河北省宣化一中2021届高三上学期阶段测试（三）数学试卷 WORD版含答案.doc

1、2020-2021学年上学期宣化一中高三数学阶段测试卷（三）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知复数，则A. B. C. 1D. 32. 已知向量与的夹角为，且，则A. B. 1C. D. 23. 已知集合，则A. B. C. D. 4. “”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知正四棱锥的高为，且，则正四棱锥的侧面积为A. B. 4C. D. 6. 已知，且，则的最小值是A. 2B. 6C. 3D. 97. 德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的最初遗忘速度很快，以后逐渐减慢

2、他认为“保持和遗忘是时间的函数”他用无意义音节由若干音节字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节作为记忆材料用节省法计算保持和遗忘的数量，并根据他的实验结果绘成描述遗忘进程的曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线如图所示若一名学生背了100个英语单词，一天后，该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词，以频率代替概率，不考虑其他因素，则该学生恰有1个单词不会的概率大约为A. B. C. D. 8. 已知函数有两个极值点，则a的取值范围是A. B. C. D. 二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，则下列结论正确的是A. B. 当时，C.

3、 是图象的一条对称轴D. 在上单调递增10. 某工厂组织员工进行专业技能比赛，如图是7位评委对甲、乙两位员工评分满分10分的雷达图根据图中信息，下列说法正确的是A. 甲得分的中位数大于乙得分的中位数B. 甲得分的众数大于乙得分的众数C. 甲得分的平均数与乙得分的平均数相等D. 甲得分的极差小于乙得分的极差11. 设F是抛物线C：的焦点，直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，O为坐标原点，则下列结论正确的是A. B. C. 若点，则的最小值是3D. 的面积的最小值是212. 在正方体中，E，F分别为，CD的中点，P是上的动点，则A. 平面B. 平面截正方体的截面面积为18C. 三棱锥的体积与

4、P点的位置有关D. 过AE作正方体的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数，则_14. 在的展开式中，含项的系数为_15. 若函数的图象在内恰有一条对称轴，则的最小值是_16. 已知双曲线C：的右焦点为F，过点F的直线l：与双曲线C的右支交于点A，且与y轴交于点若的面积为，其中，O为坐标原点，则_四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求的面积问题：在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，_？18. 甲、乙是两名射击运动员，根据历史统计数据，甲一次射击命中10，9，8环的

5、概率分别为，乙一次射击命中10，9环的概率分别为，一轮射击中，甲、乙各射击一次甲、乙射击相互独立，每次射击也互不影响在一轮射击中，求甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率；记一轮射击中，甲乙命中的环数之和为X，求X的分布列；进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率19. 在如图所示的几何体中，均为等边三角形，且平面平面ABC，平面平面ABC证明：求二面角的余弦值20. 在数列中，证明：数列是等差数列；若，求数列的前n项和21. 已知点为椭圆C：上一点，且直线过椭圆C的一个焦点求椭圆C的方程直线l与椭圆C相交于A，B两点，记直线AP，BP的斜率分别为，若，直线l是否过定点？若过定点，

6、求出该定点坐标；若不过定点，说明理由22. 已知函数求的最大值；当时，恒成立，求a的取值范围答案23. 1.【答案】B24. 【解析】解：，即，则故选：B把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a与b的值，则答案可求本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题2.【答案】A25. 【解析】解：由已知可得：，则，故选：A由已知可得的模的大小，然后根据数量积公式即可求解本题考查了平面向量数量积公式的应用，属于基础题3.【答案】C26. 【解析】解：集合，故选：C求出集合M，N，由此能求出本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，

7、是基础题4.【答案】A27. 【解析】解：若，则，即，若，则，解得，故”是“”的充分不必要条件，故选：A由算出，即可知的值；再由可知，即可由二倍角公式算出，进而作出判断本题考查三角函数的诱导公式和二倍角公式，同时考查简易的逻辑关系，属于基础题5.【答案】D28. 【解析】解：设P在底面ABCD上的射影为O，则O为底面正方形ABCD的中心，取CD的中点E，连接OE，则，正四棱锥的侧面积为，故选：D利用勾股定理计算侧面三角形的高，再计算侧面积本题考查棱锥的结构特征与侧面积计算，属于基础题6.【答案】D29. 【解析】解：，且，则，当且仅当时，上式取得等号，则的最小值为9，故选：D，展开后运用基本不

8、等式即可得到所求最小值本题考查基本不等式的运用，注意乘1法和等号成立的条件，考查运算能力，属于基础题7.【答案】B30. 【解析】解：由著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线得到一天后忘记，一名学生背了100个英语单词，一天后，该学生在这100个英语单词中随机听写2个英语单词，以频率代替概率，不考虑其他因素，则该学生恰有1个单词不会的概率大约为：故选：B利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式直接求解本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8.【答案】D31. 【解析】解：，令，得，有2个极值点，故方程有2个不同的实根，即与的图

9、象有2个交点，画出函数与的图象，如图示：当即时，直线与的图象相切，由图可知当即时，与的图象有两个交点，即a的范围是，故选：D求出函数的导数，问题转化为与的图象有2个交点，从而求出a的范围即可本题考查了函数的零点问题，考查图象的交点问题，考查转化思想，数形结合思想，是一道常规题9.【答案】ABD32. 【解析】解：当时，为奇函数，即B正确；函数的简图如下，由图可知，即A正确；不是图象的对称轴，即C错误；在上单调递增，即D正确故选：ABD当时，代入的解析式中，并利用为奇函数，可求出时，的解析式，再画出函数的简图即可得解本题主要考查利用奇偶性求函数的解析式，还涉及分段函数、二次函数的图象与性质，考查

10、学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于基础题10.【答案】CD33. 【解析】解：由图可知，甲的得分为，；乙的得分为，10，甲得分的中位数为，众数为，平均数为，极差为；乙得分的中位数为，众数为，平均数为，极差为，所以选项A、B错误，选项C、D正确故选：CD根据中位数、众数、平均数和极差的概念或计算方法即可得解本题考查统计中的数字特征，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题11.【答案】ACD34. 【解析】解：，不妨设A在第一象限，若直线l无斜率，则，则，显然B错误；若直线l存在斜率，设直线l斜率为k，则直线l的方程为：，显然，联立方程组，消元得：，设，则，原点O到直线l的距离，

11、综上，故A正确，D正确，过A向准线作垂线，垂足为N，则，又在抛物线右侧，故当P，A，N三点共线时，取得最小值3，故C正确故选：ACD讨论直线l是否有斜率，分别计算和的面积或其范围，判断A，D，举特例判断B错误，根据抛物线性质和三点共线判断C本题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线的简单性质，属于中档题12.【答案】AB35. 【解析】解：对于A，以A为坐标原点建立空间坐标系，如图所示：则0，4，2，又，平面，故A正确；对于B，取过E作，则G为的中点，平面截正方体的截面为等腰梯形，由勾股定理可求得，截面梯形的高为，截面梯形的面积为，故B正确；对于C，平面，平面，平面，故不论P在的任何位置，P到

12、平面的距离都是定值，而的面积是定值，故三棱锥的体积是定值，与P点位置无关，故C错误；对于D，连接，则的中点O为正方体外接球球心，当截面最小时，AE必经过截面圆的圆心，2，4，最小截面圆的半径为，故最小截面面积为，故D错误故选：AB建立空间坐标系，利用向量数量积判断和、AE是否垂直判断A，做出截面梯形，计算面积判断B，根据平面判断C，令AE过截面圆的圆心，计算截面半径判断D本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，棱柱与球的位置关系，属于中档题13.【答案】236. 【解析】解：根据题意，函数，则，则，故答案为：2根据题意，由函数的解析式可得，进而计算可得答案本题考查函数值的计算，涉及分段函数的

13、定义和性质，属于基础题14.【答案】6037. 【解析】解：展开式的通项为，令，可得，含的项的系数是故答案为：60利用二项展开式的通项公式求出第项，令x的指数为4，即可得含的项的系数本题考查二项展开式的通项公式及二项展开式的特定项系数的求法，属于基础题15.【答案】38. 【解析】解：由已知令，解得，又，则，解得，所以令，得的最小值为，故答案为：先求出函数所有的对称轴，解出x满足已知区间，进而得出的范围，然后再给k赋值即可求解本题考查了三角函数的对称性以及最值问题，属于基础题16.【答案】39. 【解析】解：直线l：过右焦点，把代入直线l方程可得，即，故，故双曲线方程为，显然直线l与双曲线的一

14、条渐近线平行，联立方程组，解得，故A点横坐标为，故答案为：求出双曲线方程和直线方程，解出A点横坐标，利用相似比求出答案本题考查双曲线的简单性质，属于基础题17.【答案】解：选：，且，解得，由正弦定理知，解得，的面积选：，且，由正弦定理知，解得，的面积选：由正弦定理知，化简得，即，的面积40. 【解析】选：把代入，求得cosA的值，进而得sinA的值，再由正弦定理可得c，由，根据正弦的两角和公式展开后，代入数据可得sinB，最后由即可得解；选：易知，根据同角三角函数的关系式可得sinA和cosA的值，下面的过程与相同；选：由正弦定理可得，代入中，化简后求出tanA的值，下面的过程与相同本题考查解

15、三角形和三角恒等变换的综合运用，涉及正弦定理、正弦的面积公式、两角和公式，考查学生灵活运用知识的能力，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题18.【答案】解：当甲射击高于乙击中的环数时，只有一种情况：甲击中10环，且乙击中9环，这时概率为；所以甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率；甲乙命中的环数之和为随机变量X的可能值17，18，19，20，；所以随机变量X的分布列为： X 17 18 19 20P41. 甲、乙命中的环数之和低于52环，甲乙每轮之和都是17，其概率为，所以甲、乙命中的环数之和不低于52环的概率为42. 【解析】先求甲命中的环数高于乙命中的环数的概率，只有一种情况，再由对立事件的概

16、率可得甲命中的环数不高于乙命中的环数的概率；由题意可得一轮射击中，甲乙命中的环数之和为X的可能值，分别取出相对应的概率，再求分布列；由可得进行三轮射击，求甲、乙命中的环数之和低于52环的只有一种情况甲乙每轮之和都是17，由可得其概率，再由对立事件的概率可得所求的概率本题考查相互独立事件的概率及对立事件的概率，属于中档题19.【答案】证明：分别取AC、BC的中点M、N，连接MN、ME、ND，则，平面平面ABC，平面平面，平面ABC，同理可得，平面ABC，又，均为等边三角形，四边形MNDE是平行四边形，解：过M作于点O，连接BM、OB，为等边三角形，且M为AC的中点，平面平面ABC，平面平面，平面

17、ACE，故即为二面角的平面角设等边的边长为2，则，在中，故二面角的余弦值为43. 【解析】分别取AC、BC的中点M、N，连接MN、ME、ND，由面面垂直的性质定理可推出，平面ABC，平面ABC，进而得；易知，有，故四边形MNDE是平行四边形，而，得证；过M作于点O，连接BM、OB，则，由平面平面ABC，知平面ACE，故即为所求，设等边的边长为2，求出BM和OM的长后，在中，由即可得解本题考查空间中线与面的位置关系，熟练掌握线面、面面垂直的判定定理与性质定理，以及理解二面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题20.【答案】解：证明：，可得，则数列是首项为2

18、，公差为3的等差数列；由可得，即有，则前n项和44. 【解析】将已知等式两边同除以，运用等差数列的定义即可得证；由等差数列的通项公式可得，求得，再由数列的裂项相消求和，计算可得所求和本题考查等差数列的定义和通项公式，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题21.【答案】解：由椭圆的方程可得，焦点在x轴上，点在椭圆上，所以，又因为直线过椭圆C的一个焦点令，所以，即，而，所以椭圆C的方程：；恒过定点，证明过程如下：当直线l的斜率不为0时，设直线，设，将直线l的方程与椭圆联立整理可得：，即，因为，而，所以可得，所以直线l的方程为，即，当，即直线过；当直线l的斜率为0时，设直线l的方

19、程，设，设，将，代入椭圆的方程可得，则，所以，所以，因为，所以，解得，即直线AB的方程为：；也在直线，综上所述：直线l恒过45. 【解析】由题意可得，由直线可得焦点的坐标，即c的值，由a，b，c的关系求出a的值，进而求出椭圆的方程；讨论直线l的斜率为0和不为0的情况，设直线l的方程，与椭圆方程联立求出两根之和及两根之积，求出直线AP，BP的斜率之和，由题意可得参数的关系，可得直线l恒过定点本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题22.【答案】解：，令，故，注意到，故当时，即；当时，即，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为，故；由得：时，故，当时，恒成立，即在恒成立，而，故只需求出在的最小值即可，而在恒成立，故，故46. 【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；问题转化为在恒成立，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题