2022年高考数学一轮复习 考点规范练62 离散型随机变量及其分布列（含解析）新人教A版（理）.docx

1、考点规范练62离散型随机变量及其分布列基础巩固1.袋中装有除颜色外其他完全相同的10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.若抽取的次数为,则表示“放回5个红球”事件的是()A.=4B.=5C.=6D.5答案:C解析:“放回5个红球”表示前五次都摸到黑球,第六次摸到红球,故=6.2.设某项试验的成功率为失败率的2倍,用随机变量X去描述1次试验的成功次数,则P(X=0)的值为()A.1B.12C.13D.15答案:C解析:设X的分布列为X01Pp2p即“X=0”表示试验失败,“X=1”表示试验成功,失败的概率为p,成功的概率为2p.由p+2p=1

2、,得p=13.3.从装有除颜色外其他完全相同的3个白球、4个红球的箱子中,随机取出了3个球,恰好是2个白球、1个红球的概率是()A.435B.635C.1235D.36343答案:C解析:这是一个超几何分布问题,所求概率为P=C32C41C73=1235.4.从装有除颜色外没有区别的3个黄球、3个红球、3个蓝球的袋中摸3个球,设摸出的3个球的颜色种数为随机变量X,则P(X=2)=()A.128B.928C.114D.914答案:D解析:X=2,即摸出的3个球有2种颜色,其中一种颜色的球有2个,另一种颜色的球有1个,故P(X=2)=A32C32C31C93=914,故选D.5.一个袋子中装5只球

3、,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3只,以表示取出的3只球中的最小号码,则随机变量的分布列为()A.123P131313B.1234P1101531025C.123P35310110D.123P11031035答案:C解析:随机变量的可能取值为1,2,3.当=1时,即取出的3只球中最小号码为1,则其他2只球只能在编号为2,3,4,5的4只球中任取2只,故P(=1)=C42C53=610=35;当=2时,即取出的3只球中最小号码为2,则其他2只球只能在编号为3,4,5的3只球中任取2只,故P(=2)=C32C53=310;当=3时,即取出的3只球中最小号码为3,则其他2只球只能在编号为4

4、,5的2只球中取,故P(=3)=C22C53=110.故选C.6.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量表示所选3人中女生的人数,则P(1)等于()A.15B.25C.35D.45答案:D解析:P(1)=1-P(=2)=1-C41C22C63=45.7.离散型随机变量X的分布列中的部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,yN)代替,分布列如下:X=i123456P(X=i)0.200.100.x50.100.1y0.20则P32X113等于()A.0.25B.0.35C.0.45D.0.55答案:B解析:根据分布列的性质知,随机变量X的所有取值的概率和为1,因此0.1x+0.05+

5、0.1+0.01y=0.4,即10x+y=25,由x,y是09间的自然数,可解得x=2,y=5,故P32X113=P(X=2)+P(X=3)=0.35.8.已知随机变量X的分布列为:X12345P0.10.20.40.20.1若Y=2X-3,则P(1Y5)=.答案:0.6解析:由随机变量X的分布列及Y=2X-3,可知P(1Y5)=P(2X4)=P(X=3)+P(X=4)=0.4+0.2=0.6.9.受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据

6、如下:品牌甲乙首次出现故障时间x/年0x11202轿车数量/辆2345545每辆利润/万元1231.82.9将频率视为概率,解答下列问题:(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率;(2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2,分别求X1,X2的分布列.解:(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A,则P(A)=2+350=110.(2)依题意得,X1的分布列为X1123P125350910X2的分布列为X21.82.9P11091010.一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的

7、数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与均值.(注:若三个数a,b,c满足abc,则称b为这三个数的中位数)解:(1)由古典概型的概率计算公式知所求概率为C43+C33C93=584.(2)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)=C42C51+C43C93=1742,P(X=2)=C31C41C21+C32C61+C33C93=4384,P(X=3)=C22C71C93=112,故X的分布列为X123P17424384112从而E(X)=11742+2438

8、4+3112=4728.11.某航空公司进行空乘人员的招聘,记录了前来应聘的6名男生和9名女生的身高,数据用茎叶图表示如图所示(单位:cm).应聘者获知:男性身高在区间174,182,女性身高在区间164,172的才能进入招聘的下一环节.(1)求6名男生的平均身高和9名女生身高的中位数;(2)现从能进入下一环节的应聘者中抽取2人,记X为抽取到的男生人数,求X的分布列及期望E(X).解:(1)6名男生的平均身高是176+173+178+186+180+1936=181(cm),9名女生身高的中位数为168cm.(2)能进入下一环节的男生有3人,女生有4人.故X的所有可能取值是0,1,2,则P(X

9、=0)=C42C72=27,P(X=1)=C41C31C72=47,P(X=2)=C32C72=17.所以X的分布列为X012P274717故E(X)=027+147+217=67.能力提升12.已知盒子中有除颜色外其他完全相同的4个红球、4个黄球、4个白球,且每种颜色的四个球均按A,B,C,D编号.现从中摸出4个球.(1)求恰好包含字母A,B,C,D的概率;(2)设摸出的4个球中出现的颜色种数为X,求随机变量X的分布列和均值E(X).解:(1)记“恰好包含字母A,B,C,D”为事件E,则P(E)=C31C31C31C31C124=955.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3.P(X=1

10、)=C31C124=1165,P(X=2)=C32(C41C43+C42C42+C43C41)C124=68165,P(X=3)=3C41C41C42C124=3255.随机变量X的分布列为X123P1165681653255E(X)=11165+268165+33255=8533.13.某单位组织职工开展构建绿色家园活动,在今年3月份参加义务植树活动的职工中,随机抽取M名职工为样本,得到这些职工植树的株数,根据此数据作出频数与频率统计表和频率分布直方图,如图所示.分组频数频率10,15)50.2515,20)12n20,25)mp25,30)10.05合计M1(1)求出表中m,n,M,p及图

11、中a的值;(2)单位决定对参加植树的职工进行表彰,对植树株数在区间25,30)的职工发放价值800元的奖品,对植树株数在区间20,25)的职工发放价值600元的奖品,对植树株数在区间15,20)的职工发放价值400元的奖品,对植树株数在区间10,15)的职工发放价值200元的奖品,在所取样本中,任意取出2人,并设X为此2人所获得奖品价值之差的绝对值,求X的分布列.解:(1)由题可知5M=0.25,12M=n,mM=p,又5+12+m+1=M,解得M=20,n=0.6,m=2,p=0.1,则15,20)的频率与组距之比a为0.12.(2)2人所获得奖品价值之差的绝对值可能为0元、200元、400

12、元、600元,则P(X=0)=C52+C122+C22C202=10+66+1190=77190,P(X=200)=C51C121+C121C21+C21C11C202=4395,P(X=400)=C51C21+C11C121C202=1195,P(X=600)=C51C11C202=138.所以X的分布列为X0200400600P7719043951195138高考预测14.某班同学利用国庆节进行社会实践,对25,55岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:组数分组

13、低碳族的人数占本组的频率第一组25,30)1200.6第二组30,35)195p第三组35,40)1000.5第四组40,45)a0.4第五组45,50)300.3第六组50,55150.3(1)补全频率分布直方图,并求n,a,p的值;(2)从40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动,其中选取3人作为领队,记选取的3名领队中年龄在40,45)岁的人数为X,求X的分布列和均值E(X).解:(1)第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)5=0.3,高为0.35=0.06.频率分布直方图补全如下:第一组的人数为1200.6=200,

14、频率为0.045=0.2,n=2000.2=1000.第二组的频率为0.065=0.3,故第二组的人数为10000.3=300,因此p=195300=0.65.由题意可知,第四组的频率为0.035=0.15,故第四组的人数为10000.15=150,因此a=1500.4=60.(2)40,45)岁年龄段的“低碳族”与45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为6030=21,采用分层抽样法抽取18人,40,45)岁中有12人,45,50)岁中有6人.可知随机变量X服从超几何分布,P(X=0)=C120C63C183=5204,P(X=1)=C121C62C183=1568,P(X=2)=C122C61C183=3368,P(X=3)=C123C60C183=55204.随机变量X的分布列为X0123P52041568336855204E(X)=05204+11568+23368+355204=2.