山西省运城市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）.doc

1、山西省运城市2019-2020学年高二数学下学期期末考试试题 理（含解析）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知z是纯虚数，是实数，那么z等于 ()A. 2iB. iC. iD. 2i【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算，化简得到，再由复数为实数，即可求解.【详解】设zbi(bR，且b0)，则 (2b)(2b)iR，2b0，解得b2，z2i.故选D.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.2.已知函数，则（）

2、A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先求导，再求，再化简得解.详解：由题得，.因为=，=1故选A.点睛：本题主要考查导数的运算和导数的定义，属于基础题.3.下列说法中正确的个数是（ ）相关系数用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，越接近于1，相关性越弱；回归直线过样本点中心；相关指数用来刻画回归的效果，越小，说明模型的拟合效果越不好.A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据相关系数的特征判断；根据线性回归方程的特征判断；根据相关指数的特征判断.【详解】线性相关关系是衡量两个变量之间线性关系强弱的量，越接近于1，这两个变量线性相关关系越强，越接近于0，线性相关关系

3、越弱，故错误； 回归直线过样本点中心，故正确；用相关指数来刻画回归的效果，越大，说明模型的拟合效果越好；越小，说明模型的拟合效果越不好，故正确.综上，说法中正确的个数是2.故选C.【点睛】本题主要考查回归分析，熟记相关系数、回归方程以及相关指数的特征即可得出结果，属于基础题型.4.已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件概率公式计算即可.详解】设事件A：答对A题，事件B：答对B题，则，.故选：B.【点睛】本题考查了条件概率的计算，属于基础题.5.如果函

4、数的导函数的图象如图所示，则以下关于函数的判断：在区间内单调递增；在区间内单调递减；在区间内单调递增；是极小值点；是极大值点其中不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用导函数的图象，判断导函数的符号，判断函数的单调区间以及函数的极值即可【详解】解：函数在区间上存在，也存在，所以不能说函数为减函数，所以不正确；函数在区间内，则函数单调递增；故不正确，函数在区间的导数为，在区间上单调递增，正确；由图象知当时，函数取得极小值，但是函数的零点在附近，故在处没有取得极小值，在附近取极小值，故不正确，时，当时，为增函数，此时函数为减函数，则函数内有极大值，是极大值点；故正确，

5、故选：【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数单调性和导数，极值和导数之间的关系，属于中档题6.经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取5件，设取得合格产品的件数为，则取得最大值时的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】随机变量，若取得最大值时,则有，求出的值.【详解】由题意，随机变量，若取得最大值时，则: 则，解得，则故选：【点睛】本题考查二项分布的性质和应用，解含组合数的不等式，考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.7.已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】函数的定义域为，根据题意可得

6、到，从而可得答案【详解】解：函数，定义域，当时，在上是增函数，不符合题意，当 时，在上，单调递增，在上，单调递减，函数在内不是单调函数，故选：D 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题意得到是关键，也是难点所在，属于中档题8.点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】将直线4x4y10平移后得直线l：4x4yb0，使直线l与曲线切于点P(x0，y0)，由x2y2ln0得y2x，直线l的斜率k2x01x0或x01(舍去)，P，所求的最短距离即为点P到直线4x4y10的距离d(1ln 2)故选B.9.现有10名学生排成一排，其中4名男生，6名

7、女生，若有且只有3名男生相邻排在一起，则不同的排法共有（ ）种A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】采用捆绑法和插空法,将3个男生看成一个整体方法数是种，再排列6个女生，最后让所有男生插孔即可.【详解】采用捆绑法和插空法；从4名男生中选择3名，进而将3个相邻的男生捆在一起，看成1个男生，方法数是种，这样与第4个男生看成是2个男生；然后6个女生任意排的方法数是种；最后在6个女生形成的7个空隙中，插入2个男生，方法数是种综上所述，不同的排法共有种.故选D.【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：按元素(或位置)的性质进行分类；按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位

8、置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组10.展开式中，常数项是（ ）A. 220B. C. 924D. 【答案】B【解析】【分析】，利用二项式定理计算得到答案.【详解】，即求分子展开式中项的系数.分子二项展开式的通项为，令，解得，此时，故原式展开后，常数项为.故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和转化能力.11.若二次函数的图象与曲线存在公共切线，则实数的取值范围为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】设公切线与、的切点

9、坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数的取值范围【详解】解：设公切线与图象切于点，与曲线切于点，因为，则，化简可得，得或，且，则，即，由得，设，则，在上递增，在上递减，（2），实数的取值范围为，故选：【点睛】本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，属于中档题12.定义在 上的函数满足 ，且对任意的 都有 （其中为的导数），则下列一定判断正确的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意构造函数，由得到，说明函数F(x)的对称轴为x1，又对任意，都有成立，得到函数F(x)在上单调递

10、增，再比较各选项中自变量的大小即可得到函数值的大小【详解】设 ，则 ，因为当 时， ，所以 ，则 在 上单调递增.因为 ，即 ，所以 ，所以 关于 对称，则，因为在上单调递增，所以，则有，所以A、B、C均错，故选D.【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握函数的性质如奇偶性、单调性、周期性、对称性等，本题还考查了构造函数的技巧，属于难题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数在处有极值，则的值是_【答案】2【解析】，函数在处有极值，即：，解得故答案为2.点睛：这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即

11、将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，如果求完导如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答14.若对两边求导，可得，通过类比推理，有，可得的值为_.【答案】35【解析】【分析】根据题目给出的方法，对两边求导，然后令，可得答案.【详解】由两边求导得： 令可得： 故答案为：35.【点睛】本题考查类比方法的推理和赋值法的应用，属于中档题.15.青春因奉献而美丽，为了响应党的十九大关于“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”精神，现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，则恰好有2名大学生分配去甲学校

12、的概率为_【答案】【解析】【分析】每个学校至少去1人，基本事件总数，恰好有2名大学生分配去甲学校包含的基本事件有，由此能求出恰好有2名大学生分配去甲学校的概率【详解】现有5名师范大学毕业生主动要求赴西部某地区甲、乙、丙三个不同的学校去支教，每个学校至少去1人，基本事件总数，恰好有2名大学生分配去甲学校包含的基本事件有，则恰好有2名大学生分配去甲学校的概率为故答案为：【点睛】本题主要考查概率的求法，考査古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题16.已知函数，若有两个不同的实数解，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】原题等价于或，即有或，则条件等价于有2解，无解；有1解

13、，有1解；无解，有2解；作出函数的图象，数形结合即可【详解】解：可化为，解得或，即有或，则方程有两个不同的实数解，等价于：有2解，无解；有1解，有1解；无解，有2解；令函数，时，即有在上单调递增，在上单调递减，（e），作出函数的图象如图：则有2解，无解，此时，此时无解，舍去；有1解，有1解，此时因为，则需，解得；无解，有2解，此时，解得，综上，故答案为：【点睛】本题考查方程的根与函数零点的关系，数形结合思想，分类讨论思想，属于中档题三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知复数的共轭复数，且.（1）求的值；（2）若过点的直线的斜率为，求直线与曲线以及轴所围成的图形

14、的面积.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）求出复数的共轭复数，代入等式，利用复数的加法运算以及复数相等即可求解.（2）利用点斜式求出直线的方程，将直线方程与曲线联立，求出交点坐标，利用定积分即可求解.【详解】（1）复数的共轭复数，且，即，解得；（2）过点的直线的斜率为，直线的方程为：；令，解得，直线与曲线的交点为；如图所示，曲线与直线以及轴所围成的图形的面积为：.【点睛】本题考查了复数的加法运算、复数相等、共轭复数、定积分求曲边梯形的面积，属于基础题.18.新冠状病毒严重威胁着人们的身体健康，我国某医疗机构为了调查新冠状病毒对我国公民的感染程度，选了某小区的位居民调查结果统计如下

15、：感染不感染合计年龄不大于岁年龄大于岁合计（1）根据已知数据，把表格数据填写完整；（2）能否在犯错误的概率不超过的前提下认为感染新冠状病与不同年龄有关？（3）已知在被调查的年龄大于岁的感染者中有名女性，其中位是女教师，现从这名女性中随机抽取人，求至多有位教师的概率附：，.【答案】（1）见解析；（2）能在犯错误的概率不超过的前提下认为感染新冠状病与不同年龄有关；（3）.【解析】【分析】（1）根据所选居民总人数为可完善列联表；（2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论；（3）计算出所有的基本事件数，并求出事件“所抽取的人中至多有名教师”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概

16、率.【详解】（1）由于所选居民总人数为，列联表如下表所示：感染不感染合计年龄不大于岁年龄大于岁合计（2） ，所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为感染新冠状病与不同年龄有关；（3）从人任意抽人的所有等可能事件共个，其中至多位教师有个基本事件，所以所求概率是【点睛】本题考查独立性检验基本思想的应用，同时也考查了古典概型概率的计算，考查组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.19.“过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗，2020年春节前夕，市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量指标（1）求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用

17、该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值服从正态分布，利用该正态分布，求落在内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺，记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于内的包数为，求的分布列和数学期望及方差附：计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为；若，则，【答案】（1）26.5；（2）0.1359；分布列见解析，数学期望为2，方差为1【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的性质能求出所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数（2）服从正态分布，且，由此能求出落在内的概率根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于内的概率为，由

18、此能求出的分布列和数学期望及方差【详解】（1）根据频率分布直方图可得各组的频率为：，的频率为：，的频率为：，的频率为：，的频率为：，的频率为：，所以所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数为：（2）服从正态分布，且，落在内的概率是0.1359根据题意得每包速冻水饺的质量指标值位于内的概率为，的可能取值分别为：0，1，2，3，4，的分布列为：01234，【点睛】本题主要考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考査频率分布直方图、正态分布、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题20.已知函数.（）讨论的单调性；（）若，求的取值范围.【答案】（）的单调

19、递减区间是，单调递增区间是.（）【解析】试题分析：（）函数求导，定义域为，由，可得或进而讨论导函数的正负得函数单调性即可；（）若恒成立，只需即可，讨论函数单调性求最值即可.试题解析：（）函数的定义域为，.由，可得或，当时，在上恒成立，所以的单调递增区间是，没有单调递减区间；当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是.当时，的变化情况如下表：所以的单调递减区间是，单调递增区间是. （）由（）知，当时，符合题意.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即，所以，所以.当时，的单调递减区间是，单调递增区间是，所以恒成立等价于，即.所以，所以.综上所述，实数的取值范

20、围是.点睛：导数问题经常会遇见恒成立问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .21.某种机器需要同时装配两个部件才能正常运行，且两个部件互不影响，部件有两个等级：一等品售价5千元，使用寿命为5个月或6个月（概率均为；二等品售价2千元，使用寿命为2个月或3个月（概率均为（1）若从4件一等品和2件二等品共6件部件中任取2件装入机器内，求机器可运行时间不少于3个月的概率（2）现有两种购置部件的方案，方案甲：购置2件一等品；方案乙：购置1件一等品和2件

21、二等品，试从性价比（即机器正常运行时间与购置部件的成本之比）角度考虑，选择哪一种方案更实惠【答案】（1）；（2）方案乙更实惠【解析】分析】（1）由题意知机器运行时间不少于3个月，共有三种可能：第一，取到2个一等品，第二，取到1个一等品，1个二等品，且二等品的使用寿命为3个月，第三，取到2个二等品，且二者使用寿命均为3个月，由此利用互斥事件概率乘法公式能求出机器可运行时间不少于3个月的概率（2）若采用甲方案，则机器正常运行的时间为（单位：月），则的可能取值为5，6，求出相应的概率，从而求出，进而求出它与成本价之比；若采用方案乙，两个二等品的使用寿命之和（单位：月），的可能取值为4，5，6，分别求

22、出相应的概率，记为一等品的使用寿命（单位：月），此时机器的正常运用时间为，则的可能取值为4，5，6，分别求出相应的概率，从而求出的分布列，进而求出它与成本价之比由此从性价比角度考虑，方案乙更实惠【详解】解：（1）由题意知机器运行时间不少于3个月，共有三种可能：第一，取到2个一等品，对应概率为，第二，取到1个一等品，1个二等品，且二等品的使用寿命为3个月，对应概率为，第三，取到2个二等品，且二者使用寿命均为3个月，对应概率为：，机器可运行时间不少于3个月的概率（2）若采用甲方案，则机器正常运行的时间为（单位：月），则的可能取值为5，6，则的分布列为：56，它与成本价之比为，若采用方案乙，两个二等

23、品的使用寿命之和（单位：月），的可能取值为4，5，6，则的分布列为：456记为一等品的使用寿命（单位：月），此时机器的正常运用时间为，则的可能取值为4，5，6，的分布列为：456，它与成本价之比为，从性价比角度考虑，方案乙更实惠【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法及应用，考査互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22.已知函数.（1）讨论的导函数零点的个数；（2）若的最小值为,求的取值范围.【答案】（1）当或时,只有一个零点；当或时,有两个零点；（2）【解析】【分析】(1)求导因式分解可得,再分析导函数中的单调性,进而根据函数零点的大小关系

24、判断零点的个数即可.(2)根据(1)中所得的单调性,分与两种情况讨论,分析函数的极值点所在的区间,结合函数的单调性分析是否满足最小值为即可.【详解】解：（1）的定义域为,令,解得或,令,则,故在上单调递增.故.又当时.故当或时,只有一个零点；当或时,有两个零点.（2）当时,所以在上单调递减,在上单调递增,则在处取得最小值,符合题意.当时,则在上单调递增,则必存在正数使得.若,则,在和上单调递增,在上单调递减,又,故不符合题意若,则,所以,在上单调递增,又,故不符合题意.若,则,在和上单调递增,在上单调递减,当,时,与的最小值为矛盾.综上,取值范围为.【点睛】本题主要考查了分类讨论含参函数的单调区间以及零点的问题,同时也考查了根据函数的最值求解参数范围的问题.需要根据题意确定极值点的值或满足的关系式,再分析极值点的大小关系,进而求得函数的单调区间以及最值进行分析.属于难题.