2021版高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习练 考题预测·全过关 7-7-2　利用向量求空间角和距离 WORD版含解析.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。练 考题预测全过关1.(2019全国卷)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN平面C1DE.(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.【解题指南】(1)利用三角形中位线和A1D􀱀B1C可证得ME􀱀ND,证得四边形MNDE为平行四边形,进而证得MNDE,根据线面平行判定定理可证得结论;(2)建立空间直角坐标系,通过向量法求得两个法向

2、量夹角的余弦值,进而可求得所求二面角的正弦值.【解析】(1)连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以MEB1C,且ME=B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D.由题设知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,因此四边形MNDE为平行四边形,MNED.又MN平面EDC1,ED平面C1DE,所以MN平面C1DE.(2)由已知可得DEDA.以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,2),N(1,0,2),=(0,0,-4),=(-1,-2),=(-1,0,-2),=(0,-,0).设m=

3、(x,y,z)为平面A1MA的法向量,则所以可取m=(,1,0).设n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量,则所以可取n=(2,0,-1).于是cos=,所以二面角A-MA1-N的正弦值为.2.如图,点A、B、C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上,=(0,0,2),平面ABC的法向量为n=(2,1,2),设二面角C-AB-O的大小为,则cos =()A.B.C.D.-【解析】选C.因为点A、B、C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上,=(0,0,2),平面ABC的法向量为n=(2,1,2),二面角C-AB-O的大小为,所以cos=.3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,若B

4、AC=90,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于() A.30B.45C.60D.90【解析】选C.不妨设AB=AC=AA1=1,建立空间直角坐标系,如图所示,则B(0,-1,0),A1(0,0,1),A(0,0,0),C1(-1,0,1),所以=(0,1,1),=(-1,0,1),所以cos=,所以=60,所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60.4.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,高为2,则异面直线BC1与DB1的夹角的余弦值是_.【解析】因为长方体ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形,高为2,所以以D为原点,DA所在直线

5、为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,B(1,1,0),C1(0,1,2),D(0,0,0),B1(1,1,2),=(-1,0,2),=(1,1,2),设异面直线BC1与DB1的夹角为,则cos =.所以异面直线BC1与DB1的夹角的余弦值为.答案:5.直角三角形ABC中,C=90,AC=4,BC=2,E是AC的中点,F是线段AB上一个动点,且=(01),如图所示,沿BE将CEB翻折至DEB,使得平面DEB平面ABE.(1)当=时,证明:BD平面DEF.(2)是否存在,使得DF与平面ADE所成的角的正弦值是?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)

6、在ABC中,C=90,即ACBC,则BDDE,取BF的中点N,连接CN交BE于M,当=时,F是AN的中点,而E是AC的中点,所以EF是ANC的中位线,所以EFCN,在BEF中,N是BF的中点,所以M是BE的中点,在RtBCE中,EC=BC=2,所以CMBE,则EFBE,又平面DEB平面ABE,平面DBE平面ABE=BE,所以EF平面DBE,又BD平面DBE,所以EFBD.而EFDE=E,所以BD平面DEF.(2)以C为原点,CA所在的直线为x轴,CB所在的直线为y轴,建立如图所示空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(4,0,0),B(0,2,0),由(1)知M是BE的中点,DMBE,又平面DEB平面ABE,所以DM平面ABE,则D(1,1,),假设存在满足题意的,则由=,可得F(4-4,2,0),则=(3-4,2-1,-),设平面ADE的一个法向量为n=(x,y,z),则即令y=,可得x=0,z=-1,即n=(0,-1),所以DF与平面ADE所成的角的正弦值sin =,解得=或3(舍去),综上,存在=,使得DF与平面ADE所成的角的正弦值为.关闭Word文档返回原板块