山东省青岛市2012届高三第二次模拟试题 理科数学试题（2012青岛二模解析）.doc

1、高三自评试题 数学（理科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟注意事项：1答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上2第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答案不能答在试题卷上3第卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带不按以上要求作答的答案无效参考公式：锥体的体积公

2、式为：,其中为锥体的底面积，为锥体的高.第卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合,如果,则等于 A B C或 D【答案】C【解析】,因为，所以或，选C.2设复数(其中为虚数单位)，则的虚部为A B C D 【答案】D【解析】，所以，所以，所以虚部为2，选D.3“”是“对任意的实数,成立”的A充分必要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既非充分也非必要条件【答案】B【解析】因为，所以，根据不等式的几何意义可知，在数轴上点到点和的距离之和，则，所以当时，有，所以不等式成立，此时为充分条件，要使恒成立

3、，即恒成立，则有，即，综上，是成立的充分不必要条件，选B.4已知函数，则的值是A B C D【答案】A【解析】，所以，因为，所以，所以，选A.5设,是两条不同的直线, ,是三个不同的平面有下列四个命题：若，则；若，则； 若，则； 若，则其中错误命题的序号是A B C D【答案】B【解析】根据线面垂直的性质和判断可知，正确，错误的为，选B.6执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则图中判断框内处应填A B C D【答案】B【解析】第一次运算为，第二次运算为，第三次运算为，第四次运算为，第五次运算不满足条件，输出，所以，选B.7函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为

4、该等比数列的公比的数是A B C D 【答案】D【解析】函数等价为，表示为圆心在半径为3的上半圆，圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列，则最大的公比应有，即，最小的公比应满足，所以，所以公比的取值范围为，所以选D.8以下正确命题的个数为命题“存在，”的否定是：“不存在，”；函数的零点在区间内； 已知随机变量服从正态分布，则； 函数的图象的切线的斜率的最大值是；线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.AB CD【答案】C【解析】命题的否定为“任意的，”，所以不正确；因为，又，所以函数的零点在区间，所以正确；根据正态发布的对称性可知,而，所以，正确；函数的导数为，当

5、且仅当，即时取等号，所以正确；线性回归直线恒过样本中心，但不一定过样本点，所以不正确，综上正确的为有3个，选C.9设，则二项式展开式中不含项的系数和是A B C D【答案】C【解析】，所以，二项式为，展开式的通项为，令，即，所以，所以的系数为，令，得所有项的系数和为，所以不含项的系数和为，选C.10已知函数，那么下面命题中真命题的序号是的最大值为 的最小值为在上是增函数 在上是增函数A B CD【答案】A【解析】因为，所以。函数的导数为，由，解得，又因为，所以，此时函数单调递增，由，解得，又因为，所以，此时函数单调递减，所以正确，选A.11一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，

6、则这个几何体的 A.外接球的半径为 B.体积为 C.表面积为 D.外接球的表面积为【答案】D【解析】由三视图可知，这是侧面,高的三棱锥，,所以三棱锥的体积为，设外接球的圆心为O半径为，则，在直角三角形中，,即，整理得，解得半径，所以外接球的表面积为，选D.12已知直线与抛物线相交于、两点，为抛物线的焦点，若,则= A B C D 【答案】A【解析】设,直线过定点，,根据抛物线的定义可知B为AC的中点，所以，由，得，所以直线斜率，选A.第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13若则 .【答案】【解析】。14已知直线与圆交于、两点，且，其中为坐标原点，则正实数的

7、值为 .【答案】【解析】因为，所以,即三角形为直角三角形，所以,所以圆心到直线的距离为，又，所以。15设、满足约束条件，则目标函数的最大值为 .【答案】【解析】目标函数几何意义为区域内动点P到原点的距离的平方，做出图象如图，由图象可知当点P在C点时到原点的距离最大，由，得此时C点坐标为，所以。16已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示. 下列关于的命题：函数的极大值点为，；函数在上是减函数；如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；当时，函数有个零点；函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个其中正确命题的序号是 【答案】【解析】由导数图象可知，当或时，函数单调递增，当或，

8、函数单调递减，当和，函数取得极大值，当时，函数取得极小值,所以正确；正确；因为在当和，函数取得极大值，要使当函数的最大值是4，当，所以的最大值为5，所以不正确；由知，因为极小值未知，所以无法判断函数有几个零点，所以不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分或两种情况，由图象知，函数和的交点个数有0,1,2，3,4等不同情形，所以正确，综上正确的命题序号为。第卷三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）已知向量，设函数,若函数的图象与的图象关于坐标原点对称.（）求函数

9、在区间上的最大值,并求出此时的值；（）在中，分别是角的对边，为锐角,若，的面积为，求边的长18（本小题满分12分）如图，在多面体中，四边形是正方形，.（）求证：面；（）求二面角的余弦值的大小.19（本小题满分12分）甲居住在城镇的处，准备开车到单位处上班，若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图（例如，算作两个路段：路段发生堵车事件的概率为，路段发生堵车事件的概率为，且甲在每个路段只能按箭头指的方向前进）(）请你为其选择一条由到的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（）若记路线中遇到堵车次数为随机变量，求的分布列及20（本小题满分1

10、2分）已知集合,，设是等差数列的前项和,若的任一项,且首项是中的最大数, .（）求数列的通项公式;（）若数列满足，令，试比较与的大小.21（本小题满分12分）已知函数.（）求函数的极大值；（）令（为实常数），试判断函数的单调性；（）若对任意，不等式均成立，求实数的取值范围. 22（本小题满分14分）已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为坐标原点，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中：（）求的标准方程；（）请问是否存在直线同时满足条件：()过的焦点；()与交于不同两点、，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由（）已知椭圆的左顶点为，过作两条互相垂直的弦、分别另交椭

11、圆于、两点当直线的斜率变化时，直线是否过轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标;若不过定点，请说明理由高三自评试题 数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分 C D B A B B D C C A D A 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13. 14. 15. 16三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）解：（）由题意得： 2分所以 3分因为，所以所以当即时，函数在区间上的最大值为. 6分（）由得：化简得：又因为，解得： 9分由题意知：，解得，又,所以故所求边

12、的长为. 12分18（本小题满分12分）解：（）取的中点，连结，四边形为平行四边形， 从而，面，面面 2分，四边形为平行四边形，且又是正方形，且故为平行四边形，面，面面 4分，面面面，面 6分（）四边形为正方形, , ， 由勾股定理可得：， ， ，面 ，由勾股定理可得：， 8分故以为原点，以为轴建立坐标系如图，则，所以，.设面的法向量为，由，令，则设面的法向量为，则则，令，则 10分所以设二面角的平面角为，所以 12分19（本小题满分12分）解：（）记路段发生堵车事件为，各路段发生堵车事件的记法与此类同.因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线中遇到堵车

13、的概率为 2分同理：路线中遇到堵车的概率为1(）=（小于） 4分路线中遇到堵车的概率为（大于）显然要使得由到的路线途中发生堵车事件的概率最小，只可能在以上三条路线中选择.因此选择路线，可使得途中发生堵车事件的概率最小 6分（）路线中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3，.所以的分布列为 9分= 12分20（本小题满分12分）解: （）根据题设可得: 集合中所有的元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列；集合中所有的元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列.由此可得,对任意的,有中的最大数为,即 2分设等差数列的公差为,则,因为, ,即由于中所有的元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列所以

14、,由，所以5分所以数列的通项公式为（） 6分（） 7分 于是确定与的大小关系等价于比较与的大小由，可猜想当时， 9分证明如下：证法1：（1）当时，由上验算可知成立.（2）假设时，则所以当时猜想也成立根据（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有当时，当时 12分证法2：当时当时，当时 12分21（本小题满分12分）解：（）, 的定义域为;由于，由,当时，；当时，.在上为增函数；在上为减函数，从而. 3分（），4分 当,即时，在上为增函数；5分当，即时，.由,（）若，则， 时，在上为增函数；7分()若，则，时，；时，在上为增函数,在上为减函数.综上可知：当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上

15、为减函数.9分（）由,而，要对任意，不等式均成立，必须：与不同时为0. 11分因当且仅当时，=0，所以为满足题意必有，即. 12分 22（本小题满分14分）解：（）设抛物线，则有，据此验证个点知、在抛物线上，易求 2分 设：，把点（2，0）（，）代入得： 方程为 4分 （）容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意；当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为,由消去，得 ， 于是 ， 7分即由，即，得将、代入（*）式，得 ，解得；所以存在直线满足条件，且的方程为：或9分（）设直线的斜率为，则：，：则化简得：此方程有一根为，同理可得11分则所以的直线方程为令，则.所以直线过轴上的一定点 14分