数学人教A版必修4同步优化训练：2.doc

1、2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.若e1、e2是两个互相平行的单位向量，则下列判断正确的是( )A.e1e2=1 B.e1e2=-1 C.e1e2=1 D.e1e21解析：两个平行的单位向量，当它们的方向相同时，数量积为1，当它们的方向相反时，数量积为-1.答案：C2.判断正误，并简要说明理由.a0=0；0a=0；0-=；ab=ab；若a0，则对任一非零向量b有ab0；ab=0，则a与b中至少有一个为0；a与b是两个单位向量，则a2=b2.解：上述7个命题中只有正确：对于：两个向量的数量积是一个实数，应有0a=0；对于：

2、应有0a=0；对于：由数量积定义有|ab|=|a|b|cos|a|b|，这里是a与b的夹角，只有=0或=时，才有|ab|=|a|b|；对于：若非零向量a、b垂直，则有ab=0；对于：由ab=0可知ab，可以都非零.3.已知a=3，b=6，当：ab;ab;a与b的夹角为60时，分别求ab.解：当ab时，若a与b同向，则它们的夹角=0，ab=|a|b|cos0=361=18；若a与b反向，则它们的夹角=180，ab=|a|b|cos180=36(-1)=-18.当ab时，它们的夹角=90，ab=0.当a与b的夹角是60时，有ab=|a|b|cos60=36=9.4.已知a=10，b=12，a与b的

3、夹角为120，求ab.解：由定义，ab=|a|b|cos=1012cos120=-60.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.(2006高考四川卷，理7) 如图2-4-1，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是( )图2-4-1A.， B.， C.， D.，解析：在正六边形中|P1P2|的长度设为1，则|P1P3|=,|P1P4|=2,|P1P5|=,|P1P6|=1.由数量积的计算公式，得=1cos30=,=12cos60=1，=12cos90=0,=11cos120=，为最大.答案：A2.(2006高考福建卷，理11)已知=1,=,=0,点C在AOB内，且AO

4、C=30.设=m+n(m,nR)，则等于( )A. B.3 C. D.解析：设的模长为a，则由向量加法的几何意义得 两式相除得=3.答案：B3.给出下列命题：在ABC中，若0，则ABC是锐角三角形；在ABC中，若0，则ABC是钝角三角形；ABC是直角三角形=0；ABC是斜三角形的必要不充分条件是0.其中，正确命题的序号是_.解析：利用数量积的符号，可以判断向量的夹角是锐角、直角，还是钝角.0，=-0，B是锐角，但并不能断定其余的两个角也是锐角.所以推不出ABC是锐角三角形.故命题是假命题.0，=-0.A是钝角，因而ABC是钝角三角形.故命题是真命题.ABC是直角三角形，则直角可以是A，也可以是

5、B，C.而=0仅能保证B是直角.故命题是假命题.一方面，当ABC是斜三角形时，其三个内角均不是直角，故0；另一方面，由0只能得出B不是直角，但A或C中可能有一个直角.故命题是真命题.答案：4.若向量a,b,c满足a+b+c=0，且a=3,b=1,c=4,则ab+bc+ac=_.解法一：a+b+c=0，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=0,2(ab+bc+ac)=-(a2+b2+c2)=-(|a|2+|b|2+|c|2)=-(32+12+42)=-26.ab+bc+ac=-13.解法二：根据已知条件可知|c|=|a|+|b|,c=-a-b，所以a与b同向，c与a+b反向

6、.所以有ab+bc+ac=3cos0+4cos180+12cos180=3-4-12=-13.答案：-135.已知a,b是两个非零向量，同时满足a=b=a-b，求a与a+b的夹角.解法一：根据|a|=|b|，有|a|2=|b|2，又由|b|=|a-b|，得|b|2=|a|2-2ab+|b|2，ab=|a|2.而|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=3|a|2,|a+b|=.设a与a+b的夹角为，则cos=，=30.解法二：设向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，|a|=|b|,.由|b|=|a-b|，得x1x2+y1y2=(),即ab=().由|a+b|2=2()+2()=3()，得

7、|a+b|=().设a与a+b的夹角为，则cos=，=30.解法三：根据向量加法的几何意义，在平面内任取一点O，作=a，OB=b，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB.|a|=|b|，即|=|，OACB为菱形，OC平分AOB，这时=a+b，=a-b.而|a|=|b|=|a-b|，即|=|=|.AOB为正三角形，则AOB=60，于是AOC=30，即a与a+b的夹角为30.6.若(a+b)(2a-b)，(a-2b)(2a+b)，试求a,b的夹角的余弦值.解：由(a+b)(2a-b)，(a-2b)(2a+b)有即a2=b2，|a|2=|b|2，|a|=|b|.由2a2+ab-b2=0,得ab=b2

8、-2a2=|b|2-2|a|2=|b|2-2|b|2=-|b|2，cos=.a,b的夹角的余弦值为.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知向量a，b，ab=-40，a=10，b=8，则向量a，b的夹角为( )A.60 B.-60 C.120 D.-120解析：根据公式ab=|a|b|cos，得cos=，由此可求两向量的夹角为120.答案：C2.下列命题中真命题的个数是( )ab=ab ab=0a=0或b=0 a=a a=0=0或a=0A.1 B.2 C.3 D.4解析：由向量数量积的定义，可知错误，正确.答案：B3.(2006高考陕西卷，理9)已知非零向量与满足()=0且=，则ABC为

9、( )A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形C.等腰非等边三角形 D.等边三角形解析：由()=0可知A的平分线与边BC垂直.又cosA=，所以A=.所以ABC为等边三角形.答案：D4.如图2-4-2所示，在平行四边形ABCD中，=4，=3，DAB=60.求：(1)；(2)；(3).图2-4-2解：(1)=9;(2)=-16;(3)=-6.5.设n和m是两个单位向量，其夹角是60，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.解：|m|=1，|n|=1,由夹角是60，得mn=.则有|a|=|2m+n|=.|b|=|2n-3m|=.所以ab=(2m+n)(2n-3m)=mn-6m2+2n2=，cos

10、=.所以a,b的夹角为120.6.已知向量=a，=b，AOB=60，且a=b=4.(1)求a+b,a-b；(2)求a+b与a的夹角及a-b与a的夹角.解法一：(1)|a+b|2=(a+b)2=a2+2ab+b2=|a|2+2|a|b|cos60+|b|2=42+244cos60+42=16+16+16=48,|a+b|=43.|a-b|2=(a-b)2=a2-2ab+b2=|a|2-2|a|b|cos60+|b|2=42-244cos60+42=16-16+16=16,|a-b|=4.(2)记a+b与a的夹角为，a-b与a的夹角为,则cos=,=30.cos=.=60.解法二：如图，以OA,O

11、B为邻边作平行四边形OACB.|a|=|b|=4，四边形OACB为菱形.(1)a+b=，a-b=，又AOB=60，|a+b|=|=2|=24=,a-b=|=4.(2)在OAC中，OAC=120，COA=OCA=30.a+b与a的夹角即COA=30，a-b与a的夹角即与所成的角为60.7.已知a=5，b=12，当且仅当m为何值时，向量a+mb与a-mb互相垂直?解：若向量a+mb与a-mb互相垂直，则有(a+mb)(a-mb)=0，a2-m2b2=0.|a|=5，|b|=12，a2=25,b2=144.25-144m2=0.m=.当且仅当m=时，向量a+mb与a-mb互相垂直.8.设a与b是两个互相垂直的单位向量，问当k为整数时，向量m=ka+b与向量n=a+kb的夹角能否为60？证明你的结论.解：假设夹角为60，|m|2=|ka+b|2=k2+1,|n|2=|a+kb|2=k2+1,mn=(ka+b)(a+kb)=2k,2k=cos60，即4k=k2+1.解之，得k=2，这与k为整数矛盾.m,n的夹角不能为60.