山东省淄博市淄川区第四中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）.doc

1、山东省淄博市淄川区第四中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题（每小题5分，共60分.1-8为单选题，9-12为多选题）1. 已知ABC的周长为20，且顶点B （0，4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（）A. （x0）B. （x0）C. （x0）D. （x0）B分析：根据三角形的周长和定点，得到点A到两个定点的距离之和等于定值，得到点A的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在y轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点解答：解：ABC的周长为20，顶点B （0，4），C （0，4）

2、，BC8，AB+AC20812，128点A到两个定点的距离之和等于定值，点A的轨迹是椭圆，a6，c4b220，椭圆的方程是故选B点拨：本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点2. 设P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最大值为A. B. C. D. A分析：容易求出圆心到直线的距离，加上半径即为点P是圆上的动点到直线的距离的最大值解答：依题意可知：圆的圆心，半径为1，圆心到直线距离：故点P到直线的距离的最大值是：故选A点拨：本题考查圆的标准方程的应用、直线与圆的位置关系；圆上的点到直线距离的最值问题常常转化为原点到直线

3、的距离加上（减去）半径即为最大值（小值）.3. 圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则圆锥的表面积为（ ）A. B. C. D. C分析：根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥的底面半径、母线长，结合圆锥表面积公式，即可求出答案.解答：圆锥的轴截面是边长为的正三角形，圆锥的底面半径，母线长；表面积故选C.点拨：本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥轴截面等知识，属于基础题.4. 一道竞赛题，三人可解出的概率依次为，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为（ ）A. B. C. D. 1B分析：根据题意，只有1人解出，则分三类，一是A解出而其余两人没有解出

4、，一是B解出而其余两人没有解出，一是C解出而其余两人没有解出，每一类用独立事件概率的乘法公式求解，然后这三类用互斥事件概率的加法求解.解答：.故选：B点拨：本题主要考查了独立事件的概率和互斥事件的概率，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.5. 已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且，设向量，则（ ）A. B. C. D. C分析：连接ON,先求出，再进一步化简即得解.解答：如图所示，连接ON,，所以，.故选：C.点拨：本题主要考查向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6. 如图所示，垂直于以为直径的圆所在的平面，为圆上异于的任一

5、点，则下列关系中不正确的是（ ）A. B. 平面C. D. C分析：由平面，得，再由，得到平面，进而得到，即可判断出结果解答：因为垂直于以为直径的圆所在的平面， 即平面，得，A正确；又为圆上异于的任一点，所以，平面，B，D均正确.故选C.点拨：本题主要考查线面垂直，熟记线面垂直的判定定理与性质定理即可，属于常考题型.7. 下图是某校随机抽取100名学生数学月考成绩的频率分布直方图，据此估计该校本次月考数学成绩的总体情况（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），下列说法正确的是（ ）A. 平均数为74B. 众数为60或70C. 中位数为75D. 该校数学月考成绩80以上的学生约占25%D分析：

6、根据平均数等于小矩形的面积乘以各小矩形底边中点横坐标之和可判断A；取小矩形面积最大的底边中点横坐标作为众数可判断B；从左边开始将小矩形的面积之和等于的横坐标作为中位数可判断C；将成绩80以上的小矩形面积相加可判断D.解答：对于A，故A不正确；对于B，由频率分布直方图可知众数为，故B不正确；对于C，设中位数为，则，解得，故C不正确；对于D，数学月考成绩80以上的学生约占，即为25% ，故D正确；故选：D点拨：本题考查了频率分布直方图求平均数、众数、中位数，考查了基本运算求解能力，属于基础题.8. 直线过点且与以点为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（ ）.A. B. C. D. D分析：解答：

7、根据如下图形可知，使直线与线段相交的斜率取值范围是故选：D.（以下为多选题）9. 已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中正确的有（ ）A. B. C. D. ABCD分析：根据方向向量的关系和法向量的关系可判断线线关系和面面关系，从而可得正确的选项.解答：若两条直线不重合，则空间中直线与直线平行（或垂直）的充要条件为它们的方向向量平行（或垂直），故A、B均正确.若两个平面不重合，则空间中面面平行（或垂直）的充要条件为它们的法向量平行（或垂直），故C、D均正确.故选：ABCD点拨：本题考查空间中点线面位置关系判断的向量方法，考查学生的转化能力和空

8、间想象力，本题属于容易题10. 一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是( )A. 任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是B. 每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16C. 每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是D. 每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16ACD分析：先记4件产品分别为1,2,3, ,其中表示次品，用列举法，结合古典概型概率计算公式，逐项判断即可.解答：记4件产品分别为1,2,3, ,其中表示次品.A选项,样本空间,“恰有一件次品”的样本点为,因此其概率，A正确；B选项,每次抽取1件,不放回抽取两次

9、,样本空间,因此,B错误；C选项,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,C正确;D选项,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间,因此,D正确.故选：ACD.点拨：本题主要考查古典概型的相关计算，熟记古典概型的概率计算公式，以及列举法确定基本事件个数即可，属于常考题型.11. 已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是（ ）A. 若，则直线a平行于平面内的无数条直线B. 若，则a与b是异面直线C. 若，则D. 若，则一定相交AC分析：由题意得出或，不管是哪一种情况，都能在平面内找到无数条直线与直线平行即可判断A选项；由题意得出直线与b没有交点，则与b可能异面

10、，也可能平行，即可判断B选项；由，得出直线与没有公共点，则，即可判断C选项；当直线平行时，也满足题意，即可判断D选项.解答：A中，则或，所以不管在平面内还是平面外，都有结论成立，故A正确；B中，直线与b没有交点，所以与b可能异面，也可能平行，故B错误；C中，直线与平面没有公共点，所以，故C正确；D中，直线与平面有可能平行，故D错误.故选：AC点拨：本题主要考查了直线与直线，直线与平面的位置关系，属于基础题.12. 已知圆O：和圆C：.现给出如下结论，其中正确的是（ ）A. 圆O与圆C有四条公切线B. 过C且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或C. 过C且与圆O相切的直线方程为D. PQ分别为圆O

11、和圆C上的动点，则的最大值为，最小值为AD分析：对于A，先由已知判断两圆的位置关系，从而可判断两圆的公切线的条数；对于B，截距相等可以过原点或斜率只能为，从而可得直线方程；对于C，由于点C在圆O外，所以过点C与圆O相切的直线有两条；对于D，的最大值为圆心距与两圆半径的和，最小值为圆心距与两圆半径的差，解答：解：由题意可得，圆O：的圆心为，半径，圆C：的圆心，半径,因为两圆圆心距，所以两圆相离，有四条公切线，A正确；截距相等可以过原点或斜率只能为，B不正确；过圆外一点与圆相切的直线有两条，C不正确；的最大值等于，最小值为，D正确.故选：AD点拨：此题考查两圆的位置关系的有关性质，属于基础题第II

12、卷（非选择题）二、填空题（每小题5分，共20分.多空题的第一空2分，第二空3分）13. 若椭圆的一个焦点坐标为，则的长轴长为_.分析：由椭圆的焦点坐标判断焦点位置和值，根据方程写，再由，之间的关系求参数，再得长轴长即可.解答：解：由题意可知，椭圆的焦点在轴上，且，所以，且，解得，所以椭圆的标准方程为：，所以，即，所以长轴长，故答案为：.点拨：本题考查了椭圆的定义及性质，注意椭圆标准形式的分母都为正值，属于基础题.14. 已知直线，若曲线上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为_.分析：曲线上有两点，满足关于直线对称，说明曲线是圆，直线过圆心，易求m的值.解答：曲线方程为表示圆心为，半径为3的

13、圆，点在圆上且关于直线对称，圆心在直线上，代入得.故答案为：.点拨：本题考查直线与圆的方程的应用，圆的一般式方程，考查函数与方程的思想，是中档题.15. 正三棱柱中，为棱的中点，则异面直线与成角的大小为_分析：利用向量的方法，以为基底表示，并计算，然后根据空间向量的夹角公式计算即可.解答：如图，由侧棱和底面垂直，所以且，且，异面直线与成角的大小为故答案为：点拨：本题考查利用向量的方法求解异面直线所成的角，本题关键在于选择合适的向量作为基底，考查计算能力，属基础题.16. 某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后

14、统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为_，80%分位数是_. (1). (2). 分析】利用极差和百分位数的概念求解.解答：由题意知：数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的极差是；所以数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的80%分位数是.故答案为：7，8.5.点拨：本题主要考查极差和百分位数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.三、解答题（共70分.要求写必要的文字说明）17. 某微商对某种产品每天的销售量(x件）进行为期一个月的数据统计分析，并得出了该月销售量的直方图（一个月按30天计算）如图所示.假设用直方图中所得的频率来估计相应的事件发生的

15、概率.（1）求频率分布直方图中的的值；（2）求日销量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若微商在一天的销售量不低于25件，则上级商企会给微商赠送100元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数.（1）0.02；（2）22.5；（3）10800（元）.分析：（1）由矩形面积和为1能求出.（2）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，能求出日销售量的平均值.（3）根据频率分布直方图，日销售量不低于25件的天数为，可获得的奖励为900元，由此可以估计一年内获得的礼金数.解答：（1）由题意可得.（2）根据已知的频率分布直方图，日销售量的平均值为：.（3）根据频率分布直方图，

16、日销售量不低于25件的天数为：，可获得的奖励为900元，依此可以估计一年内获得的礼金数为元.点拨：本题考查频率、平均值，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.18. 已知圆及直线：.(1)证明：不论取什么实数，直线与圆C总相交；(2)求直线被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程.(1)证明见解析；(2) ，.分析：（1）根据直线过的定点在圆内，得出直线与圆总相交（2）作图分析出当直线与半径CM垂直与点M时|AB|最短，利用勾股定理求出此时|AB|的长，再运用两直线垂直时斜率相乘等于1，求出此时直线的方程解答：解：(1)证明：直线的方程可化为，由方程组，解得所以直线过

17、定点M(3，1)，圆C化为标准方程为，所以圆心坐标为(1，2)，半径为5，因为定点M(3，1)到圆心(1，2)的距离为，所以定点M(3，1)在圆内，故不论m取什么实数，过定点M(3，1)的直线与圆C总相交；(2)设直线与圆交于A、B两点，当直线与半径CM垂直与点M时，直线被截得的弦长|AB|最短，此时，此时，所以直线AB的方程为，即.故直线被圆C截得的弦长的最小值为，此时的直线的方程为.点拨：本题主要考查直线和圆的位置关系，当直线与半径CM垂直于点M时|AB|最短是解题的关键，是中档题19. 如图所示在长方体中，分别是，的中点.（1）求证：平面（2）求C到平面的距离.（1）证明见解析；（2）.

18、分析：（1）分别取和的中点，连接，利用中位线定理可证四边形是平行四边形，所以，再根据线面平行的判定定理，即可证明结果；（2）以为原点，分别为，建立空间直角坐标系，根据题意可求出点的坐标，进而求出平面的法向量，再根据空间向量中点到平面的距离公式即可求出结果.解答：分别取和的中点，连接，则且；且 所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）以为原点，分别为，建立空间直角坐标系，如图所示：由题意，则，又，分别是，的中点，所以,所以;设平面的法向量为，则，令，则；所以，设C到平面的距离为，则.点拨：本题主要考查了线面平行的判定定理的应用，以及空间向量的在求点到平面距离中的应用

19、，属于基础题.20. 甲、乙、丙三名学生一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立，根据甲、乙、丙三名学生的平均成绩分析，甲、乙、丙3名学生能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.6，0.6，0.75.（1）求甲、乙、丙三名学生中恰有一人通过笔试的概率；（2）求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率.（1）0.38；（2）0.6864.分析：(1)分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件，则为相互独立事件，E表示事件“恰有一人通过笔试”；E分解为3个互斥

20、事件：，这三个互斥事件内部也是相互独立事件，从而进行计算；(2)一名学生被该高校预录取指笔试和面试均合格，这两次考试过程相互独立，分别计算出三名学生各自被录取的概率，首先求出三人均未被录取的概率，然后由对立事件的概率性质即可得解.解答：（1）分别记“甲、乙、丙三名学生笔试合格”为事件，则为相互独立事件，E表示事件“恰有一人通过笔试”，则即恰有一人通过笔试的概率是0.38.（2）分别记“甲、乙、丙三名学生经过两次考试后合格”为事件A，B，C，则.事件F表示“甲、乙、丙三人中至少有一人被该高校预录取”，则表示甲、乙、丙三人均没有被该高校预录取，于是.即经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率

21、是0.6864.点拨：利用互斥事件、对立事件的概率公式求概率，属于中档题.21. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且，平面ABCD.（1）求PA与平面PCD所成角的正弦值；（2）棱PD上是否存在一点E，满足？若存在，求AE的长；若不存在，说明理由.（1）；（2）不存在，详见解析.分析：（1）以AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，根据空间向量夹角公式求出PA与平面PCD所成角的正弦值；（2）根据空间向量夹角公式直接求解即可.解答：（1），平面ABCD，可以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标

22、系，则，从而，.设平面PCD的法向量为，则，取，得，平面PCD的一个法向量，设直线PA与平面PCD的夹角为，则.（2），则，若，则，此方程无解，故在棱PD上不存在一点E，满足.点拨：本题考查了利用空间向量夹角公式求线面角的正弦值，考查了利用空间向量夹角公式解决异面直线所成角为直角的问题，考查了数学运算能力.22. 已知圆过点，且圆心在直线上.（1） 求圆的方程；（2）问是否存在满足以下两个条件的直线:斜率为；直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点. 若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，请说明理由.(1);(2)存在这样的两条直线，其方程是或试题分析：(1)将方程设为圆的一般方程，根据条件表示为的三元一次方程，解方程组即求得圆的方程；（2）首先设直线存在，其方程为，它与圆C的交点设为A、B然后联立直线与圆方程，得到根与系数的关系，根据,得到，代入直线方程与根与系数的关系解得b，得到直线方程，并需验证.试题解析：解：()设圆C的方程为则 解得 D=-6, E=4, F=4 圆C方程为:即 ()设直线存在，其方程为，它与圆C的交点设为A、B则由 得（） AB为直径, ， ，即 ，即，或容易验证或时方程（）的故存在这样的两条直线，其方程是或考点：1.圆的方程；2.直线与圆的位置关系.