2022版新高考数学人教A版一轮总复习集训：9-5 抛物线 专题检测 WORD版含解析.docx

1、9.5 抛物线 专题检测 教师专用题组【3 年模拟】1.(2020 四川天府名校 10 月联考,7)若抛物线 y2=2px(p0)的准线为圆 x2+y2+4x=0 的一条切线,则抛物线的方程为()A.y2=-16x B.y2=-8x C.y2=16x D.y2=8x 答案 C 抛物线 y2=2px(p0)的准线为 x=-,且准线垂直于 x 轴,圆 x2+y2+4x=0 的垂直于 x 轴的切线方程为x=-4 和 x=0,又 p0,=4,即 p=8.故抛物线的方程为 y2=16x.故选 C.2.若动点 P 与定点 F(1,1)和直线 l:3x+y-4=0 的距离相等,则动点 P 的轨迹是()A.椭

2、圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线 答案 D 因为定点 F(1,1)在直线 l:3x+y-4=0 上,所以到定点 F 的距离和到定直线 l 的距离相等的点的轨迹是直线,就是经过定点 F 与直线 l:3x+y-4=0 垂直的直线.故选 D.易错警示 定点 F 不在直线上时满足条件的点的轨迹是抛物线.3.(2018 重庆一模,6)已知抛物线 C:y=2px2经过点 M(1,2),则该抛物线的焦点到准线的距离等于()A.B.C.D.1 答案 B 因为抛物线 C:y=2px2经过点 M(1,2),所以 2=2p12,解得 p=1,则抛物线的方程为 y=2x2,即 x2=y,其焦点坐标为(),准线方程

3、为 y=-,该抛物线的焦点到准线的距离等于 ,故选 B.4.(2020 湖南张家界民族中学第二次月考,16)已知直线 y=2x+b 与抛物线 x2=4y 相切于点 A,F 是抛物线的焦点,直线 AF 交抛物线于另一点 B,则|BF|=.答案 解析 联立 消去 y 得 x2-8x-4b=0,直线 y=2x+b 与抛物线 x2=4y 相切,=64+16b=0,b=-4.由 x2-8x+16=0,得 x1=x2=4,A(4,4),又F(0,1),直线 AF 的方程为 y=x+1,与 x2=4y 联立,消去 y 得 x2-3x-4=0,x1=4,x2=-1,B(-),|BF|=yB+=+1=.5.(2

4、020 山东夏季高考模拟,15)直线 l 过抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点 F(1,0),且与 C 交于 A,B 两点,则p=,|+|=.(本题第一空 2 分,第二空 3 分)答案 2;1 解析 抛物线 y2=2px 的焦点为 F(1,0),=1,p=2.当 AB 与 x 轴垂直时,|AF|=|BF|=2,从而|+|=1;当 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的斜率为 k(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),则直线 AB 的方程为 y=k(x-1),联立 -消去 y 得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则 x1x2=1,从而|+|=+=1.综上,|+|=1.6.(2

5、017 江苏六市联考,6)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y2=4x 上一点 P 到焦点的距离为 3,则点 P 的横坐标是 .答案 2 解析 设 P(m,n),由 y2=4x 得准线方程为 x=-1,由抛物线的定义得 1+m=3,所以 m=2.7.(2018 江苏溧水高级中学高三期初模拟)已知点 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,该抛物线上位于第一象限的点 A到其准线的距离为 5,则直线 AF 的斜率为 .答案 解析 由抛物线定义得 xA+1=5,故 xA=4,又点 A 位于第一象限,因此 yA=4,又 F(1,0),从而 kAF=-=.8.(2019 江苏南通中学质检)已知点 A(

6、-2,3)在抛物线 C:y2=2px(p0)的准线上,记 C 的焦点为 F,则直线 AF 的斜率为 .答案-解析 由已知,得准线方程为 x=-2,所以 F 的坐标为(2,0).又 A(-2,3),所以直线 AF 的斜率为 -=-.9.(2018 天津南开中学第三次月考,13)已知 M 为抛物线 y2=2px(p0)上的一点,若以 M 为圆心经过原点的圆与 x轴交于另一点(2,0),且与该抛物线的准线相切,则 p 的值为 .答案 4 解析 M 为抛物线 y2=2px(p0)上的一点,以 M 为圆心经过原点的圆与 x 轴交于另一点(2,0),且与该抛物线的准线相切,抛物线 y2=2px(p0)的焦

7、点坐标为(2,0),准线方程为 x=-2,可得 =2,解得 p=4.10.(2019 江苏栟茶中学期中)顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线截直线 y=2x-4 所得的弦长|AB|=3,求此抛物线方程.解析 设所求的抛物线方程为 y2=ax(a0),A(x1,y1),B(x2,y2),把直线 y=2x-4 代入 y2=ax,得 4x2-(a+16)x+16=0,由=(a+16)2-2560,得 a0 或 a0,y0=2m,m22,则 y1+y2=4m,y1y2=4my0-8,|AB|=|y1-y2|=-,而 P 到直线 AB 的距离 d=|,SPAB=d|AB|=2|my0+2|-.又由于 m

8、=,且 m2 ,SPAB=2(2m2+2)-=4(m2+1)-=-,k2 .13.(2020贵州六盘水期末)已知抛物线y2=4x的焦点是椭圆C:+=1(ab0)的右焦点,且椭圆的离心率e=.(1)求椭圆 C 的标准方程;(2)直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 P,Q,且线段 PQ 的中点为 M(),直线 l是线段 PQ 的垂直平分线,若 l与 x 轴交于点 N(n,0),求 n 的取值范围.解析(1)抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0),所以椭圆 C 中 c=1,椭圆的离心率 e=,解得 a=,所以 b2=a2-c2=2-1=1,所以椭圆 C 的标准方程为 +y2=1.(2)由题意,将

9、y=代入椭圆方程得 +=1,解得 x=,所以-m .当直线 l 的斜率存在,且不为 0 时,设斜率为 k,设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 两式相减得 -=-(-),即-=-,因为 -=k,=,所以-=,所以 k=-m(m0),则直线 l的斜率为-=,则直线 l的方程为 y-=(x-m),将 y=0 代入,可得 0-=(x-m),解得 x=,即 n=,所以 N(),因为-m 且 m0,所以-n0)外一点 P 作抛物线的两条切线,切点为 M,N,F为抛物线的焦点,证明:(1)|PF|2=|MF|NF|;(2)PMF=FPN.证明 本题考查抛物线方程及性质;考查学生数学运算的能力和数形结

10、合的思想;考查了数学运算的核心素养.(1)设 P(x0,y0),M(x1,y1),N(x2,y2),易求得切线 PM:x1x=p(y+y1),切线 PN:x2x=p(y+y2),因为点 P 在两条切线上,所以 x1x0=p(y0+y1),x2x0=p(y0+y2).故点 M、N 均在直线 xx0=p(y+y0)上,于是 lMN:xx0=p(y+y0),联立 y2+2(-)y+=0,由根与系数的关系得 y1+y2=2(-),y1y2=,又|MF|=y1+,|NF|=y2+,所以|MF|NF|=y1y2+(y1+y2)+=+-py0+=+(-)=|PF|2.(2)由 =(-),=(-),=(-),

11、知 =x0 x1+(-)(-)=x0 x1+y0y1-(y0+y1)+=y0y1+(y0+y1)+=()().所以 cosPFM=|=|,同理 cosPFN=|,故 cosPFM=cosPFN,所以PFM=PFN,由(1)知|PF|2=|MF|NF|,所以PMFNPF,所以PMF=FPN.15.(2017 新疆乌鲁木齐二模,20)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,准线交 x 轴于点 H,过 H 作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,且|BF|=2|AF|.(1)求直线 AB 的斜率;(2)若ABF 的面积为,求抛物线的方程.解析(1)设 A(xA,yA),

12、过 A,B 两点作准线的垂线,垂足分别为 A1,B1,易知|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|,|BF|=2|AF|,|BB1|=2|AA1|,A 为 HB 的中点,又 O 是 HF 的中点,AO 是BHF 的中位线,|AO|=|BF|=|AF|,而 F(),xA=,=2p =,yA=p,A(),而 H(-),kAB=kAH=-=.(2)A 为 HB 的中点,O 是 HF 的中点,SABF=SAHF=2SAHO=2|OH|yA|=p2,p2=,p=2,抛物线的方程为 y2=4x.16.(2018 辽宁锦州模拟,21)已知抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F,直线 l:y=kx+a(a0)

13、与抛物线 C 交于 A,B 两点.(1)若直线 l 过焦点 F,且与圆 x2+(y-1)2=1 交于 D,E(其中 A,D 在 y 轴同侧),求证:|AD|BE|是定值;(2)设抛物线 C 在 A 和 B 点处的切线交于点 P,试问:y 轴上是否存在点 Q,使得四边形 APBQ 为菱形?若存在,请说明理由,并求此时直线 l 的斜率和点 Q 的坐标.解析 抛物线 C:x2=4y 的焦点为 F(0,1),设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立 x2=4y 与 y=kx+a,得 x2-4kx-4a=0,则=16(k2+a)0,且 x1+x2=4k,x1x2=-4a.(1)证明:若直线 l 过焦

14、点 F,则 a=1,则 x1+x2=4k,x1x2=-4.由条件可知圆 x2+(y-1)2=1 的圆心为 F(0,1),半径为 1,由抛物线的定义有|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,则|AD|=|AF|-1=y1,|BE|=|BF|-1=y2,|AD|BE|=y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=-4k2+4k2+1=1,(或|)即|AD|BE|为定值,定值为 1.(2)当直线 l 的斜率为 0,且 Q(0,3a)时,四边形 APBQ 为菱形.理由如下:设 Q(0,y0),由 x2=4y 有 y=x2,则 y=x,若四边形 APBQ 为菱形,则 AQ

15、BP,BQAP,则 kAQ=-=x2,kBQ=-=x1,即 y1-y0=x1x2,y2-y0=x1x2,则 y1=y2,k=0,此时直线 AB:y=kx+a=a,则 y0=-x1x2+y1=-(-4a)+a=3a.所以 Q(0,3a).17.(2019 陕西西安中学高三期中,20)已知动点 M 到点 F(1,0)的距离比 M 到定直线 x=-2 的距离小 1.(1)求点 M 的轨迹 C 的方程;(2)过点 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线 l1,l2分别交曲线 C 于点 A,B 和 M,N.设线段 AB,MN 的中点分别为 P,Q,求证:直线 PQ 恒过一个定点.解析(1)由题意可知

16、动点 M 到定点 F(1,0)的距离等于 M 到定直线 x=-1 的距离,根据抛物线的定义可知,点 M的轨迹 C 是抛物线,且 =1,抛物线方程为 y2=4x,即点 M 的轨迹 C 的方程为 y2=4x.(2)证明:设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则点 P 的坐标为().由题意可设直线 l1的方程为 y=k(x-1)(k0),由 -得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,=(2k2+4)2-4k4=16k2+160.因为直线 l1与曲线 C 交于 A,B 两点,所以 x1+x2=2+,y1+y2=k(x1+x2-2)=,所以点 P 的坐标为().由题知,直线 l2

17、的斜率为-,同理可得点 Q 的坐标为(1+2k2,-2k),当 k1 时,有 1+1+2k2,此时直线 PQ 的斜率 kPQ=-=-,所以,直线 PQ 的方程为 y+2k=-(x-1-2k2),整理得 yk2+(x-3)k-y=0.所以直线 PQ 恒过定点(3,0).当 k=1 时,直线 PQ 的方程为 x=3,也过点(3,0).所以直线 PQ 恒过定点(3,0).18.(2019 浙江名校新高考研究联盟第一次联考,21)已知抛物线 y2=2px(p0)的焦点为 F,点 M(-2,8),且|MF|=4.(1)求抛物线的方程;(2)设 A,B 是抛物线上的两点,当 F 为ABM 的垂心时,求直线

18、 AB 的方程.解析(1)由题意得|MF|=()=4,解得 p=4,所以抛物线的方程为 y2=8x.(5 分)(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2).因为 F 是ABM 的垂心,所以 MFAB,所以 kMFkAB=-1,故 kAB=,(7 分)所以设直线 AB 的方程为 x=2y+n,与 y2=8x 联立得 y2-16y-8n=0.令 0,有 n-8.y1+y2=16,y1y2=-8n.(10 分)因为 F 是ABM 的垂心,所以 MAFB.即 x1x2-2x1+2x2-4+y1y2-8y2=0,同理,x1x2-2x2+2x1-4+y1y2-8y1=0,+得 2x1x2-8+2y1y2-

19、8(y1+y2)=0.(13 分)所以 n2-8n-68=0,解得 n=42 ,又因为 n-8,所以直线 AB 的方程为 x-2y-42 =0.(15 分)19.(2018 浙江名校协作体联考,21)已知抛物线C:x2=2py(p0),且抛物线 C 在点 P(1,f(1)处的切线斜率为 .直线l 与抛物线交于不同的两点 A,B,且直线 AP 垂直于直线 BP.(1)求证:直线 l 过定点,并求出定点坐标;(2)直线 BP 交 y 轴于点 M,直线 AP 交 x 轴于点 N,求|的最大值.解析(1)证明:y=,y=x.当 x=1 时,得 =,p=2.抛物线的方程为 x2=4y.设 A(2t1,)

20、,B(2t2,),APBP,P(),kAPkBP=-=-1,t1t2+(t1+t2)+=0(*),又kAB=-=,直线 AB 的方程为 y-=(x-2t1),即 2y=(t1+t2)x-2t1t2,将(*)式代入直线 AB 的方程得(t1+t2)(x+1)+-2y=0,令 x+1=0,-2y=0,解得直线 AB 过定点(-).(2)设直线 BM 的方程为 y-=k(x-1),不妨设 k0,联立-得 x2-4kx+4k-1=0,=16k2-16k+40,根据根与系数的关系得 xB+xP=4k,xB=4k-1,由于 APBP,同理可得 xA=-1,又xN=+1,xM=0,|AP|BP|=|xP-xA|xB-xP|=()(4k-2)=-,|MP|NP|=|xP-xM|xN-xP|=,|=-=-=16(-)=-32(-)+5050,|的最大值为 50.