,x20,且x1x20,又x1kk0,于是kx1x20,当kxx1或x2xk时,f(x)0,f(x)为增函数；当x1xx2时,f(x)0,f(x)为减函数；故Mmaxf(k),f(x1),mminf(k),f(

125、x2).先证f(k)f(x1).3x2kx110,kx,f(x1)xkxx1xx1,f(k)f(x1)(2k3k)2k3kxx12k3x,又kx10,要证f(k)f(x1),只需证2k3x0x4k3x1k,由kx10知x1k显然成立,f(k)f(x1).再证f(k)f(x2).同理f(x2),有f(k)f(x2)k(kx2)(kx)0,f(k)f(x2).综上所述,Mf(k)2k3k,mf(k)k.模型归纳利用导数求函数在某一区间上的最值的模型示意图如下：跟踪训练已知函数f(x)exax2bx1,其中a,bR,e2.718 28为自然对数的底数.(1)设g(x)是函数f(x)的导函数,求函数g

126、(x)在区间0,1上的最小值；(2)若f(1)0,函数f(x)在区间(0,1)内有零点.证明：e2a0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当 x0,1时,求 f(x)取得最大值和最小值时的x 的值.解：(1)f(x)的定义域为(,),f(x)1a2x3x2.令f(x)0,得x1,x2,x1x2,所以f(x)3(xx1)(xx2).当xx2时,f(x)0；当x1x0.故f(x)在(,x1)和(x2,)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增.(2)因为a0,所以x10.当a4时,x21,由(1)知,f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在x0和x1处分别取得最小值和最大值.当0a4时

127、,x21.由(1)知,f(x)在0,x2上单调递增,在x2,1上单调递减,因此f(x)在xx2处取得最大值.又f(0)1,f(1)a,所以当0a1时,f(x)在x1处取得最小值；当a1时,f(x)在x0和x1处同时取得最小值；当1ax2,由题意可得x1,x20,作出示意图如图所示.f(x),g(x)ax2.假设两条切线有可能平行,则存在a使fg(x1x2)2(xx)2(x1x2)ax2x2y1y2ln x1ln x2ln .不妨设t1,则方程ln t存在大于1的实根,设(t)ln t,则(t)0,(t)1使(t)0矛盾,C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行.3.(2014成都模拟)

128、已知函数f(x)(x22axa2)ln x,aR.(1)当a0时,求函数f(x)的单调区间；(2)当a1时,令F(x)xln x,证明：F(x)e2,其中e为自然对数的底数；(3)若函数f(x)不存在极值点,求实数a的取值范围.解：(1)当a0时,f(x)x2ln x(x0),此时f(x)2xln xxx(2ln x1).令f(x)0,解得xe.函数f(x)的单调递增区间为(e,),单调递减区间为(0,e).(2)F(x)xln xxln xx.由F(x)2ln x,得F(x)在(0,e2)上单调递减,在(e2,)上单调递增,F(x)F(e2)e2.(3)f(x)2(xa)ln x(2xln

129、xxa).令g(x)2xln xxa,则g(x)32ln x,函数g(x)在(0,e)上单调递减,在(e,)上单调递增,g(x)g(e)2ea.当a0时,函数f(x)无极值,2ea0,解得a2e.当a0时,g(x)min2ea0,即函数g(x)在(0,)上存在零点,记为x0.由函数f(x)无极值点,易知xa为方程f(x)0的重根,2aln aaa0,即2aln a0,a1.当0a1时,x01时,x01且x0a,函数f(x)的极值点为a和x0；当a1时,x01,此时函数f(x)无极值.综上,a2e或a1.4.已知函数f(x)ln x(a0).(1)若函数f(x)在(1,)上是增函数,求实数a的取

130、值范围；(2)若a1,kR且k0),因为函数f(x)在(1,)上是增函数,即在区间(1,)上f(x)0,即ax10,得x,所以1,即a1,所以实数a的取值范围是1,).(2)当a1时,f(x)ln x,F(x)ln x(k1)ln xkln x,所以F(x),当k0时,F(x)在上恒有F(x)0,所以F(x)在上单调递减,所以F(x)minF(e),F(x)maxFe1,当k0时,F(x),当k0时,F(x)在上恒有0时,因为ke,所以在区间上x0,则0,所以F(x)在上单调递减,所以F(x)minF(e)kln ekk1,F(x)maxFe1k.综上所述,当k0时,F(x)minF(e),F

131、(x)maxFe1；当k0且k时,F(x)mink1,F(x)maxe1k.第2课时利用导数解决不等式、方程解的问题1.(2014新课标全国卷)已知函数f(x) x33x2ax2,曲线 yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k0.当x0时,g(x)3x26x1k0,g(x)单调递增,g(1)k10时,令h(x)x33x24,则g(x)h(x)(1k)xh(x).h(x)3x26x3x(x2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,)单调递增,所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0,)没有实根.综上,g(x)0在R上有唯一实根,即曲线yf

132、(x)与直线ykx2只有一个交点.2.(2014新课标全国卷 )设函数f(x)aln xx2bx(a1),曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x01,使得f(x0)0,f(x)在(1,)单调递增.所以,存在x01,使得f(x0)的充要条件为f(1),即1,解得1a1.若a1,故当x时,f(x)0,f(x)在单调递减,在单调递增.所以,存在x01,使得f(x0)的充要条件为f,所以不合题意.若a1,则f(1)10).(1)若函数yf(x)是(,)上的单调递增函数,求实数m的最小值；(2)若m1,且对于任意x,都有不等式f(x)g(x)成立,求实数a的取值范围

133、.师生共研(1)函数f(x)mxsin x在R上单调递增,f(x)0恒成立,f(x)mcos x0,即mcos x,mmin1.(2)m1,函数f(x)xsin x,f(x)g(x),xsin xaxcos x0.对于任意x,令H(x)xsin xaxcos x,则H(x)1cos xa(cos xxsin x)1(1a)cos xaxsin x,当1a0,即0a1时,H(x)1(1a)cos xaxsin x0,H(x)在上为单调递增函数,H(x)H(0)0,符合题意,0a1.当1a1时,令h(x)1(1a)cos xaxsin x,于是h(x)(2a1)sin xaxcos x.a1,2a

134、10,h(x)0,h(x)在上为单调递增函数,h(0)h(x)h,即2ah(x)a1,2aH(x)a1.()当2a0,即1a2时,H(x)0,H(x)在上为单调递增函数,于是H(x)H(0)0,符合题意,1a2.()当2a2时,存在x0,使得当x(0,x0)时,有H(x)0,此时H(x)在(0,x0)上为单调递减函数,从而H(x)0恒成立,综上所述,实数a的取值范围为01时,f(x)0恒成立,求a的取值范围.解：(1)若a0,则f(x)xln xx1,f(x)ln x,当x(0,1)时,f(x)0,f(x)为增函数.(2)问题等价于xln x(x1)(axa1)0,f(x)为增函数,f(x)f

135、(1)0,即f(x)1,问题等价于ln x0在(1,)上恒成立,不妨设h(x)ln x,x(1,),则h(x),x(1,),令h(x)0,则h(x)的两根x11,x2,若a0,则x21时,h(x)0,h(x)为增函数,h(x)h(1)0(不合题意)；若0a0,h(x)为增函数,h(x)h(1)0(不合题意)；若a,x(1,)时,h(x)0,h(x)为减函数,h(x)1时,f(x)a0,.解：(1)当x 时,f(x)sin x2cos x0,所以f(x)在上为增函数,又f(0)20,所以存在唯一x0,使f(x0)0.(2)当x时,化简得g(x)(x)1.令tx,记u(t)g(t)t1,t,则u(

136、t).由(1)得,当t(0,x0)时,u(t)0.在上u(t)为增函数,由u0知,当t时,u(t)0,所以u(t)在上无零点.在(0,x0)上u(t)为减函数,由u(0)1及u(x0)0知存在唯一t0(0,x0),使u(t0)0.于是存在唯一t0,使u(t0)0.设x1t0,则g(x1)g(t0)u(t0)0,因此存在唯一的x1,使g(x1)0.由于x1t0,t0.热点三导数的综合应用命题角度近几年,不少省份把函数、导数与数列、不等式综合作为压轴题来考查,以导数为工具,将探索性问题融入大题中.例3(2014湖南高考)已知函数 f(x)xcos xsin x1(x0).(1)求f(x) 的单调区

137、间；(2)记xi 为f(x) 的从小到大的第 i(iN*)个零点,证明：对一切nN*,有0,此时f(x)0；当x(2k1),(2k2)(kN)时,sin x0.故f(x)的单调递减区间为(2k,(2k1)(kN),单调递增区间为(2k1),(2k2)(kN).(2)由(1)知,f(x)在区间(0,)上单调递减,又f0,故x1.当nN*时,因为f(n)f(n1)(1)nn1(1)n1(n1)10,且函数f(x)的图象是连续不断的,所以f(x)在区间(n,(n1)内至少存在一个零点.又f(x)在区间(n,(n1)上是单调的,故nxn1(n1).因此当n1时,；当n2时,(41)；当n3时,5.综上

138、所述,对一切nN*,.本题以三角函数为载体,考查函数的单调区间、导数、函数零点和不等式的证明,利用数形结合思想、函数与方程思想以及转化与化归思想求解函数的综合问题.第(1)问,求导并结合三角函数的性质求解函数的单调区间；第(2)问,利用第(1)问的结论,得出函数的零点满足nxn10,故g(x)在x上没有零点.从而,要想使函数g(x)在en,)(nZ)上有零点,并考虑到g(x)在上单调递增,且在上单调递减,故只需en0,g(e2)2ln e20.当n2且nZ时均有g(en)0).只须证ln xx10在(0,)上恒成立.令h(x)ln xx1(x0).由h(x)10得x1.则在x1处有极大值(也是

139、最大值)h(1)0,所以ln xx10在(0,)上恒成立.因此f(n2)1,nN*.于是有f(22)f(32)f(n2)(n1)(n1)(n1)(n1).所以f(22)f(32)f(n2)0时,x2ex；(3)证明：对任意给定的正数c,总存在x0,使得当x(x0,)时,恒有x20时,x20,总存在x0,使x(x0,)时,恒有x2cex成立.第三步：建联系.(1)求f(x),依题设条件可得f(0)1,从而可得a的方程,即可求出a的值,然后再求方程f(x)0的根,判断在导数等于0的点的左、右两侧的导数的符号,即可得结论.(2)构造函数,利用函数的单调性来证明不等式；(3)对c进行分类讨论,通过构造

140、函数,利用导数法来证明其单调性,进而可得到所求证的结果.规范解答法一：(1)由f(x)exax,得f(x)exa.又f(0)1a1,得a2.所以f(x)ex2x,f(x)ex2.令f(x)0,得xln 2.当xln 2时,f(x)ln 2时,f(x)0,f(x)单调递增.所以当xln 2时,f(x)取得极小值,且极小值为f(ln 2)eln 22ln 22ln 4,f(x)无极大值.(2)令g(x)exx2,则g(x)ex2x,由(1)得g(x)f(x)f(ln 2)0,故g(x)在R上单调递增,又g(0)10,因此,当x0时,g(x)g(0)0,即x20时,x20时,x2cex.取x00,当

141、x(x0,)时,恒有x2cex.若0c1,要使不等式x2kx2成立.而要使exkx2成立,则只要xln(kx2),只要x2ln xln k成立.令h(x)x2ln xln k,则h(x)1,所以当x2时,h(x)0,h(x)在(2,)内单调递增.取x016k16,所以h(x)在(x0,)内单调递增,又h(x0)16k2ln(16k)ln k8(kln 2)3(kln k)5k,易知kln k,kln 2,5k0,所以h(x0)0.即存在x0,当x(x0,)时,恒有x2cex.综上,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,)时,恒有x20时,exx2,所以exee22,当xx0时,ex222

142、x2,因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,)时,恒有x2cex.法三：(1)同法一.(2)同法一.(3)首先证明当x(0,)时,恒有x30时,x2ex,从而h(x)0,h(x)在(0,)内单调递减,所以h(x)h(0)10,即x3x0时,有x2x3ex.因此,对任意给定的正数c,总存在x0,当x(x0,)时,恒有x20,存在唯一的s,使tf(s)；(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为sg(t),证明：当te2时,有.解：(1)函数f(x)的定义域为(0,).f(x)2xln xxx(2ln x1),令f(x)0,得x.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表：所以函数f

143、(x)的单调递减区间是,单调递增区间是.(2)证明：当00,令h(x)f(x)t,x1,).由(1)知,h(x)在区间(1,)内单调递增.h(1)t0.故存在唯一的s(1,),使得tf(s)成立.(3)证明：因为sg(t),由(2)知,tf(s),且s1,从而,其中uln s.要使成立,只需0ln ue2时,若sg(t)e,则由f(s)的单调性,有tf(s)f(e)e2,矛盾,所以se,即u1.从而ln u0成立.另一方面,令F(u)ln u,u1.F(u),令F(u)0,得u2.当1u0；当u2时,F(u)1,F(u)F(2)0.因此ln ue2时,有0,g(x).g(x)与g(x)的情况如

144、下：所以g(x)g(1)1,即ln x1在x0时恒成立,所以当k1时,ln xk,所以xln x1kx,即xln xkx1,所以当k1时,有f(x)kx1.2.(2014天津高考)已知函数 f(x)x2ax3(a0),xR.(1)求f(x) 的单调区间和极值；(2)若对于任意的x1(2,),都存在 x2(1,),使得 f(x1)f(x2)1,求a 的取值范围.解：(1)由已知,有f(x)2x2ax2(a0).令f(x)0,解得x0或x.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表：所以f(x)的单调递增区间是；单调递减区间是(,0),.当x0时,f(x)有极小值,且极小值f(0)0；当x时,

145、f(x)有极大值,且极大值f.(2)由f(0)f0及(1)知,当x时,f(x)0；当x时,f(x)0.设集合Af(x)|x(2,),集合Bx(1,),f(x)0.则“对于任意的x1(2,),都存在x2(1,),使得f(x1)f(x2)1”等价于AB.显然,0B.下面分三种情况讨论：当2,即0a时,由f0可知,0A,而0B,所以A不是B的子集.当12,即a时,有f(2)0,且此时f(x)在(2,)上单调递减,故A(,f(2),因而A(,0)；由f(1)0,有f(x)在(1,)上的取值范围包含(,0),则(,0)B.所以AB.当1,即a时,有f(1)0,且此时f(x)在(1,)上单调递减,故B,A

146、(,f(2),所以A不是B的子集.综上,a的取值范围是.3.设函数f(x)2ln xmxx2.(1)若曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y2xn,求实数m,n的值；(2)若m4,求证：当ab0时,有2；(3)若函数f(x)有两个零点x1,x2(x1x2),且x0,求证：f(x0)b0,设函数g(x)f(x)2x2x2mx2ln x,则有g(x)2xm.由于x0,且m4,g(x)2xm2m4m0,故g(x)在(0,)上递增,g(a)g(b),f(a)2a2f(b)2b2,2.(3)由x1,x2(x1x10,则有t(0,1).进而可得(ln x1ln x2)ln t,设函数h(t)ln t,t(0,1),则有h(t)h(1)0.于是有(ln x1ln x2)0,而0,因此f(x0)0恒成立,求实数a的值；(3)当a0,所以h(x)0,h(x)在(0,)上单调递减,又h(1)0,故当0x0,即f(x)g(x)1,与题设矛盾.当a0时,h(x)(x0),当0x0,当x时,h(x)h(1)0,与h0不符.a2.(3)当a0时,由(2)知h(x)0,h(x)在(0,)上是减函数,不妨设00),2x2xa0在x0时恒成立,a(2x2x)min,又当x0时,(2x2x)min,a,又a0,a的取值范围是.