数学考前冲刺专练：不等式的证明.doc

1、1.已知实数，且满足， 则的最大值为（ ）A1B2 CD2.给出如下四个命题：；其中正确命题的个数是( )A1 B2 C3 D43.设a,b是两个实数,给出下列条件:a+b1； a+b=2；a+b2；a+b2；ab1，其中能推出:“a、b中至少有一个实数大于1”的条件是_.4.数列 bn 中, b1=a, b2=a2, 其中a0, 对于函数f(x)=(bn+1-bn)x3-(bn-bn-1)x (n2) 有. (1)求数列 bn 的通项公式bn; (2)若Sn=c1+c2+cn,求证: ; 求证: Sn.5.（本小题满分12分）已知数列和中，函数取得极值。 （1）求数列的通项公式；w.w.w.

2、k.s.5.u.c.o.m （2）若点的切线始终与OPn平行（O是坐标原点）。求证：当对任意都成立。6.正项数列的前n项和为Sn，q为非零常数.已知对任意正整数n, m，当时，总成立.（1）求证：数列是等比数列；（2）若互不相等的正整数n, m, k成等差数列，比较 的大小； （3）若正整数n, m, k成等差数列，求证：. 7.已知8.已知a，bR，且a+b=1求证：9.（本小题满分12分）已知，求证：.10.(1)当时，证明不等式对恒成立;（2）对于在区间中的任一个常数，问是否存在正数使得成立？如果存在，求出符合条件的一个；否说明理由. 11.（12分）求证:a4+b4+c4a2b2+b2

3、c2+c2a2.12.（12分）求证:a4+b4+c4a2b2+b2c2+c2a2.13.（本小题满分12分）某玩具厂计划每天生产A、B、C三种玩具共100个. 已知生产一个玩具A需5分钟，生产一个玩具B需7分钟，生产一个玩具C需4分钟，而且总生产时间不超过10个小时. 若每生产一个玩具A、B、C可获得的利润分别为5元、6元、3元.（I）用每天生产的玩具A的个数与玩具B的个数表示每天的利润元；（II）请你为玩具厂制定合理的生产任务分配计划，使每天的利润最大，并求最大利润.14.（本小题满分12分）某医院计划从10名医生（7男3女）中选5人组成医疗小组下乡巡诊.（I）设所选5人中女医生的人数为，

4、求的分布列及数学期望；（II）现从10名医生中的张强、李军、王刚、赵永4名男医生，李莉、孙萍2名女医生共6人中选一正二副3名组长，在张强被选中的情况下，求李莉也被选中的概率.15.本题满分12分已知a,b,m是正实数,且ab,求证: (12分)16.（本题满分12分）已知、，求证试卷答案1.A略2.B略3.略4.解析：(1) (2) ; 由可得 . 即证. 5.解析：（1）由 即公比为t的等比数列。2分w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，5分当可知，函灵敏为常量函灵敏，常量函数没有极值，不符合题意； （2）证明：由8分为递减数列，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 为递增数列当取

5、得最在值。10分12分6.证明：（1）因为对任意正整数n, m，当n m时，总成立所以当2时：，即，且也适合，又0，故当2时：（非零常数），即是等比数列（2）若，则 所以 若，则， 所以 若 若（3）若，则所以 若，则， 所以 又因为。所以。综上可知：若正整数n, m, k成等差数列，不等式 总成立(当且仅当时取“”) 略7.证明：法一 法二 ：作差法略8. 证明 即（当且仅当时，取等号）略9.要证原式成立，只需证成立，即证成立，展开得：，只需证成立，因为，时成立，所以原式成立. 12分略10.（13分）证明： （1）当时，只需证：，即需证： 令，求导数得令 则在上为增函数, 故，从而.在上为

6、减函数，则，从而式得证. 6分（2）解：将变形为 要找一个，使式成立，只需找到函数的最小值，满足即可，对求导数令得，则，取当时，; 当时，.即在时，取得最小值下面只需证明：，在时成立即可又令，对关于求导数则，从而为增函数则，从而得证于是的最小值因此可找到一个常数，使得式成立. 13分略11.证法1：a4+b4+c4-（a2b2+b2c2+c2a2）=(a4-2a2b2+b4)+( b4-2a2b2+c4)+( c4-2c2a2+a4)=(a2-b2)2+（b2-c2）2+(c2-a2)2 0，a4+b4+c4a2b2+ b2c2+ c2a2（12分）。证法2：不妨设a2b2c2,则由排序原理顺

7、序和乱序和，得a2a2+b2b2+c2c2a2b2+ b2c2+c2a2，即a4+b4+c4a2b2+ b2c2+c2a2，当且仅当a2= b2= c2时，等号成立（12分）.略12.证法1：a4+b4+c4-（a2b2+b2c2+c2a2）=(a4-2a2b2+b4)+( b4-2a2b2+c4)+( c4-2c2a2+a4)=(a2-b2)2+（b2-c2）2+(c2-a2)2 0，a4+b4+c4a2b2+ b2c2+ c2a2（12分）。证法2：不妨设a2b2c2,则由排序原理顺序和乱序和，得a2a2+b2b2+c2c2a2b2+ b2c2+c2a2，即a4+b4+c4a2b2+ b2

8、c2+c2a2，当且仅当a2= b2= c2时，等号成立（12分）.略13.解：（I）依题意，每天生产的玩具C的个数为， 所以每天的利润. .2分 （II）约束条件为： ，整理得. 5分 目标函数为. 如图所示，做出可行域. 8分 初始直线，平移初始直线经过点A时，有 最大值. 由得. 最优解为A，此时（元）. 10分 答：每天生产玩具A50个，玩具B50个，玩具C0个，这样获得的利润最大，最大利润为550元. .12分略14.解：（I）的所有可能的取值为0，1，2，3， .2分 则；. .6分 的分布列为0123. 9分 （II）记“张强被选中”为事件，“李莉也被选中”为事件， 则，所以.（亦可直接得）12分略15.证明：由a,b,m是正实数,故要证只要证a（b+m）b(a+m) 只要证ab+amab+bm只要证am0 只要证 ab, 由条件ab成立，故原不等式成立。略16.证明： ，同理：，。 略