2021届高考数学统考二轮复习增分强化练三十一圆锥曲线中的综合问题理含解析202103112225.doc

1、增分强化练(三十一)考点一范围、最值问题(2019大连模拟)已知抛物线C：x22py (p0)，其焦点到准线的距离为2，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线C的切线l1，l2，l1与l2交于点M.(1)求p的值；(2)若l1l2，求MAB面积的最小值解析：(1)由题意知，抛物线焦点为：，准线方程为：y，焦点到准线的距离为2，即p2. (2)抛物线的方程为x24y，即yx2，所以yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l1：y(xx1)，l2：y(xx2)，由于l1l2，所以1，即x1x24.设直线l方程为ykxm，与抛物线方程联立，得，所以x24kx4m0，16k216m0

2、，x1x24k，x1x24m4，所以m1.即l：ykx1，联立方程，得，即M(2k，1)，M点到直线l的距离d，|AB|4(1k2)，所以S4(1k2)4(1k2)4，当k0时，MAB面积取得最小值4.考点二定点、定值问题(2019南昌模拟)已知椭圆C：1(ab0)，点M在C的长轴上运动，过点M且斜率大于0的直线l与C交于P，Q两点，与y轴交于N点当M为C的右焦点且l的倾斜角为时，N，P重合，|PM|2.(1)求椭圆C的方程；(2)当N，P，Q，M均不重合时，记，若1，求证：直线l的斜率为定值解析：(1)因为当M为C的右焦点且l的倾斜角为时，N，P重合，|PM|2，所以a|PM|2，故tan，

3、因为a2b2c2，因此c，b1，所以椭圆C的方程为y21.(2)证明：设l：xtym(m0)，所以M(m,0)，N，所以kl.因为斜率大于0，所以t0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则，由得，x1x2，同理可得y1y2，两式相乘得，x1y1x2y2，又1，所以x1y1x2y2，所以(ty1m)y1(ty2m)y2，即t(yy)m(y2y1)，即(y2y1)0，由题意kl0，知y1y20，所以mt(y1y2)0.联立方程组，得(t24)y22tmym240，依题意，y1y2，所以m0，又m0，所以t24，因为t0，故得t2，所以kl，即直线l的斜率为.考点三存在性问题已知抛物线y24x，

4、过点P(8，4)的动直线l交抛物线于A，B两点(1)当P恰为AB的中点时，求直线l的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点Q，使得以弦AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解析：(1)设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，当P恰为AB的中点时，显然x1x2，故kAB，又y1y28，故kAB，则直线l的方程为yx.(2)假设存在定点Q，设Q，当直线l斜率存在时，设l：yk(x8)4(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，整理得ky24y32k160，0，y1y2，y1y232，由以弦AB为直径的圆恒过点Q知0，即(y1y0)(y2y0)0，即(y1y0)(y2y0)(y1y0)(y2y0)0，故(y1y0)(y2y0)16，即y1y2y0(y1y2)y160，整理得(y16)k4(y04)0，即当y04时，恒有0，故存在定点Q(4,4)满足题意；当直线l斜率不存在时，l：x8，不妨令A(8,4)，B(8，4)，Q(4,4)，也满足0，综上所述，存在定点Q(4,4)，使得以弦AB为直径的圆恒过点Q.