数学（北师大版）必修一教学设计：2-5-简单的幂函数 WORD版含答案.doc

1、教学设计5简单的幂函数教学分析教材从整数指数的幂函数自然引入，给出定义后，也只是推广到其他整数指数的情况，但是要指出x为其他实数时仍有意义，留待第三章解决对于函数的奇偶性，虽然给出了一般定义，但是应该知道，教材重在从图上看出图像的对称性，着重从对称的角度应用这一性质，也就是说，对奇偶性的要求是低的，习题不需要过难，要循序渐进值得注意的是尽量用信息技术画幂函数的图像，通过它们的图像，让学生自己归纳出它们的性质三维目标1了解指数是整数的简单幂函数的概念，巩固画函数图像的方法，培养学生识图和画图的能力2会利用定义证明简单函数的奇偶性，提高学生的逻辑思维能力3了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法，

2、培养学生分析问题和解决问题的能力重点难点教学重点是幂函数的概念，奇函数和偶函数的概念教学难点是判断函数的奇偶性课时安排1课时导入新课思路1.(1)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积Sa2，这里S是a的函数(2)如果正方体的边长为a，那么正方体的体积Va3，这里V是a的函数(3)如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长aS，这里a是S的函数以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？(右边是指数式，且底数都是变量)这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给它们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？(变量在底数位置，解析式右边都是幂的

3、形式)思路2.我们已经熟悉正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，这一节课我们再学习一种新的函数幂函数，教师板书引出课题推进新课给出下列函数，yx，y，yx2，yx1，yx3，考察这些解析式的特点.根据，如果让我们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？请给出一个一般性的结论.函数yx，y的图像对称性有什么共同点？函数yx，y的解析式满足f(x)f(x)吗？函数yx2，y|x|的图像对称性有什么共同点？函数yx2，y|x|的解析式满足f(x)f(x)吗？活动：主要看函数的变量的位置和解析式的形式总结出解析式的共性后，类比前面的式子，起出一个名字画出函数yx，y的图像来观察代入函数的解析

4、式验证即可画出函数的图像来观察代入函数的解析式验证即可讨论结果：通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母来表示函数的指数，就能得到一般的式子即幂函数的定义：一般地，形如yx(xR)的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数如yx2，y，yx3等都是幂函数，幂函数与二次函数一样，都是基本初等函数函数yx，y的图像都关于原点对称一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数都满足f(x)f(x)因此有：函数f(x)是奇函数函数f(x)的图像关于原点对称

5、对定义域内任意的x，f(x)f(x)都关于y轴对称一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数都满足f(x)f(x)因此有：函数f(x)是偶函数函数f(x)的图像关于y轴对称对定义域内任意的x，f(x)f(x)当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性在图1中，只画出了函数图像的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法的依据图1讨论结果：函数yx1，yx3是奇函数，其图像关于原点对称；函数yx21，yx4是偶函数，其图像关于y轴对称则这些函数图像的另一半如图2所示图2在研究函数时，如果知道其图像具有关于y轴或原点对称的特点，那么我们可以先研究它的一半，再利用对称性了解另一半，从而减少

6、了工作量思路1例1 画出函数f(x)x3的图像，讨论其单调性活动：学生思考描点法画函数图像的步骤和函数单调性的几何意义解：先列出x，y的对应值表(如下表)，再用描点法画出图像，如图3.x21012y81018图3从图像上看出，yx3是R上的增函数点评：本题主要考查描点法画函数的图像，以及应用图像讨论函数单调性的能力变式训练画出幂函数yx的图像，并讨论其单调性答案：幂函数yx的图像如图4所示图4从图像看出，函数y在0，)上是增函数.例2 判断f(x)2x3和g(x)x42 的奇偶性分析：根据函数奇偶性的定义来判断解：因为在R上，f(x)2x3，f(x)2(x)32x3，所以f(x)f(x)于是f

7、(x)是奇函数，而g(x)x42，g(x)(x)42x42，所以g(x)g(x)于是g(x)是偶函数点评：本题主要考查函数的奇偶性及其判断方法判断函数奇偶性的方法：(1)定义法，其步骤是：求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(x)与f(x)或f(x)是否相等；当f(x)f(x)时，此函数是偶函数；当f(x)f(x)时，此函数是奇函数；当f(x)f(x)且f(x)f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；当f(x)f(x)且f(x)f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数(2)图像法：如果函数的图像关于原点对称，那么这个函数是

8、奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，那么这个函数是偶函数；如果函数的图像关于原点和y轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果函数的图像关于原点和y轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数注意：分段函数的奇偶性要分段判断变式训练1判断下列函数的奇偶性(1)f(x)；(2)f(x)x32x.解：(1)函数的定义域为x|x1，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数(2)函数的定义域为R，f(x)(x)32(x)2xx3f(x)，所以f(x)是奇函数2已知函数f(x)是定义在(，)上的偶函数当x(，0)时，f(x)xx4，则当x(0，)时，f(x)_.解析：利用偶函数的性

9、质f(x)f(x)求解当x(0，)时，则x0.又当x(，0)时，f(x)xx4，f(x)f(x)(x)(x)4xx4.答案：xx43设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()Af(x)f(x)是奇函数Bf(x)|f(x)|是奇函数Cf(x)f(x)是偶函数 Df(x)f(x)是偶函数解析：各个选项中函数的定义域都是R.A中设F(x)f(x)f(x)，则F(x)f(x)f(x)F(x)，即函数F(x)f(x)f(x)为偶函数；B中设F(x)f(x)| f(x)|，则F(x)f(x)|f(x)|，此时F(x)与F(x)的关系不能确定，即函数F(x)f(x)|f(x)|的奇偶性不确定；C中设

10、F(x)f(x)f(x)，F(x)f(x)f(x)F(x)，即函数F(x)f(x)f(x)为奇函数；D中设F(x)f(x)f(x)，F(x)f(x)f(x)F(x)，即函数F(x)f(x)f(x)为偶函数答案：D思路2例1 已知函数f(x)的定义域是x0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且当x1时f(x)0，f(2)1.(1)求证：f(x)是偶函数；(2)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(3)试比较f与f的大小分析：解决此类问题的关键是利用好条件中的函数性质等式(1)利用赋值法证明f(x)f(x)；(2)利用定义法证明单调性；(3)利用函数的单调

11、性比较它们的大小解：(1)函数的定义域是x0.令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.令x1x21，得f(1)f(1)(1)f(1)f(1)，2f(1)0.f(1)0.f(x)f(1x)f(1)f(x)f(x)f(x)是偶函数(2)设0x1x2，则f(x2)f(x1)ff(x1)f(x1)ff(x1)f，x2x10，1.f0，即f(x2)f(x1)0.f(x2)f(x1)，即f(x1)f(x2)f(x)在(0，)上是增函数(3)由(1)知f(x)是偶函数，则有ff，由(2)知f(x)在(0，)上是增函数，则ff，ff.点评：本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用判

12、断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较其关键是将所给的关系等式进行有效的变形和恰当的赋值变式训练1函数yf(x)是偶函数，且在(，0上为减函数，试比较f与f(2a2a1)的大小分析：用函数的单调性比较大小，但需注意在函数的同一单调区间上进行解：2a2a122，(2a2a1)0.而函数yf(x)在(，0上为减函数，f(2a2a1)f.又yf(x)是偶函数，f(2a2a1)f(2a2a1)f(2a2a1)f.2.已知f(x)是定义在(，)上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y, f(x)都满足f(xy)yf(x)xf(y)(1)求f(1)

13、，f(1)的值；(2)判断f (x)的奇偶性，并说明理由分析：(1)利用赋值法，令xy1，得f(1)的值，令xy1，得f(1)的值；(2)利用定义法证明f (x)是奇函数，要借助于赋值法，得f(x)f(x)解：(1)f(x)对任意x，y都有f(xy)yf(x)xf(y)，令xy1时，有f(11)1f(1)1f(1)，f (1)0; 令xy1时，有f(1)(1)(1)f(1)(1)f(1)f (1)0. (2)f(x)对任意x，y都有f(xy)yf(x)xf(y)，令y1，有f(x)f(x)xf(1) .将f(1)0代入，得f(x)f(x), 函数f(x)是(，)上的奇函数.1下列命题中正确的是

14、()A当0时，函数yx的图像是一条直线B幂函数的图像都经过(0,0)，(1,1)两点C若幂函数yx的图像关于原点对称，则yx在定义域内y随x的增大而增大D幂函数的图像不可能在第四象限解析：当0时，函数yx的定义域为x|x0，xR，其图像为两条射线，故A不正确；当0时，函数yx的图像不过(0,0)点，故B不正确；幂函数yx1的图像关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；当x0，R时，yx0，则幂函数的图像都不在第四象限答案：D 2下列函数中不是幂函数的是()AyByx3Cy2xDyx1解析：根据幂函数的定义：形如yx的函数称为幂函数，可知C不是幂函数答案：C3下列函数是偶函数且在(，

15、0)上为减函数的是()Ayx Byx2 Cyx3 Dyx2解析：函数yx和yx3是奇函数，排除A，C；函数yx2和yx2都是偶函数，由幂函数的性质可知，yx2在(，0)上为增函数，函数yx2在(，0)上为减函数答案：B 4下列图像表示具有奇偶性的函数可能是()图5解析：图像关于原点或y轴对称的函数具有奇偶性A，D中的图形关于原点和y轴均不对称，排除A，D；C中的图形虽然关于原点对称，但是过(0，1)和(0,1)两点，这说明当x0时，y1，这不符合函数的定义，不是函数的图像，排除C；B中图形关于y轴对称答案：B5函数g(x)是()A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D既不是奇函数又不是偶函

16、数解析：先验证函数定义域的对称性，再考察f(x)是否等于f(x)或f(x)当x0时，x0，于是g(x)(x)21g(x)，当x0时，x0，于是g(x)(x)21x21g(x)，综上可知，g(x)是奇函数答案：A6若奇函数f(x)在区间3,7上递增且最小值为5，则f(x)在7，3上为()A增函数且最小值为5 B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5 D减函数且最大值为5解析：由题意得f(3)5.由奇函数在y轴两侧对称区间内的单调性相同，排除C，D；f(x)在7，3上是增函数，则此时最大值是f(3)f(3)5，排除A.答案：B7幂函数yx1和yx，直线y1和x1将平面直角坐标系第一象限分成八个“卦

17、限”：，(如图6所示)，那么幂函数yx的图像在第一象限中经过的“卦限”是()图6A， B，C， D，解析：幂函数yx的指数小于0，其图像在第一象限内不过，卦限，1，在直线x1的右边，幂函数yx的图像在yx1的下边，即过，卦限答案：D8设函数yf(x)是奇函数若f(2)f(1)3f(1)f(2)3，则f(1)f(2)_.解析：函数yf(x)是奇函数，f(2)f(2)，f(1)f(1)f(2)f(1)3f(1)f(2)3.2f(1)f(2)6.f(1)f(2)3.答案：3怎样判断分段函数的奇偶性？探究：理解分段函数与函数奇偶性的含义，通常利用定义法判断分段函数的奇偶性在函数定义域内，对自变量x的不

18、同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫作分段函数分段函数不是几个函数，而是一个函数因此其判断方法也是先考察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f(x)与f(x)的关系首先要特别注意x与x的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f(x)与f(x)对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较例如：判断函数f(x)的奇偶性解：定义域是(，0(0，)R.当x0时，有f(x)x(x1)，x0，f(x)(x)(x1)x(x1)f(x)当x0时，f(x)x(x1)，x0，f(x)x(x1)x(x1)f(x)当x0时，f(0)0，f(0)0f(0)综上所得，对xR，总有f(x)f(x)成立

19、f(x)是奇函数1幂函数的概念2函数的奇偶性习题25A组1,2,3.幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了二次函数之后的又一类基本的初等函数学生已经有了学习二次函数的图像和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图像和性质的研究便水到渠成因此，在本节教学设计过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习函数对称性的探究函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美本文拟

20、通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质一、函数自身的对称性探究定理1.函数yf(x)的图像关于点A(a，b)对称的充要条件是f(x)f(2ax)2b.证明：(必要性)设点P(x，y)是yf(x)图像上任一点，点P(x，y)关于点A(a，b)的对称点P(2ax,2by)也在yf(x)图像上，2byf(2ax)，即yf(2ax)2b.故f(x)f(2ax)2b，必要性得证(充分性)设点P(x，y)是yf(x)图像上任一点，则yf(x)f(x)f(2ax)2b，2bf(x)f(2ax)，即2byf(2ax)故点P(2ax,2by)也在yf(x)图像上，又点P与

21、点P关于点A(a，b)对称，充分性得证推论：函数yf(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)f(x)0.定理2.函数yf(x)的图像关于直线xa对称的充要条件是f(ax)f(ax)，即f(x)f(2ax)(证明留给读者)推论：函数yf(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)f(x)定理3.若函数yf(x)图像同时关于点A(a，c)和点B(b，c)成中心对称(ab)，则yf(x)是周期函数，且2|ab|是其一个周期若函数yf(x)图像同时关于直线xa和直线xb成轴对称(ab)，则yf(x)是周期函数，且2|ab|是其一个周期若函数yf(x)图像既关于点A(a，c)成中心对称又关于直线x

22、b成轴对称(ab)，则yf(x)是周期函数，且4|ab|是其一个周期的证明留给读者，以下给出的证明：函数yf(x)图像关于点A(a，c)成中心对称，f(x)f(2ax)2c，用2bx代x，得f(2bx)f2a(2bx)2c.(*)又函数yf(x)图像关于直线xb成轴对称，f(2bx)f(x)，代入(*)，得f(x)2cf2(ab)x，(*)用2(ab)x代x，得f2(ab)x2cf4(ab)x，代入(*)，得f(x)f4(ab)x，故yf(x)是周期函数，且4|ab|是其一个周期二、不同函数对称性的探究定理4.函数yf(x)与y2bf(2ax)的图像关于点A(a，b)成中心对称定理5.函数yf

23、(x)与y f(2ax)的图像关于直线xa成轴对称函数yf(x)与axf(ay)的图像关于直线xya成轴对称函数yf(x)与xaf(ya)的图像关于直线xya成轴对称定理4与定理5中的证明留给读者，现证定理5中的.设点P(x0，y0)是yf(x)图像上任一点，则y0f(x0)记点P( x，y)关于直线xya的轴对称点为P(x1，y1)，则x1ay0，y1x0a.x0ay1，y0x1a，代入y0f (x0)之中，得x1af(ay1)，点P(x1，y1)在函数xaf(ya)的图像上同理可证：函数xaf(ya)的图像上任一点关于直线xya的轴对称点也在函数yf(x)的图像上故定理5中的成立推论：函数

24、yf(x)的图像与xf(y)的图像关于直线xy成轴对称三、函数对称性应用举例例1 定义在R上的非常数函数f(x)满足：f(10x)为偶函数，且f(5x)f(5x)，则f(x)一定是()A偶函数，也是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，也是周期函数 D奇函数，但不是周期函数解析：f(10x)为偶函数，f(10x)f(10x)f(x)有两条对称轴x5与x10.因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数x0即y轴也是f(x)的对称轴因此f(x)还是一个偶函数答案：A例2 设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1x)f(1x)，当1x0时，f(x)x，则f(8.6)_.解析：f(x)是定义在R上的偶函数，x0是yf(x)的对称轴；又f(1x)f(1x)，x1也是yf(x)的对称轴故yf(x)是以2为周期的周期函数f(8.6)f(80.6)f(0.6)f(0.6)0.3.答案：0.3例3 函数yf(x)的图像为C，而C关于直线x1对称的图像为C1，将C1向左平移1个单位后得到的图像为C2，则C2所对应的函数为()Ayf(x) Byf(1x) Cyf(2x) Dyf(3x)解析：C关于直线x1对称的图像为C1的解析式为yf(2x)，C1向左平移1个单位后得到的图像为C2的解析式为yf(2(x1)，即yf(1x)答案：B(设计者方诚心)