数学人教A版必修4教学设计：2.2.3数乘运算及其几何意义 WORD版含解析.doc

1、教学设计2.2.3 数乘运算及其几何意义教学分析向量的数乘运算，其实是加法运算的推广及简化，与加法、减法统称为向量的三大线性运算教学时从加法入手，引入数乘运算，充分展现了数学知识之间的内在联系实数与向量的乘积，仍然是一个向量，既有大小，也有方向特别是方向与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理共线向量定理是本章节中重要的内容，应用相当广泛，且容易出错尤其是定理的前提条件：向量a是非零向量共线向量定理的应用主要用于证明点共线或平行等几何性质，且与后续的知识有着紧密的联系三维目标1通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运

2、算律2理解两个向量共线的等价条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行3通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进取精神通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用重点难点教学重点：1.实数与向量积的意义.2.实数与向量积的运算律.3.两个向量共线的等价条件及其运用教学难点：对向量共线的等价条件的理解运用课时安排1课时导入新课思路1.前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算，这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及推广在代数运算中，aaa3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，那么相同向量的求和运算是否也有类似的简便计算

3、思路2.一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为a，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？怎样用图形表示？由此展开新课推进新课已知非零向量a，试一试作出aaa和(a)(a)(a).你能对你的探究结果作出解释，并说明它们的几何意义吗？引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？怎样理解两向量平行？与两直线平行有什么异同？活动：引导学生回顾相关知识并猜想结果，对于运算律的验证，点拨学生通过作图来进行通过学生的动手作图，让学生明确向量数乘运算的运算律及其几何意义教师要引导学生特别注意0a0，而不是0a0.这个零向量是一个特殊的向量，它似乎很不起眼，但又处处

4、存在，稍不注意就会出错，所以要引导学生正确理解和处理零向量与非零向量之间的关系实数与向量可以求积，但是不能进行加、减运算，比如a，a都无法进行向量数乘运算的运算律与实数乘法的运算律很相似，只是数乘运算的分配律有两种不同的形式：()aaa和(ab)ab，数乘运算的关键是等式两边向量的模相等，方向相同判断两个向量是否平行(共线)，实际上就是看能否找出一个实数，使得这个实数乘以其中一个向量等于另一个向量一定要切实理解两向量共线的条件，它是证明几何中的三点共线和两直线平行等问题的有效手段对问题，学生通过作图1可发现，aaa.类似数的乘法，可把aaa记作3a，即3a.显然3a的方向与a的方向相同，3a的

5、长度是a的长度的3倍，即|3a|3|a|.同样，由图1可知，图1(a)(a)(a)，即(a)(a)(a)3(a)显然3(a)的方向与a的方向相反，3(a)的长度是a的长度的3倍，这样，3(a)3a.对问题，上述过程推广后即为实数与向量的积我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，它的长度与方向规定如下：(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当|2ab| B|2a|a2b| D|2b|0时，a与a方向相同，当时，式两边向量的方向都与a的方向相同；当0且1时如图7，在平面内任取一点O作a，b，a，b，则ab，ab.图7由作法知，有OABOA1B1，|.所

6、以.所以AOBA1OB1.所以，AOBA1OB1.因此O、B、B1在同一条直线上，|，与的方向也相同所以(ab)ab.当0时，由图8可类似证明(ab)ab.图8所以式也成立二、备用习题1.(2a8b)(4a2b)等于( )A2ab B2ba Cba Dab答案：B2设两非零向量e1、e2不共线，且ke1e2与e1ke2共线，则k的值为( )A1 B1 C1 D0答案：C3若向量方程2x3(x2a)0，则向量x等于( )A.a B6a C6a Da答案：C4在ABC中，EFBC，EF交AC于F，设a，b，则用a、b表示的形式是_.答案：ab5在ABC中，M、N、P分别是AB、BC、CA边上的靠近

7、A、B、C的三等分点，O是ABC平面上的任意一点，若e1e2，则_.答案：e1e2.6已知ABC的重心为G，O为坐标原点，a，b，c，求证：(abc)答案：证明：连接AG并延长，设AG交BC于M.ba，ca，cb，(ba)(cb)(cb2a)(cb2a)a(cb2a)(abc)7对判断向量a2e与b2e是否共线？有如下解法：解：a2e，b2e，ba.a与b共线请根据本节所学的共线知识给以评析如果解法有误，请给出正确解法答案：评析：乍看上述解答，真是简单明快然而，仔细研究题目已知，却发现其解答存在问题，这是因为原题已知中对向量e并无任何限制，那么就应允许e0，而当e0时，显然，a0，b0，此时，a不符合定理中的条件，且使ba成立的值也不唯一(如1，1，2等均可使ba成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线可见，对e0的情况应用别的办法判断才妥综上分析，此题应解答如下：解：(1)当e0时，则a2e0.由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以此时a与b共线(2)当e0时，则a2e0，b2e0，ba这时满足定理中的a0，及有且只有一个实数(1)，使得ba成立a与b共线综合(1)(2)，可知a与b共线