广西壮族自治区桂平市第五中学2020届高三下学期联考数学（文）试题 WORD版含解析.doc

1、数学（文）（3-2）（试卷总分150分考试时间120分钟）第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知复数的共轭复数为，且（为虚数单位），则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再利用复数模的计算公式求解即可.【详解】解：，则.故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，模的求法，属于基础题.2.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求解函数的定义域化简集合，然后利用交集运算求解即可.【详解】解：，.故选：D.【点睛】本题

2、考查交集运算，函数的定义域的求法，属于基础题.3.已知，则，的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据对数运算和指数运算比较大小即可.【详解】解：由题设知，又，则.故选：C.【点睛】本题考查对数运算和指数运算，结合对数函数，指数函数及余弦函数的性质，属于基础题.4.把能表示为两个连续奇数的平方差的正整数称为“幸运”，则在这个数中，能称为“幸运数”的个数是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用新定义，求出幸运数的满足条件，然后利用数列通项公式即可.【详解】解：设两个连续奇数为，则它们的平方差为，故“幸运数”即为能被整除的正整数，在这个数中，幸运

3、数组成一个首项为，公差为的等差数列，末项为，设共有个幸运数，则，解得，.故选：C.【点睛】本题考查新定义的连接与应用，数列的应用，数列通项公式的运用，考查计算能力，属于基础题.5.函数的部分图象可以为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再代入特殊值，进而判断结果.【详解】解：函数是奇函数，则图象关于原点对称，则排除B、D，又，则排除C.故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性，结合三角函数的特殊值的运用，属于基础题.6.某市为庆祝建国周年，营造一个安全的交通出行环境，方便市民出行，对全市两千多辆出租车的行驶年限进行了调查，现从中随机抽出辆出租车，已知抽到频

4、率的出租车的行驶年限都在年之间，根据调查结果，得到出租车行驶年限情况的残缺频率分布直方图，如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计出租车行驶年限的中位数大约是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先算出数据位于的频率，再设中位数，依据中位数的概念可知两边面积都是，进而列式，求出中位数的值.【详解】解：由频率分布直方图知，数据位于的频率为，前三个矩形的面积之和为设中位数，则，解得，.故选：B.【点睛】本题考查根据频率直方图运算中位数的问题，考查运算能力，属于基础题.7.的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用两角和的正弦公式的逆用进行化简，进而算出结

5、果即可.【详解】解：.故选：A.【点睛】本题考查两角和的正弦公式，考查运算能力，属于基础题.8.已知单位向量，且，若，则下列式子一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意可知，再利用，是单位向量且，代入化简，即可判断出结果.【详解】解：，是单位向量且，.故选：C.【点睛】本题考查平面向量的数量积与模长公式的应用问题，属于基础题.9.如图所示的程序框图，输入，若输出的值为，则判断框内应填入的条件为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据程序框图进行模拟运算，即可得出结果.【详解】解：由程序框图知，第一次：，否，循环，第二次：，否，循环，第三次

6、：，否，循环，第四次：，否，循环，第五次：，是，此时 .则判断框内应填入的条件为.故选：C.【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，属于基础题.10.已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若坐标原点到直线距离是，且椭圆的焦距为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】过，作直线的垂线，垂足为，则，由题设知，进而算出，由椭圆的定义知，运用余弦定理化简得，进而算出的值.【详解】解：过，作直线的垂线，垂足为，则，由题设知，是的中点，在中，由椭圆定义知，在中，由余弦定理得，化简得，又椭圆的焦距为，则.故选：C.【点睛】本题考查椭圆的基本性质，考查余弦定理的运用，属于中档题.1

7、1.在中，内角，的对边分别为，已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理化简得，则，再利用余弦定理求出的值.【详解】解：由正弦定理及得，则，由余弦定理得，又，即，.故选：B.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理，化简求值，考查分析能力，属于中档题.12.已知双曲线的渐近线与圆在第一象限的交点为，、分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的离心率的值为（ ）A. B. C. 或D. 【答案】D【解析】【分析】有题意可知，得出交点，由可得，结合关系，求出关系，进而算出离心率的值.【详解】解：由得，又，则，整理得，或，舍去，或.故选：D【点睛】本题考查双曲线的渐近线

8、方程，离心率的计算方法，考查分析能力和运算能力，属于中档题.第卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2223题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.曲线在点处的切线与抛物线相切，则_.【答案】或【解析】【分析】先求导得，曲线在点处的切线的斜率为，由切点为，得切线方程为，并与抛物线方程联立得，进而算出时的值.【详解】解：，则曲线在点处的切线的斜率为，又切点为，切线方程为，联立得，解得或.故答案为：或.【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程，属于中档题.14.已知是数

9、列的前项和，数列是公差为的等差数列，则_.【答案】【解析】【分析】由数列是公差为的等差数列，得出，则数列是公比为的等比数列，则，进而算出结果.【详解】析：数列是公差为的等差数列，即，又，数列是公比为的等比数列，则.故答案：.【点睛】本题考查等差数列的性质和等比数列的通项公式，属于中档题.15.函数的最小正周期为_.【答案】【解析】【分析】分类讨论和的情况，化简函数式子，进而可以画出图象，来判断最小正周期即可.【详解】解：当时，即时，当时，即时，则函数的最小正周期为故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期的求法，属于中档题.16.在三棱锥中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，当其外接球的

10、表面积为，且点到底面的距离为时，则侧面的面积为_.【答案】【解析】【分析】设点在底面上的射影为，根据题意可知点为的外心，并且为斜边的中点，设，则，设外接球的半径为，由题设知，则 ，代入数据解得，进而求出侧面的面积.【详解】解：设点在底面上的射影为，则点为的外心，又底面是以为斜边的等腰直角三角形，点为斜边的中点，设，则，设外接球的半径为，由题设知，设球心为，则在上，即解得，侧面的面积是.故答案为：.【点睛】本题考查棱锥外接球有关的问题，结合勾股定理的运用，考查分析能力和运算能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.某市实验中学数学教研组，在高三理科一班进行了一次

11、“采用两种不同方式进行答卷”考试实验，第一种做卷方式：按从前往后的顺序依次做；第二种做卷方式：先做简单题，再做难题.为了比较这两种做卷方式的效率，选取了名学生，将他们随机分成两组，每组人.第一组学生用第一种方式，第二组学生用第二种方式，根据学生的考试分数（单位：分）绘制了茎叶图如图所示.若分（含分）以上为优秀，根据茎叶图估计两种做卷方式的优秀率；设名学生考试分数的中位数为，根据茎叶图填写下面的列联表：超过中位数的人数不超过中位数的人数合计第一种做卷方式第一种做卷方式合计根据列联表，能否有的把握认为两种做卷方式的效率有差异？附：，.【答案】第一种做卷方式的优秀率为；第二种做卷方式的优秀率为；填表

12、见解析；有的把握认为两种做卷方式的效率有差异.【解析】【分析】根据概率的计算方法运算即可；先算出中位数，代入数据算出的值，比较数据，得出结论.【详解】解：根据茎叶图中的数据知，用第一种做卷方式答卷的分数在分（含分）以上的有人，第一种做卷方式的优秀率为用第二种做卷方式答卷的分数在分（含分）以上的有人，第二种做卷方式的优秀率为；这50名学生的考试分数按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是和，则它们的中位数为；由此填写列联表如下：超过中位数的人数不超过中位数的人数合计第一种做卷方式第一种做卷方式合计，故的把握认为两种做卷方式的效率有差异.【点睛】本题考查列联表中的数据计算卡方的方法，概率的求法

13、，属于中档题.18.正项数列的前项和为，且.证明：数列为等差数列；求使成立的的最小值.【答案】证明见解析；.【解析】【分析】由题意可知，当时，由得，化简得，进而即可求证.由知，进而得出，进而可以判断出的最小值.【详解】解：证明：当时，当时，由得，化简得，数列是以为首项，以为公差的等差数列.由知，则，当时，上式也成立，则不等式为，故使成立的的最小值为.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查转化能力，属于中档题.19.如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点.求证：平面；设为上一点，且，求点到平面的距离.【答案】证明见解析；.【解析】【分析】根据得，并且得出四边形为正方形，进而即可求证；先算出点到平

14、面的距离即为，由，可求出，设点到平面的距离为，则，进而求出点到平面的距离.【详解】解：证明：，即，又是直三棱柱，平面，则，、分别为、的中点，且，四边形为正方形，则，又，平面.由知，即，又是直三棱柱，平面，则点到平面的距离即为，由知，且，设点到平面的距离为，则，则，即点到平面的距离为.【点睛】本题考查空间立体几何图形中线面垂直的判定，考查等体积法的运用，考查分析能力和运算能力，属于中档题.20.已知函数，为的导数.求证：在区间上存在唯一零点；（其中，为的导数）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】证明见解析；.【解析】【分析】先写出，求导得，则函数在区间上单调递增，进而即可求证在区间上存

15、在唯一零点；由知，则，即在上恒成立，令，利用导数判断单调性，进而算出的取值范围.【详解】解：证明：，则，显然，函数在区间上单调递增.又，在区间上存在唯一零点.由知，不等式即为，即在上恒成立，令则，当时，在是增函数，当时，则在单调递增，故，故，实数的取值范围是.【点睛】本题考查导数在函数中的应用，考查分析能力和运算能力，属于中档题.21.已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，点在第一象限.若，求直线的方程；若，点为准线上任意一点，求证：直线，的斜率成等差数列.【答案】；证明见解析.【解析】【分析】设点在准线上的射影为，由抛物线的定义知，设，列式联立求出，直线AB的斜率为

16、，进而写出直线的方程；若，则抛物线，准线，设直线的方程为，联立得消得，利用韦达定理，进而求出，即可求证.【详解】解：设点在准线上的射影为，由抛物线的定义知，设，由题设知，解得，则，即，又由抛物线的定义知，即，联立，解得，或，则，焦点为，则直线的斜率为，故直线的方程为；证明：若，则抛物线，准线，设直线的方程为，由消去得，则，则又，故直线，的斜率成等差数列.【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于难题.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4坐标系与参数方程】22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标

17、原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；已知点是曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最小值.【答案】；.【解析】【分析】参数方程转化为普通方程即可，运用转化公式将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程即可；由知，曲线的普通方程为，设其参数方程为，则，利用点到直线的距离公式代入求点到直线的距离的最小值.【详解】解：由（为参数）得，曲线C的普通方程为；由得，直线l直角坐标方程为；由知，曲线的普通方程为，设其参数方程为（为参数），则，直线的直角坐标方程为，点到直线的距离为，当时，点到直线的距离的最小值为.【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题.【选修4-5不等式选讲】23.已知，.若，求证：；若，求证：.【答案】证明见解析；证明见解析.【解析】【分析】根据已知可得，由柯西不等式求证即可；利用基本不等式求证即可.【详解】解：证明：由得，由柯西不等式，.，等号成立的条件为；证明：，.即，当且仅当时等号成立.又，.【点睛】本题考查柯西不等式与基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题.