山西省大同市第一中学2020届高三数学下学期2月命制试题 理（含解析）.doc

1、山西省大同市第一中学2020届高三数学下学期2月命制试题 理（含解析）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数定义域要求和一元二次不等式解法求得集合，进而由交集定义求得结果.【详解】，.故选：.【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，涉及到函数定义域和一元二次方程的求解问题，属于基础题.2.已知复数满足若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数除法运算求得复数，根据模长定义构造方程求得结果.【详解】，解得：.故选：.【点睛】

2、本题考查根据复数的模长求解参数值的问题，涉及到复数的除法运算，属于基础题.3.函数的图象大致为（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。【详解】解：函数的定义域为，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当时，排除A，当时，排除C，故选：D.【点睛】本题通过判断函数图像考查函数的基本性质，属于基础题。4.已知函数是上的奇函数当时，且，若，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性可求得在时的解析式，由此可确定的单调性，利用单调性可将所求不等式化为，解一元二次不等式求得结果.【

3、详解】当时，为上的奇函数，在上单调递增，在上单调递增，且当时，在上单调递增，由得：，即，解得：，实数的取值范围为.故选：.【点睛】本题考查利用函数单调性求解函数不等式的问题，涉及到利用奇偶性求对称区间解析式、函数单调性的判断、一元二次不等式的求解等知识；关键是能够利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系.5.已知展开式中含项的系数为，则正实数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二项式定理可确定展开式的通项，由此可确定含的项分别对应的的取值，进而确定系数.【详解】展开式的通项公式为：.展开式中含的项的系数为：，解得：或.为正实数，.故选：.【点睛】本题考查

4、利用二项式定理求解指定项的系数，关键是能够熟练掌握二项展开式的通项.6.函数的部分图象如图所示若对任意，恒成立，则实数的最大负值为（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数图象可确定，由此确定，利用可求得，从而得到解析式；由的对称轴为，采用整体对应的方式可确定的取值，进而确定的最大负值.【详解】由图象可知：，解得：.，解得：，又，.，关于直线对称，解得：，则当时，取得最大负数，此时.故选：.【点睛】本题考查根据正弦型函数的对称轴确定参数值的问题，关键是能够熟练掌握利用图象求解正弦型函数解析式的方法，进而采用整体对应的方式利用正弦函数的对称轴构造方程.7.如图所示的程序框图是

5、为了求出满足的最小偶数，那么在空白框中填入及最后输出的值分别是（ ）A 和6B. 和6C. 和8D. 和8【答案】D【解析】空白框中n依次加2可保证其为偶数，排除A，C时，时，所以D选项满足要求故选D8.在平面直角坐标系中，当三点共线时，的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示可求得，根据数量积的坐标运算可知所求数量积为，由二次函数性质可得结果.【详解】由题意得：，三点共线，即，即的最小值为.故选：.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及到向量共线的坐标表示和数量积的坐标运算形式，属于基础题.9.已知双曲线的右顶点、右焦点分别是，焦距是，过点作

6、轴的垂线与双曲线相交于两点，过点作直线的垂线交轴于点.若点到直线的距离不大于，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由直线方程与双曲线方程联立可得坐标，从而求得；由垂直关系可确定，进而得到直线方程，并求得点坐标；根据到直线距离可构造关于的齐次不等式，进而求得离心率的取值范围.【详解】由题意得：，直线为，由得：，则可设，则，直线方程为：，令，解得：，即，到直线的距离为，整理可得：，即，解得：（舍）或，.故选：.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，涉及到两条直线垂直的位置关系的应用；关键是能够利用点到直线的距离构造出关于的齐次不等式，从而配

7、凑出关于离心率的不等式，解不等式求得结果.10.谢宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为谢宾斯基三角形）向图中第5个大正三角形中随机撒512粒大小均匀的细小颗粒物，则落在白色区域的细小颗粒物的数量约是（ ）A. 256B. 350C. 162D. 96【答案】B【解析】【分析】设第一个三角形的面积为，通过图形中的比例关系可确定黑色部分面积是首项为，公比为的等比数列；通过计算第五

8、个图形中黑色部分面积可确定白色部分面积；根据均匀随机数的思想可求得结果.【详解】设第一个三角形的面积为，则第二个图中黑色部分面积为，第三个图中黑色部分面积为，第四个图中黑色部分面积为，第五个图中黑色部分面积为，则第五个图中白色部分面积为，则落在白色区域的细小颗粒物的数量为：.故选：.【点睛】本题考查均匀随机数思想的应用，关键是能够通过观察得到黑色部分的面积成等比数列的特点.11.已知等边的边长为，分别为的中点，将沿折起得到四棱锥点为四棱锥的外接球球面上任意一点，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可确定当平面平面时，四棱锥的体

9、积最大；根据四棱锥外接球的性质可确定球心的位置，利用勾股定理可求得球的半径及球心到平面的距离，由此可知所求最大值为.【详解】如图，当四棱锥的体积最大时，平面平面，如图所示：为等边三角形，取的中点，则是等腰梯形外接圆圆心设是的外心，作平面，平面，则是四棱锥的外接球的球心，且，设四棱锥的外接球半径，则，解得：.又，当四棱锥的体积最大时，到平面距离的最大值为：.故选：.【点睛】本题考查立体几何中几何体外接球的相关问题的求解，关键是能够根据外接球的性质确定球心的位置，即球心必为过棱锥底面和侧面的外接圆圆心且垂直于底面和侧面的直线的交点的位置.二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分12.一年时

10、间里，某校高一学生经常利用课余时间参加社区志愿者公益活动，据统计，他们参加社区志愿者公益活动时长（单位：时）近似服从正态分布，且，该校高一学生中参加社区志愿者公益活动超过小时的人数有，估计该校高一年级学生人数为_【答案】1500【解析】【分析】由正态分布曲线对称性可求得，由频数、频率和总数的关系可求得结果.【详解】由得：，.估计该校高一年级学生人数为：人.故答案为：.【点睛】本题考查正态分布问题的求解、利用频率、频数求解总体容量的问题；关键是明确频数总数频率.13.设实数满足，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】作出可行域,观察可得,当过点时，有最小值,再联立方程组解得最优解C的坐标后,代

11、入目标函数即得.【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示；观察可知，当过点时，有最小值；联立解得 即，故的最小值为【点睛】本题考查了线性规划求最值,属中档题.14.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点若，则_【答案】【解析】【分析】设，根据可构造方程求得，利用抛物线定义可求得结果.【详解】由抛物线方程知：，准线.设，则，解得：，由抛物线定义可得：.故答案为：.【点睛】本题考查抛物线焦半径的求解问题，关键是能够利用向量共线的坐标运算构造方程求得抛物线上点的坐标，进而利用焦半径公式求得结果.15.在平面五边形中，已知，当五边形的面积时，的取值范围为_【答案】

12、1,3 5【解析】【分析】在中利用余弦定理求得，根据三角形面积公式求得；根据角度关系可知四边形为等腰梯形，设，可利用表示出，从而得到，根据的范围可构造不等式求得结果.【详解】，解得：，且，.，即四边形为等腰梯形，设，则，即，解得：或，即的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查解三角形的相关知识在平面几何中的应用问题，涉及到余弦定理和三角形面积公式的应用、一元二次不等式的求解；关键是能够利用面积桥的方式将五边形面积表示为四边形面积与三角形面积之和的形式.三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作

13、答（一）必考题：共60分16.如图，四棱柱中，平面，四边形为平行四边形，（1）若，求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接，交于点，可证得四边形为平行四边形，从而得到，根据线面平行的判定定理可证得结论；（2）在中，由余弦定理可求得，进而得到；由线面垂直的性质和判定定理可证得平面；作，可知即为所求二面角的平面角，由长度关系可求得结果.【详解】（1）证明：如图所示，连接，交于点，连接，四边形为平行四边形，平面，平面，平面.（2）解：四边形为平行四边形，.设，由余弦定理得：，解得：，又平面，平面，又平面，平面，平面作，垂足为，连接，则，为二面角的平

14、面角.，即二面角的余弦值为.【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、二面角的求解问题；求解二面角的关键是能够根据二面角平面角的定义，利用垂直关系得到二面角的平面角，进而放到直角三角形中来进行求解.17.近年来，随着国家综合国力的提升和科技的进步，截至年底，中国铁路运营里程达万千米，这个数字比年增长了倍；高铁运营里程突破万千米，占世界高铁运营里程的以上，居世界第一位如表截取了年中国高铁密度的发展情况（单位：千米/万平方千米）年份年份代码高铁密度已知高铁密度与年份代码之间满足关系式（为大于的常数）（1）根据所给数据，求关于的回归方程（精确到位）；（2）利用（1）的结论，预测到哪一年，高铁密度

15、会超过千米/万平方千米参考公式：设具有线性相关系的两个变量的一组数据为，则回归方程的系数：，参考数据：，【答案】（1）；（2）年.【解析】【分析】（1）对两边取自然对数得到，知与具有线性相关关系；利用最小二乘法可求得，进而整理得到结果；（2）根据题意可构造不等式，解不等式求得的范围，进而确定结果.【详解】（1）对两边取自然对数得：.令，则与具有线性相关关系；，关于的回归方程为：，即.（2）由（1）知：，高铁密度超过千米/万平方千米，即，即，解得：，即当时，高铁密度超过千米/万平方千米.预测年，高铁密度超过千米/万平方千米.【点睛】本题考查非线性回归方程的求解、最小二乘法求解线性回归方程、利用回

16、归方程求解实际问题；求解非线性回归方程的关键是能够通过运算进行转化，得到线性相关关系，进而利用最小二乘法求得结果.18.设函数，过点作轴的垂线交函数图象于点，以为切点作函数图象的切线交轴于点，再过作轴的垂线交函数图象于点，以此类推得点，记的横坐标为，（1）证明数列为等比数列并求出通项公式；（2）设直线与函数的图象相交于点，记（其中为坐标原点），求数列的前项和【答案】（1）证明见解析，；（2）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义可求得以点为切点的切线方程，代入可求得，由此可得数列为等比数列，根据等比数列通项公式求得结果；（2）根据向量数量积的坐标运算可求得，利用错位相减法可求得结果.【详解】

17、（1）证明：函数，以点为切点的切线方程为：，当时，即，又，数列是以为首项，为公比的等比数列,.（2）解：由题意得：，则，得：，.【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和，涉及到利用导数求解曲线在某点处的切线方程、平面向量数量积的坐标运算等知识；关键是明确在数列求和时，需要根据通项公式的形式准确选择求和方法，当通项公式为等差等比时，需采用错位相减法求和.19.已知过椭圆的四个顶点与坐标轴垂直的四条直线围成的矩形（是第一象限内的点）的面积为，且过椭圆的右焦点的倾斜角为的直线过点（1）求椭圆的标准方程（2）若射线与椭圆的交点分别为当它们的斜率之积为时，试问的面积是否为定值？

18、若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由【答案】（1）；（2）的面积为定值【解析】【分析】（1）根据矩形面积、直线斜率和椭圆关系可构造方程组求得，进而得到椭圆标准方程；（2）当直线斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，利用弦长公式求得，点到直线公式求得点到直线距离，进而表示出；根据，代入韦达定理形式化简可得，代入中化简得到；当直线斜率不存在时，可求得两点坐标，进而求得；综合两种情况可知为定值.【详解】（1）由题意得：，.直线的斜率，由得：，椭圆的标准方程为.（2）的面积为定值，理由如下：设，当直线斜率存在时，设方程为.由得：，则，即，又点到直线的距离，.，化简可得：，满足，

19、；当直线斜率不存在时，且，可设，则点的坐标分别为，此时；综上所述：的面积为定值.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中三角形面积定值问题的求解；求解定值的关键是能够将所求面积利用变量表示出来，根据变量之间的关系化简可求得定值，属于常考题型.20.已知实数，函数，（1）讨论函数的单调性；（2）若是函数的极值点，曲线在点，处的切线分别为，且在轴上的截距分别为若，求的取值范围【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）【解析】【分析】（1）求导后得；分别在和两种情况下，根据的符号可确定的单调性；（2）由极值点定义可构造方程求得，得到和；根据导数的几何意义可求得在处的

20、切线方程，进而求得；由可求得的关系，同时确定的取值范围；将化为，令，利用导数可求得的单调性，进而求得的值域即为的范围.【详解】（1）.，.当，即时，在上单调递减；当，即时，当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增.综上所述：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）是的极值点，即，解得：或（舍），此时，.方程为：，令，得：；同理可得：.，整理得：，又，则，解得：，.令，则，设，在上单调递增，又，即的取值范围为.【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、极值点的定义、导数的几何意义、利用导数求解参数的取值范围等问题；关键是能够通过构造函数的方

21、式将所求式子的范围转化为函数值域的求解问题.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑选修4-4：极坐标与参数方程（10分）21.选修4-4：极坐标与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取最大值时的值【答案】(1) 的极坐标方程为.曲线的直角坐标方程为. (2) 【解析】【分析】(1)先得到的一般方程，再由极坐标化直角

22、坐标的公式得到一般方程，将代入得，得到曲线的直角坐标方程；（2）设点、的极坐标分别为，将 分别代入曲线、极坐标方程得：，之后进行化一，可得到最值，此时，可求解.【详解】（1）由得，将代入得：，故曲线的极坐标方程为.由得，将代入得，故曲线的直角坐标方程为.（2）设点、的极坐标分别为，将 分别代入曲线、极坐标方程得：，则 ，其中为锐角，且满足，当时，取最大值，此时， 【点睛】这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t的几何意义，其中极径多数用于过极点

23、的曲线，而t的应用更广泛一些.选修4-5：不等式选讲（10分）22.已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对于恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）分别在，和上得到不等式，求解得到结果；（2）方法一：通过放缩和绝对值三角不等式得到：，则有，进而求得的范围；方法二：分别在，和的情况下得到函数的解析式；在每一段上都有，从而构造出不等式，求解得到结果.【详解】（1）当时，则或或分别解得或或不等式的解集为（2）方法一：当且仅当时取等号，解得或即的取值范围是方法二：当时，则函数在上单调递减，在上单调递增，解得；当时，最小值是，不符合题意；当时，则函数在上单调递减，在上单调递增，解得.综上所述，取值范围是【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用不等式中的恒成立求解参数范围的问题；解决恒成立问题的关键是能够将问题转化为最值与参数的关系；要注意分类讨论的思想在求解绝对值不等式问题中的应用.