高中新教材数学人教A版（2019）课件 必修第二册 第8章 8-3-2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积.ppt

1、？8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积？课标定位素养阐释1.知道圆柱、圆锥、圆台表面与展开图的关系及表面积的计算方法.2.能识记圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式,并能用这些公式计算一些简单几何体的表面积和体积.3.能用柱、锥、台、球的表面积和体积公式解决简单的实际问题.4.用运动变化的观点观察柱、锥、台,体会它们的相互转化,发展直观想象和数学运算素养.自主预习新知导学合作探究释疑解惑易 错 辨 析随 堂 练 习？自主预习新知导学？一、圆柱、圆锥、圆台的表面积【问题思考】1.如何根据圆柱的展开图,求圆柱的表面积?提示:圆柱的侧面展开图是矩形,一边长是圆柱底面圆周长,另一边长是

2、圆柱的高(母线).设圆柱的底面半径为r,母线长为l,则S圆柱侧=2rl,S圆柱表=2r(r+l).？2.如何根据圆锥的展开图,求圆锥的表面积?提示:圆锥的侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线长,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图扇形面积为即S圆锥侧=rl,S圆锥表=r(r+l),其中r为圆锥底面半径,l为母线长.？3.如何根据圆台的展开图,求圆台的表面积?？4.圆柱、圆锥、圆台的表面积？5.做一做:(1)如图,圆锥的底面半径为1,高为,则圆锥的表面积为.(2)若圆台的上、下底面半径分别是3和4,母线长为6,则其表面积等于.？故圆锥的表面积S圆锥=1(1+2)=3.(2)S圆台=(32+42+3

3、6+46)=67.答案:(1)3(2)67？二、圆柱、圆锥、圆台的体积【问题思考】1.试回想圆柱和圆锥的体积公式.2.根据上一节棱台的体积公式,试推导圆台的体积公式.？4.做一做:(1)已知圆柱的高为2,若它的轴截面为正方形,则该圆柱的体积为()(2)若圆锥的底面圆半径为1,母线长为2,则该圆锥的体积为.？解析:(1)设圆柱的底面半径为r,高为h.由题意知2r=2,得r=1.故V圆柱=r2h=122=2.？三、球的表面积与体积【问题思考】1.古人在计算圆周率时,一般是用割圆术,即用圆的内接或外切正多边形的周长来逼近圆的周长.理论上,只要取得圆内接正多边形的边数越多,圆周率就越精确,直到无穷.这

4、种思想就是朴素的极限思想.运用上述思想能否计算球的表面积与体积?提示:可以,运用分割、求近似值、再由近似值转化的数学思想方法.？2.(1)设球的半径为R,则球的表面积S=4R2.(2)设球的半径为R,则球的体积V=_.？3.做一做:(1)如果两个球的半径之比为13,那么两个球的表面积之比为()A.19 B.127C.13 D.11(2)已知球的体积为,则它的表面积为.r3=27,r=3,S球=432=36.答案:(1)A(2)36？【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)锥体的体积公式V=Sh(S为底面面积,h为高).()(2)圆柱和圆锥都可以看作是圆

5、台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台,圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台.()(3)把球的表面积扩大为原来的2倍,则它的体积扩大为原来的8倍.()？合作探究释疑解惑探究一探究二？探究一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积【例1】已知ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积.解:如图,在ABC中,过点C作CDAB,垂足为点D.由AC=3,BC=4,AB=5,知AC2+BC2=AB2,则ACBC.由BCAC=ABCD,？对于与旋转体有关的组合体问题,要根据条件分清各个简单几何体的底面半径、母线长及高,再分别代入

6、表面积或体积公式求解.？【变式训练1】已知圆台的高为3,在轴截面中,母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60,轴截面中的一条对角线垂直于腰,求圆台的体积.解:如图所示,作轴截面A1ABB1,设圆台的上、下底面半径和母线长分别为r,R,l,高为h.作A1DAB于点D,则A1D=3.？探究二 球的表面积与体积【例2】若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,求圆锥侧面积与球面面积之比.？有关球的体积与表面积的问题(1)求球的体积或表面积时,必须知道半径R或者通过条件能求出半径R,然后代入体积或表面积公式求解.(2)半径和球心是球的最关键要素,把握住了这两点,计算球的表面积或体积的相关题目也

7、就容易了.(3)球的体积比等于半径比的立方,表面积比等于半径比的平方.？【变式训练2】64个直径都为的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;一个直径为a的球,记其体积为V乙,表面积为S乙,则()A.V甲V乙,且S甲S乙B.V甲V乙,且S甲S乙D.V甲=V乙,且S甲=S乙答案:C？探究三 与球有关的切接问题【例3】若一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍,则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为()A.43 B.31C.32D.94解析:如图,作轴截面,则PO=2OD,CPB=30,圆锥侧面积S1=6r2,球的表面积S2=4r2,即S1S2=32.答案:C？球的内切问题处理的注意事项:解决与

8、球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.若球内切于多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.球的外接问题处理的注意事项:把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.？【变式训练3】设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为()解析:由题意知,该三棱柱为正三棱柱,且侧棱与底面边长相等,均为a.如图,P为三棱柱上底面的中心,O为球心,答案:B？易 错 辨 析？考虑问题不全面致错【典例】把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱

9、的侧面,求这个圆柱的体积.以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:把矩形卷成圆柱时,可以以6为底,3为高;也可以以3为底,6为高.容易漏掉一种情况.？错解的原因是把宽当成母线,沿着矩形的长卷成圆柱,没有考虑到也可以沿着矩形的宽卷成圆柱.因此,解决此类问题一定要考虑全面.？随 堂 练 习？答案:B？答案:C？3.已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等,则球O的半径为()答案:D？4.已知一圆台上底面的半径为2,下底面的半径为3,截得此圆台的圆锥的高为6,则此圆台的体积为.？5.已知正四棱柱的底面边长为1,高为2,其8个顶点都在一个球的球面上,则该球的表面积是多少?