数学人教B版必修1学案：2-3　函数的应用（Ⅰ） （1） WORD版含解析.doc

1、数学人教B必修1第二章2.3函数的应用()1会利用一次函数和二次函数及分段函数模型解决简单的实际问题2理解数学建模的过程，并不断地加强数学的应用意识1直线型的函数模型我们学过的正比例函数、一次函数等都是直线型的，它们在每个区间的变化率都一样解题时常设为：常数函数型：_，正比例型：_，一次函数型：_.当k0时后两者都是增长型函数，k的值越大增速越快如在市场经济大潮中，普遍存在着最优化问题最佳投资、最小成本等，常常归结为函数的最值问题，通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件如果一个问题中有两个变量，且这两个变量之间存在一次函数关系，则可以用一次函数模型来解决在引入自变量建立目标函数解决函数应用

2、题时，一是要注意自变量的取值范围；二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求【做一做1】据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是()Ay0.3x800(0x2 000)By0.3x1 600(0x2 000)Cy0.3x800(0x2 000)Dy0.3x1 600(0x2 000)2抛物线型的模型(二次函数模型)二次函数常设为_的形式，其图象是_，顶点坐标是_，对称轴是直线_，a0时，抛物线在对称轴左边单调_，在

3、对称轴右边单调_，在_处有最小值_，经常需要用_法求最值现在人们注重对普遍存在的诸如造价成本最低而产出利润最大、风险决策、最优化等问题的研究，透过实际问题的背景，抓住本质，挖掘隐含的数量关系，可抽象成二次函数的最值模型投物、射击、喷泉灌溉等物体运动的轨迹有某种规律，或者变量的变化具有二次函数关系时，可以通过直角坐标系由实际问题建立抛物线的数学模型，利用图象的性质解答在解决应用题时，列出函数的解析式常用的有待定系数法、归纳法及方程法(1)待定系数法：已知条件中已给出了含参数的函数关系式，或可确定函数类别，此种情形下应用待定系数法求出函数表达式中的相关参数(未知系数)的值，就可以得到确定的函数解析

4、式(2)归纳法：先让自变量x取一些特殊值，计算出相应的函数值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数解析式(3)方程法：用x表示自变量及其他相关的量，根据问题的实际意义，运用掌握的数学、物理等方面的知识，列出函数关系式，此种方法形式上和列方程解应用题相仿，故称为方程法，实际上函数关系式就是含x，y的二元方程【做一做2】某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m，两侧距地面3 m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m，如图所示，则大门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)()A6.9 m B7.0 mC7.1 m D6.8 m3分段函数模型有些实际问题，

5、在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同，此时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它，由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题中，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用(1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏(2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集(3)分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论【做一做3】已知A，B两地相距150 km.某人开汽车以每小时60 km的速度从A地到达B地，在B地停留1 h后再以每小时50 km的速度返回A地把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数表达式是()Ax60tBx60t50t

6、CxDx一、数学建模的一般步骤剖析：数学建模一般分为识模、析模、建模、解模、验模五个步骤识模就是把应用问题的外部信息与自己已有的内部经验相对照，初步判断问题解决的方向；析模就是精读问题，做到“咬文嚼字”，抓住关键词，化简、转换问题，注意已知量，发现未知量，挖掘隐含量；建模是通过数学符号化，把问题转化为数学模型的过程；解模时我们可以借助计算机等数学工具对所建模型求解；由于应用问题本身的繁杂性、开放性，根据自己理解所建立的模型也有局限性，最后要对模型的解检验，或取或舍，或重新修正模型，直到满意为止数学建模的五个环节可用框图表示如下：实际问题的解决步骤还可以用下面的口诀表述：(1)收集数据，画图提出

7、假设；(2)依托图表，理顺数量关系；(3)抓住关键，建立函数模型；(4)精确计算，求解数学问题；(5)回到实际，检验问题结果二、教材中的“思考与讨论”对例2中的“客房问题”你有什么体会？在现实问题中，有没有与它类似的问题？如果有，请举例说明剖析：“客房问题”反映的规律性在实际中有很多典例，实际归结到最后，“客房问题”是一个二次函数模型的具体应用，在现实生活中的“调价问题”与其类似，其模型为：当某类商品在销售价格为b元时，可售出a件，现欲提价，若单价每提高m元，则销售量减少n件，求提高多少元时销售的总收入最高？设将商品售价提高x个m元，则总收入为y(bxm)(axn)mnx2(ambn)xab.

8、它是一个自变量为自然数的二次函数，且其二次项系数小于零，根据二次函数的知识知它有最大值题型一 一次函数模型的应用【例1】某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有电脑6台，乙分公司有同一型号的电脑12台现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台已知甲地运往A，B两地每台电脑的运费分别是40元和30元，乙地运往A，B两地每台电脑的运费分别是80元和50元(1)设甲地调运x台至B地，该公司运往A和B两地的总运费为y元，求y关于x的函数关系式(2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？(3)求总运费最低的调运方案及最低运费分析：解答本题首先表

9、示出从甲、乙两地运至A，B两地的电脑台数，求得函数的解析式，再利用函数的单调性求出最低运费反思：通过对本题的求解，我们可得到以下启发：(1)读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质本题涉及电脑台数与运费的关系，解答的关键在于表示出运往A，B两地的电脑台数(2)设出自变量为x，函数为y，根据已知条件建立函数关系式，将实际问题数学化，注意标注自变量的取值范围，如本题中0x6且xN.(3)本题通过一次函数的解析式，利用单调性，讨论了最值问题题型二 二次函数模型的应用【例2】一位运动员在距篮下4 m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5 m时，

10、达到最大高度为3.5 m，然后准确落入篮圈已知篮圈中心到地面的距离为3.05 m.(1)建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式；(2)该运动员身高1.8 m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25 m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？分析：解决此类问题需以顶点坐标、对称轴、特殊点为突破口反思：解这类问题一般分为以下四个步骤：(1)建立适当的直角坐标系(若题目中给出，不用重建)(2)根据给定的条件，找出抛物线上已知的点，并写出坐标(3)利用已知点的坐标，求出抛物线的解析式当已知三个点的坐标时，可用一般式yax2bxc(a0)求其解析式；当已知顶点坐标为(h，k)和另外一点的坐标时，可

11、用顶点式ya(xh)2k(a0)求其解析式；当已知抛物线与x轴的两个交点坐标分别为(x1,0)，(x2,0)时，可设ya(xx1)(xx2)(a0)求其解析式(4)利用抛物线解析式求出与问题相关的点的坐标，从而使问题获解题型三 分段函数模型的应用【例3】在对口扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型残疾人企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)在甲提供的资料中有：这种消费品的进价为每件14元；该店月销售量Q(百件)与销

12、售价格P(元)之间的关系如图所示；每月需各种开支2 000元(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润余额最大？并求最大余额(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？分析：解答本题首先要仔细阅读，读懂题意，明确各种数据之间的关系式，然后建立函数关系式，解答相应问题反思：(1)本题经过了三次建模：根据月销量图建立Q与P的函数关系；建立利润余额函数；建立脱贫不等式(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以分段函数应用很广泛(3)在构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理，不漏不重题型四 易

13、错辨析【例4】如图所示，在矩形ABCD中，已知ABa，BCb(ab)，在AB，AD，CB，CD上分别截取AEAHCFCGx(x0)，设四边形EFGH的面积为y.(1)写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系式；(2)求当x为何值时，y取得最大值，最大值是多少？错解：(1)由题意，可知AEHCGF，DGHBEF，且BEDGax，BFDHbx.SAEHx2，SBFE(ax)(bx)S四边形EFGHS矩形ABCD2SAEH2SBFEabx2(ax)(bx)2x2(ab)x.即y2x2(ab)x.(2)由(1)知，y2x2(ab)x22，由二次函数的性质得，当x时，ymax.反思：对实际问题中的函

14、数解析式一定要注意自变量x要受实际问题的约束，看似一个细节失误，它将会造成严重问题，比如本题就直接造成了第(2)问的错误解法，因此大家不要因小失大1一等腰三角形的周长是20，则底边y是关于腰长x的函数，其解析式为()Ay202x(x10)By202x(x10)Cy202x(5x10)Dy202x(5x10)2某产品的成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y3 00020x0.1x2(xN且0x240)，若每件产品售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量为()A100台 B120台C150台 D180台3下表是某工厂产品的销售价格表：一次购买/件11011505110010130030

15、0以上每件价格/元3732302725某人有现金10 000元，则最多可购买这种产品_件4已知直角梯形ABCD，如图(1)所示，动点P从B点出发，由BCDA沿边运动，设点P运动的路程为x，ABP的面积为f(x)如果函数yf(x)的图象如图(2)所示，则ABC的面积为_5某工厂生产某种机器的固定成本为0.5万元，但每生产100台这样的机器需再增加可变成本0.25万元据市场调研分析，此种机器的年需求量为500台，销售的收入函数为R(x)5xx2(0x5)(函数单位：万元)，其中x是产品售出的数量(单位：百台)(1)把利润表示为年产量的函数(2)年产量为多少时，该工厂所得利润最大？答案：基础知识梳理

16、1yC(CR，C为常数)ykx(k0)ykxb(k0)【做一做1】D由题意可知总收入y(元)关于x(辆次)的函数关系式为y0.5x(2 000x)0.80.3x1 600，0x2 000.2yax2bxc(a，b，c为常数，a0)抛物线x递减递增x配方【做一做2】A可建立坐标系，设出抛物线的解析式为ya(x216)(a0)又点(3,3)在抛物线上，3a(916)a.y(x216)令x0，得y6.9.【做一做3】D如图，汽车离开A地的距离x(km)与时间t(h)之间的关系式是x典型例题领悟【例1】解：(1)设甲地调运x台到B地，则剩下(6x)台电脑调运到A地；乙地应调运(8x)台电脑至B地，运往

17、A地12(8x)(x4)台电脑(0x6，xN)，则总运费y30x40(6x)50(8x)80(x4)20x960，y20x960(xN，且0x6)(2)若使y1 000，即20x9601 000，得x2.又0x6，xN，0x2，xN.x0,1,2，即能有3种调运方案(3)y20x960是R上的增函数，又0x6，xN，当x0时，y有最小值，为960.总运费最低的调运方案为从甲地运6台到A地，从乙地运8台到B地、运4台到A地，运费最低为960元【例2】解：(1)由于抛物线的顶点是(0,3.5)，故可设其解析式为yax23.5.又由于抛物线过点(1.5,3.05)，所以a1.523.53.05，解得

18、a0.2.抛物线的解析式为y0.2x23.5.(2)当x2.5时，y2.25.球出手时，他跳离地面的高度是2.251.80.250.20(m)【例3】解：设该店月利润余额为L元，则由题设，得LQ(P14)1003 6002 000.由图，易得Q代入式，得L即L(1)当14P20时，Lmax450(元)，此时P19.5(元)；当20P26时，Lmax(元)，此时P(元)故当P19.5元时，月利润余额最大，为450元(2)设可在n年后脱贫，依题意有12n45050 00058 0000，解得n20，即最早可望在20年后脱贫【例4】错因分析：(1)中没有注意实际问题中x的取值范围(2)中没有讨论对称

19、轴与区间的关系，从根本上是由(1)中没明确定义域而造成最后的错误正解：(1)由题意可知AEHCGF，DGHBEF，且BEDGax，BFDHbx.SAEHx2，SBFE(ax)(bx)S四边形EFGHS矩形ABCD2SAEH2SBFEabx2(ax)(bx)2x2(ab)x(0xb)，即y2x2(ab)x(0xb)(2)由(1)知，y2x2(ab)x22(0xb)若0b，即ab时，ymax，此时x；若b，即0b时，函数y2x2(ab)x在(0，b上单调递增当xb时，ymax2b2(ab)babb2.随堂练习巩固1D2C由题意可得，25x3 00020x0.1x2，解得x150.3400由价格表可知，最多可购买的件数为400.416由题中图象可知|BC|4，|CD|5，|DA|5，|AB|5538.SABC8416.5解：(1)当x5时，产品能全部售出；当x5时，只能售出500台，故利润y关于年产量x之间的函数关系为yR(x)(0.50.25x)即y(2)当0x5时，y0.5x24.75x0.5，当x4.75时，ymax10.781 25(万元)当x5时，y121.2510.75(万元)，因此当年产量为475台时，该厂所得利润最大