2021版高考数学一轮复习 单元评估检测（二）（含解析）新人教B版.doc

1、单元评估检测(二)(第四章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图,角的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1)交于第二象限的点P,则cos +sin =()A.B.-C.D.-【解析】选B.由任意角三角函数的定义知sin =,又是第二象限角,所以cos =-=-,因此cos +sin =-.2.(2019全国卷)tan 255=()A.-2-B.-2+C.2-D.2+【解析】选D.tan 255=tan(180+75)=tan 75=tan(45+30)=2+.3.(2020遵义模拟)若sin=-,

2、且,则sin(-2)=()A.- B.-C.D.【解析】选A.因为sin=cos =-,所以sin =,所以sin(-2)=sin 2=2sin cos =2=-.4.(2019衡水模拟)若cos =,则cos(-2)=()A.B.C.-D.-【解析】选D.由cos=,得sin =,所以cos (-2)=-cos 2=-(1-2sin 2)=2sin 2-1=2-1=-.5.(2020威海模拟)函数y=sin的图象可由y=cos 2x的图象如何得到()A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【解析】选B.y=sin=cos=cos=cos,所以把y=cos 2x

3、的图象向右平移个单位,得到y=cos的图象.6.(2020烟台模拟)设锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,B=2A,则b的取值范围为()A.(0,4)B.(2,2)C.(2,2)D.(2,4)【解析】选C.因为a=2,B=2A,所以02A,A+B=3A,所以3A,所以A,所以A,所以cos A,因为a=2,B=2A,由正弦定理得=b=2cos A,即b=4cos A,所以24cos A0，则ABC一定是锐角三角形【解析】选AC.由=，利用正弦定理可得=，即tan A=tan B=tan C，A=B=C，ABC是等边三角形，A正确；由正弦定理可得sin Acos

4、A=sin Bcos Bsin 2A=sin 2B，2A=2B或2A+2B=，ABC是等腰或直角三角形，B不正确；由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin B，即sin =sin B，sin A=sin B，则A=B，ABC是等腰三角形，C正确；由余弦定理可得cos C=0，角C为锐角，角A，B不一定是锐角，D不正确，故选AC.11.已知向量m=(sin x,-),n=,函数f=mn+,下列说法正确的是()A.y=f的最小正周期为B.y=f的图象关于点对称C.y=f的图象关于直线x=对称D.y=f的单调增区间为(kZ)【解析】选AB.f=mn+=sin xcos x-c

5、os 2x+=sin 2x-cos 2x=sin,其最小正周期为T=,A正确;又sin =0,因此f(x)图象关于点对称,B正确;2x-=k+得x=+(kZ),因此x=-是f(x)图象的一条对称轴,C错误;由2k-2x-2k+,得k-xk+,即增区间为k-,k+,kZ,D错误.12.将函数f(x)=2sin-1的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,则下列说法不正确的是()A.函数g(x)的图象关于点对称B.函数g(x)的周期是C.函数g(x)在上单调递增D.函数g(x)在上最大值是1【解析】选ABD.将函数f(x)=2sin-1的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐

6、标不变),得到函数g(x)=2sin-1的图象,由于当x=-时,g(x)=-1,故函数g(x)的图象不关于点对称,故A错误;函数g(x)的周期为=,故B错误;在上,2x+,g(x)单调递增,故C正确;在上,2x+,g(x)的最大值趋向于1,故D错误.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2019雅安模拟)函数f(x)=sin2x+的图象在区间上的对称轴方程为_.【解析】因为函数f(x)= sin,所以令2x+=+k,kZ,即x=+,kZ,所以当k=0时,函数f(x)= sin的图象在区间上的对称轴方程为x=.答案:x=14.如图,某人在山脚P处测

7、得甲山山顶A的仰角为30,乙山山顶B的仰角为45,APB的大小为45,山脚P到山顶A的直线距离为2 km,在A处测得山顶B的仰角为30,则乙山的高度为_ km.【解析】假设甲山底部为C,乙山底部为D,过A作AEBD于点E.由题意可知APC=30,BPD=45,AP=2 km,所以AC=APsin 30=1(km),DE=AC=1 km,设BD=h km,则DP=BD=h km,BE=(h-1)km,所以BP=h km.因为BAE=30,所以AB=2BE=(2h-2)km.在ABP中,由余弦定理得:cos 45=.解得h=2.所以乙山的高度为2 km.答案:215.已知ABC中,A=,cos B

8、=,AC=8.则ABC的面积为_;AB边上的中线CD的长为_.【解析】因为cos B=,且B(0,),所以sin B=.所以sin C=sin (-A-B)=sin (A+B)=sin Acos B+cos Asin B=+=,在ABC中,由正弦定理得=,即=,解得AB=7,所以ABC的面积为S=ABACsin A=78=28.在ACD中,AD=, 所以由余弦定理得CD2=82+-28=,所以CD=.答案:2816.(2020潮州模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,BC边上的高为,则+的最大值是_.世纪金榜导学号【解析】因为BC边上的高为,所以a=bcsin A,即a2=2b

9、csin A,+=sin A+cos A=sin,故+的最大值是.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在B=A+，cos C=这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求(1)a的值；(2)cos 2C的值.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，cos A=，_.【解析】选.(1)因为cos A=，所以sin A=，因为B=A+，所以sin B=sin=cos A=.由正弦定理得a=3.(2)因为B=A+，所以cos B=-sin A=-.所以sin C=sin=sin Acos B+cos Asi

10、n B=+=，所以cos 2C=1-2sin 2C=1-=.选.(1)因为cos A=，所以sin A=，因为cos C=，所以sin C=，所以sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=+=.由正弦定理得a=3.(2)cos 2C=2cos2C-1=2-1=.18.(12分)(2020天津模拟)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ab,a=5,c=6,sin B=.(1)求b和sin A的值.(2)求sin的值.【解析】(1)在ABC中,因为ab,故由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-

11、2accos B=13,所以b=.由正弦定理=,得sin A=.所以b的值为,sin A的值为.(2)由(1)及ac,得cos A=,所以sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin2A=-.故sin=sin 2Acos+cos 2Asin=.19.(12分)(2020山东新高考模拟)在ABC中,A=90,点D在BC边上,在平面ABC内,过D作DFBC且DF=AC.(1)若D为BC的中点,且CDF的面积等于ABC的面积,求ABC.(2)若ABC=45,且BD=3CD,求cos CFB.【解析】(1)如图所示,D为BC的中点,所以BD=CD.又因为SABC=SCDF,即AB

12、AC=CDDF=BCAC,从而BC=2AB,又A=90,从而ACB=30,所以ABC=90-30=60.(2)由ABC=45,从而AB=AC,设AB=AC=k.则BC=k.由BD=3CD,所以BD=BC=k,CD=k.因为DF=AC=k,从而BF=k,CF=k.(方法一)由余弦定理得cosCFB=.(方法二)cosDFB=,从而sinDFB=;cosDFC=,从而sinDFC=.所以cosCFB=cos(CFD+DFB)=.20.(12分)在ABC中,AC=2,D是BC边上的一点.(1)若AD=1,=3,求CD的长.(2)若B=120,求ABC周长的取值范围.【解析】(1)在ADC中,AD=1

13、,AC=2,所以=|cosDAC=12cosDAC=3, 所以cosDAC=.由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2ACADcosDAC=12+1-221=7,所以CD=.(2)在ABC中 由正弦定理得=4,所以AB+BC=4(sin A+sin C)=4=4sin,因为0A,所以sin.所以AB+BC(2,4所以ABC的周长的取值范围为(4,4+2.21.(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,B=2A,b=3.世纪金榜导学号(1)求a.(2)已知点M在边BC上,且AM平分BAC,求ABM的面积.【解析】(1)由0A,cos A=,得sin A=,所以sin

14、 B=sin2A=2sin Acos A=2=,又由正弦定理得a=2.(2)cos B=cos2A=2cos2A-1=2-1=,在ABC中,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得2c2-c-10=0,解得c=或c=-2(舍去).SABC=bcsin A=,因为=,所以SABM=SABC=.22.(12分)如图,洪泽湖湿地为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射线AB,AC为湿地两边夹角为120的公路(长度均超过2千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客接送点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=2千米,AN=2千米.世纪金榜导学号(1)求线段

15、MN的长度.(2)若MPN=60,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.【解题指南】(1)在AMN中,利用余弦定理得到MN.(2)设PMN=,得到PNM=120-,利用正弦定理将PM+PN用表示,结合三角函数的有界性求最值.【解析】(1)在AMN中,由余弦定理得,MN2=AM2+AN2-2AMANcos 120=22+22-222=12,所以MN=2 千米.(2)设PMN=,因为MPN=60,所以PNM=120-,在PMN中,由正弦定理得,=.因为=4,所以PM=4sin(120-),PN=4sin ,因此PM+PN=4sin(120-)+4sin =4+4sin =6sin +2cos =4sin(+30),因为0120,所以30+30150.所以当+30=90,即=60时,PM+PN取到最大值4.答:两条观光线路PM与PN之和的最大值为4千米.