山东省济宁市学而优教育咨询有限公司2015届高三数学人教A版高考复习专题：第36讲 空间几何体的表面积与体积 .doc

1、第二节空间几何体的表面积与体积考情展望1.与三视图相结合考查柱、锥、台、球的体积和表面积.2.以选择题与填空题形式考查一、旋转体的表(侧)面积名称侧面积表面积圆柱(底面半径r，母线长l)2rl2r(lr)圆锥(底面半径r，母线长l)rlr(lr)圆台(上、下底面半径r，母线长l)(r1r2)l(r1r2)l(rr)球(半径为R)4R2二、空间几何体的体积(h为高，S为下底面积，S为上底面积)1V柱体Sh.2V锥体Sh.3V台体h(SS)4V球R3(球半径是R)求几何体体积的两种重要方法1割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决2等积法：等积法包括等面积法

2、和等体积法等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值1正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的全面积为()A48(3)B48(32)C24() D144【解析】正六棱柱的侧面积S侧664144，底面面积S底264248，S表1444848(3)【答案】A2若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图721所示，则其侧面积等于()图721A. B2C2 D6【解析】由三棱柱的正视图可知此三棱柱为底面边长为2，侧

3、棱长为1的正三棱柱，S侧2136.【答案】D3圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A4S B2SCS D.S【解析】设圆柱的底面半径为r，则Sr2，r.由题意得圆柱的高h2r，S侧2rh424S.【答案】A4母线长为1的圆锥的侧面展开图的面积是，则该圆锥的体积为()A. B.C. D.【解析】设圆锥的底面半径为r，依题意得r1，r.圆锥的高h .圆锥的体积Vr2h.【答案】C5(2013陕西高考)某几何体的三视图如图722所示，则其表面积为_图722【解析】由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即43.【答案】36

4、(2013辽宁高考)某几何体的三视图如图723所示，则该几何体的体积是_图723【解析】由三视图可知该几何体是一个圆柱内部挖去一个正四棱柱，圆柱底面圆半径为2，高为4，故体积为 16；正四棱柱底面边长为2，高为4，故体积为16，故题中几何体的体积为 1616.【答案】1616考向一 118空间几何体的表面积如图724是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是()图724A9B10C11D12【思路点拨】先由三视图判断几何体的形状，然后根据相应几何体的表面积公式求解【尝试解答】从题中三视图可以看出该几何体是由一个球和一个圆柱体组合而成的，其表面积为S41212221312.故选D

5、.【答案】D规律方法11.解答本题的关键是根据三视图得到几何体的直观图，弄清几何体的组成.2.在求多面体的侧面积时，应对每一侧面分别求解后再相加，对于组合体的表面积应注意重合部分的处理.3.以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系.对点训练(2013重庆高考)某几何体的三视图如图725所示，则该几何体的表面积为()图725A180B200C220D240【解析】由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以S底(82)4240，S侧1

6、081022105200，S表40200240，故选D.【答案】D考向二 119空间几何体的体积(1)(2013课标全国卷)某几何体的三视图如图726所示，则该几何体的体积为()图726A168B88C1616 D816图727(2)(2012山东高考)如图727，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1EDF的体积为_【思路点拨】(1)根据三视图得到几何体的直观图，明确边长的大小再根据相应公式求解(2)原三棱锥的底面面积和高都不易求，转换顶点使三棱锥的高与底面面积易求【尝试解答】(1)原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所

7、示)，其体积为V422224168.(2)VD1EDFVFDD1ESD1DEAB111.【答案】(1)A(2)规律方法21.解答本题(2)的关键是转换顶点，转换顶点的原则是使底面面积和高易求一般做法是把底面放在已知几何体的某一个面上2注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法3等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用“等积法”可求“点到面的距离”对点训练(1)(2013广东高考)某三棱锥的三视图如图728所示，则该三棱锥的体积是()图728A.B.C.D1(2)(2013江西高考)一几何体

8、的三视图如图729所示，则该几何体的体积为()图729A2009 B20018C1409 D14018【解析】(1)如图，三棱锥的底面是一个直角边长为1的等腰直角三角形，有一条侧棱和底面垂直，且其长度为2，故三棱锥的高为2，故其体积V112，故选B.(2)由三视图可知该几何体的下面是一个长方体，上面是半个圆柱组成的组合体长方体的长、宽、高分别为10、4、5，半圆柱底面圆半径为3，高为2，故组合体体积V104592009.【答案】(1)B(2)A考向三 120球与多面体已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高

9、与体积较大者的高的比值为_【思路点拨】由球、圆锥的对称性知，两圆锥的顶点连线过球心及圆锥底面的圆心，先求圆锥底面的半径，再求球心与圆锥底面的圆心间的距离，问题可解【尝试解答】如图，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.由题意得r24R2.r2R2，根据球的截面的性质可知两圆锥的高必过球心O，且两圆锥的顶点以及圆锥与球的交点是球的大圆上的点，且ABO1C.OO1R，因此体积较小的圆锥的高AO1RR，体积较大的圆锥的高BO1RR.且这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比为.【答案】规律方法31.解答本题的关键是确定球心、圆锥底面圆心与两圆锥顶点之间的关系，这需要根据球的对称性及几何体的形状来

10、确定.2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.球与旋转体的组合通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.对点训练(2013课标全国卷)如图7210，有一个水平放置的透明无盖图7210的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为()A. cm3B. cm3C. cm3 D. cm3【解析】如图，作出球的一个截面，则MC862(cm)，BMAB84(cm)设球的半径为R cm，则R2OM2MB2(R2)242，R

11、5，V球53(cm3)【答案】A思想方法之十七补形法破译体积问题某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的几何问题，这是一种重要的解题策略补形法常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题1个示范例1个对点练(2012湖北高考)已知某几何体的三视图如图7211所示，则该几何体的体积为()图7211A.B3C.D6【解析】由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的，所以V1243.(2012辽宁高考)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形若PA2，则OAB的面积为_【解析】如图所示，线段PC就是球的直径，设球的半径为R，因为ABBC2，所以AC2.又PA2，所以PC2PA2AC2242448，所以PC4，所以OAOB2，所以AOB是正三角形，所以S223.【答案】3