数学北师大版必修4优化训练：2.doc

1、3.2 平面向量基本定理5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下面三种说法：一个平面内只有一对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量，其中正确的说法是（ ）A. B. C. D.解析：根据平面向量基本定理可以进行判断.平面内向量的基底不唯一,在同一平面内任何一组不共线的向量都可以作为平面内所有向量的基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,正确.答案：B2.设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，下列向量组：与；与；与；与，其中可作为这个平行四边形所在平面内表示它

2、的所有向量的基底的是（ ）A. B. C. D.解析：AD与AB不共线,DA=-BC,DABC,DA与BC共线,CA与DC不共线,OD=-OB,ODOB,OD与OB共线.由平面向量基底的概念知可构成平面内所有向量的基底.答案：B3.想一想，e1、e2不共线，e1、e2中能否有零向量？a与e1、e2的关系可能有几种情况？解析：e1、e2不共线，则e10且e20.（1）a与e1共线，则有且只有一个1，使a=1e1；（2）a与e2共线，则有且只有一个2，使a=2e2；（3）a与e1、e2都共线，则a=0；（4）a与e1、e2都不共线，a能用e1、e2表示，解法如下：与共线，则有且只有一个1，使=1e

3、1.与共线，则有且只有一个2，使=2e2，则a=+=1e1+2e2.4.如图2-3-3，已知OAB，其中=a，=b，M、N分别是边、上的点，且=a，=b.设与相交于P，用向量a、b表示.图2-3-3解：=+,=+.设=m，=n，则=+m=a+m(b-a)=(1-m)a+mb,=+n=b+n(a-b)=(1-n)b+na.a、b不共线，=a+b.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.向量、的终点A、B、C在一条直线上，且=-3.设=p,=q,=r，则下列等式成立的是( )A.r= B.r=-p+2qC.r= D.r=-q+2p解析：由=-3,得-=-3（-），即2=-+3，=+，即r=.答案

4、：A2.设一直线上三点A、B、P满足=(1),O是空间一点，则用、表示为( )A.=+ B.=+(1-)C.= D.解析：由=（1）得-=（-），即=.答案：C3.如图2-3-4，四边形ABCD为矩形，且AD=2AB,又ADE为等腰直角三角形，F为ED中点，=e1，=e2.以e1、e2为基底，表示向量、及.图2-3-4解：=e1，=e2，=e2-e1.依题意有AD=2AB=DE，且F为ED中点，四边形ABDF为平行四边形.=e2-e1，=e2.=+=e2-e1+e2=2e2-e1.4.如图2-3-5，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c，=d，试用c、d表示和.图2-

5、3-5解：设=a，=b，则由M、N分别为DC、BC的中点可得=，=.从ABN和ADM中可得a+b=d，b+a=c.解得a=(2d-c),b=(2c-d),即=(2d-c),=(2c-d).5.证明三角形的三条中线交于一点.证明：如图，令=a,=b为基底.=b-a,=a+b,=b-a.设AD与BE交于点G1，并设=,=，则有=-=,=-=,解得=,=.设AD与CF交于点G2，同理,可得=.G1与G2重合，也就是说AD、BE、CF相交于同一点.三角形的三条中线交于一点.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.e1和e2表示平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作一组基底的是( )A.

6、e1+e2和e1-e2 B.3e1-2e2和4e2-6e1C.e1+3e2和e2+3e1 D.e2和e1+e2解析：3e1-2e2=（4e2-6e1），3e1-2e2与4e2-6e1共线.答案：B2.下面关于单位向量的叙述正确的是( )A.若e是向量的单位向量，则e与同向或反向B.若e1与e2是两向量的单位向量，则e1与e2可作为平面的一组基底C.0的单位向量是0D.向量的单位向量e=解析：单位向量是指与a同向且大小为一个单位的向量，故A不正确.若e1、e2是两个单位向量，则可能反向，故B不正确.易知选D.答案：D3.已知=3（e1+e2），=e2-e1，=2e1+e2，则( )A.A、B、C

7、三点共线 B.A、B、D三点共线C.A、C、D三点共线 D.B、C、D三点共线解析：=+=-=4e1+2e2=2（2e1+e2）=2.答案：C4.在ABC中，设=m，=n，D、E是边BC上的三等分点，则=_, =_.解析：由D、E是边BC上的三等分点，可得=,=，转化为已知向量即可.答案：5.设e1、e2是两个不共线向量，若向量b=e1+e2（R）与向量a=2e1-e2共线，则=_.解析：由共线向量定理，设b=a，即e1+e2=2 e1- e2.所以解得=.答案：6.如图2-3-6，在平行四边形PQRS中，在PQ、QR、RS、SP上分别取点K、L、M、N，其中K、N分别为PQ、PS的中点，QL

8、=QR，SM=SR.设KM与LN交于A点，=a，=q，=s，试用q、s表示a.图2-3-6解法一：与共线，存在实数1，使=1.=+,K为的中点，=,=,=，=+(）=+，即=q+s.=.=+,K为的中点，=q，即=()q+1s.同样设=2，=+=+-=-=q-s,=+=+2=s+2q-=(-)s+2q.关于q、s的分解式是唯一的，=.解法二：由于N、A、L三点共线，故存在R，使=+(1-).=s,=+=+=q+s.= s+(1-)(q+s)=+(1-)q+.=(1-)q+()s.同理，由于K、A、M三点共线，故存在R，使=+(1-).=q,=+=s+,= s+(1-)(s+).=(1-)s+(

9、）q.关于q、s的分解式是唯一的，=.7.已知向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1、e2不共线.向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数、，使向量d=a+b与c共线?若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由.解：d=（2e1-3e2）+（2e1+3e2）=（2+2）e1+（-3+3）e2，如果d与c共线，则应存在实数k，使得d=kc，即（2+2）e1+（-3+3）e2=2ke1-9ke2.2+2=2k，-3+3=-9k，解得=-2.故存在这样的、，只要=-2，就能使d与c共线.8.如图2-3-7，平行四边形ABCD中，=，=.求证：A、F、E三点共线.图2-3-7证明：设=

10、a，=b，由题意，得=a，=（-）=（a-b）.又=+=b+a，=+=b+（a-b）=a+b.=（a+b）=.又直线AE与直线AF有公共点A，A、F、E三点共线.9.如图2-3-8,在ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求APPM的值.图2-3-8解:设BM=e1,CN=e2,则AM=AC+CM=-3CN-BM=-3e2-e1,BN=BC+CN=2BM+CN=2e1+e2.A、P、M和B、P、N分别共线，存在实数、使AP=AM=-3e2-e1，BP=2e1+e2故BA=BP-AP=2e1+e2-（-3e2-e1）=（2+）e1+（+3）e2而BA=BC+CA=2BM+3CN=2e1+3e2由平面向量基本定理知故=,即APPM=41.快乐时光分数略 某考生在考数学时，最后一道题不会做，他偷看到了别人的答案，但过程还是不会.快交卷时，他灵机一动，在卷子上写道：运算过程略.接着把答案抄在后面.评卷老师看后，在答案后打个“X”，接着写道：分数略.