数学人教A版选修4-5课后导练：4.2用数学归纳法证明不等式 WORD版含解析.doc

1、课后导练基础达标1利用数学归纳法证明不等式“n+1”时，由“假设n=k时命题成立”到“当n=k+1时”，正确的步骤是（ ）A.=k+2B.n3,n0为验证的第一个值，则（ ）A.n0=1B.n0为大于1小于10的某个整数C.n010D.n0=2答案：C5已知Sk=(k=1,2,3，),则Sk+1等于（ ）A.Sk+ B.Sk+C.Sk+ D.Sk+答案：C综合运用6证明不等式1+(nN).证明：1当n=1时，左边=1，右边=2.左边1,nN,证明1.证明：1当n=2时，左边=1,不等式成立;2假设当n=k(k2)时，原不等式成立，即1,则当n=k+1时,左边比n=k时增添了0(k2).故当n=

2、k+1时，不等式成立.由1，2,可知对任意nN,n1，原不等式成立.8已知不相等的正数a,b,c成等差数列，当n1且nN时，试证明an+cn2bn.证明：（1）当n=2时，a2+c22()2=2b2,即命题成立.（2）设当n=k(k2)时，有ak+ck2bk.由于a,c为正数，所以(ak-ck)与a-c同号，即（ak-ck）(a-c)0,亦即ak+1+ck+1akc+ack,ak+1+ck+1=12(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)(ak+1+ck+1+akc+ack)=(ak+ck)(a+c)=(ak+ck)b2bk+1,即n=k+1时成立.由（1）、（2）,知对于n1且nN时命题成

3、立.拓展探究9已知x10,x11且xn+1=(n=1,2,3,)，试证：数列xn或者对任意nN都满足xnxn+1.证明：由于xn+1-xn=-xn=且x10,又由题设可知对任意nN,有xn0,故xn+1-xn与1-xn2同号，于是应分x11两种情况讨论.（1）若x10.1当n=1时，1-x120成立.2假设当n=k时，1-xk20成立，则当n=k+1时，1-xk+12=1-2=0，即当n=k+1时，有1-xk+120成立.故对任意nN,都有1-xn20,对任意nN,有xn+1xn.(2)若x11，同样可证，对任意nN,1-xn20,此时有xn+11.证明：用数学归纳法.当n=3时，1,命题成立

4、.根据归纳假设，当n=k(k3)时，命题成立，即1.要证明n=k+1时，命题也成立，即1.要用来证明，事实上，对不等式两边乘以,就凑好了不等式的左边.接下来，只需证明1.因为（k+1）2k+2=(k2+2k+1)k+1(k2+2k)k+1,这就证明了式.由知对于n3,nN,命题成立.11设0a1,定义a1=1+a,an+1=+a,求证：对一切自然数n，有1an1,又a1=1+a,显然命题成立.假设当n=k时，命题成立，即1ak.要证明n=k+1时，命题也成立，即1ak+1(1-a)+a=1,同时，ak+1=+a1+a=对一切正整数n都成立；(2)令bn=（n=1,2,3）,判定bn与bn+1的

5、大小，并说明理由.证明：（1）当n=1时，a1=2,不等式成立.假设n=k时，ak成立.当n=k+1时，ak+12=ak2+22k+3+2(k+1)+1.n=k+1时，ak+1成立.综上，由数学归纳法可知an对一切正整数n成立.（2）=(1+)(1+)1.故bn+12),对一切nN*,an0,an+1=.(1)求证：an2且an+1an;(2)证明a1+a2+an0,an1.an-2=0.an2.若存在ak=2,则ak-1=2,由此可推出ak-2=2,a1=2,此与a1=a2矛盾，故an2.an+1-an=0,an+1an.(2)由题（1）得an-2=,an-2(n2).(a1-2)+(a2-2)+(an-2)(a-2)(1+)=(a-2)=2(a-2)(1-)2(a-2).a1+a2+an3，是否存在区间A,对nN*,当且仅当xA时，就有gn(x)3a-1.令g1(x)=f(x)=2x3-ax20,得x2(2x-a)0x,对于n2,gn(x)0fgn-1(x)0gn-1(x).若对nN*有gn(x)0,必须且只需g1(x)0.A=(-,).