2020-2021学年广东省深圳市某校高二（上）期中考试数学试卷.docx

1、2020-2021学年广东省深圳市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题)1. 数列1，23，35，47，59，的一个通项公式an是( )A.n2n+1B.n2n+3C.n2n-3D.n2n-12. l1的方向向量为v1=1,2,3，l2的方向向量v2=,4,6，若l1/l2，则等于（）A.1B.2C.3D.43. 若抛物线y2=mx的焦点到顶点的距离为12，则m=( )A.2B.4C.2D.44. 若双曲线x2a-y2=1(a0)的实轴长为2，则其渐近线方程为（ ）A.y=2xB.y=22xC.y=12xD.y=x5. 已知A3,0,-1，B0,-2,-6，C2,4,-2，则ABC是（）A

2、.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形6. 若动点P在曲线x2=4y+4上移动，定点Q坐标为0,1则P，Q连线中点的轨迹方程是( )A.x2=4yB.x2=2yC.x2=4y+2D.y2=4x7. 已知等差数列an，an=m，am=n，则am+n=（）A.mB.nC.0D.m+n8. 已知A，B，C是双曲线x2a2-y2b2=1a0,b0上的三个点，AB经过原点O，AC经过右焦点F若BFAC且2|AF|=|CF|，则该双曲线的离心率是（）A.53B.173C.172D.94二、多选题)9. 下列关于等差数列的命题中正确的有()A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一

3、定成等差数列B.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列C.若a，b，c成等差数列，则ka+2，kb+2，kc+2一定成等差数列D.若a，b，c成等差数列，则1a，1b，1c可能成等差数列10. 已知曲线C的方程为x2k-2+y26-k=1kR，则下列结论正确的是( )A.当k=4时，曲线C为圆B.当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=3xC.“k4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件D.存在实数k使得曲线C为等轴双曲线，其离心率为211. 已知O为坐标原点，M1,2，P是抛物线C:y2=2px上的一点，F为其焦点若F与双曲线x23-y2=1的右焦点重合

4、，则下列说法正确的有( )A.若|PF|=6，则点P的横坐标为4B.该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为3C.若POF外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆面积为9D.PMF周长的最小值为3+512. 在四面体P-ABC中，以上说法正确的有( )A.若AD=13AC+23AB，则可知BC=3BDB.若Q为ABC的重心，则PQ=13PA+13PB+13PCC.若PABC=0，PCAB=0，则PBAC=0D.若四面体P-ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则|MN|=1.三、填空题)13. 椭圆x2a2+y220=1的焦点在x轴上，焦距为8，则该椭圆的离心率为_14. 在等差数列an

5、中，已知a1=2，a2+a3+a4=24，则a4+a5+a6=_.15. 正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F分别是棱AB，BC中点，异面直线B1E与DF所成角的余弦值为_.16. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的焦点为F1，F2，如果椭圆C上存在一点P，使得PF1PF2=0，且PF1F2的面积等于4，则实数b的值为_，实数a的取值范围为_.四、解答题)17. (1)数列an满足a1=1，且an+1=an2an+1，求a5；(2)在等差数列an中，若a2+a3+a4+a5=34，且a2a5=52，求an.18. 求满足下列条件的曲线方程： (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长

6、轴长是短轴长的3倍，点P3,0在该椭圆上，求椭圆的方程；(2)已知双曲线的离心率为2，焦点是-4,0，4,0，求双曲线标准方程19. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BB1的中点 (1)求证：BC1/平面AD1E；(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值20. 已知抛物线y2=2pxp0上一点m,1到其焦点F的距离为1 (1)求抛物线方程；(2)过点B2,0，且斜率为k的直线l交抛物线交于M，N两点，求证：OMON.21. 已知如图一RtABC，AC=BC=4，ACB=90，D，E分别为AC，AB的中点，F在BC上，且BF=3FC，G为DC中点，将ADE沿DE折起， BE

7、F沿EF折起，使得A，B重合于一点P（如图二） (1)求证：EG平面PDF；(2)求二面角C-PF-E的大小22. 如图，曲线C由上半椭圆C1:y2a2+x2b2=1ab0,y0和部分抛物线C2:y=-x2+1y0连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为32. (1)求a，b的值；(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过A点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由参考答案与试题解析2020-2021学年广东省深圳市某校高二（上）期中考试数学试卷一、选择题1. D2. B3. C4. D5. C6. B

8、7. C8. B二、多选题9. B,C,D10. A,B11. A,C,D12. A,B,C三、填空题13. 2314. 4215. 2516. 2,22,+)四、解答题17. 解：(1) a1=1， a2=a12a1+1=13，a3=a22a2+1=15，a4=a32a3+1=17，a5=a42a4+1=19.(2) 数列an是等差数列，a2+a3+a4+a5=2(a2+a5)=34，a2+a5=17， a2+a5=17,a2a5=52,解得a2=4,a5=13或a2=13,a5=4,设数列an公差为d，则d=3或-3，可得an=3n-2或an=-3n+19.18. 解：(1)当椭圆的焦点在

9、x轴上时，设椭圆方程为x2a2+y2b2=1ab0，由题可知a=3.又因为长轴长是短轴长的3倍，则b=1，则椭圆方程为：x29+y2=1；当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的方程为y2a2+x2b2=1ab0，由题可知b=3.又因为长轴长是短轴长的3倍，则a=9，则椭圆方程为y281+x29=1.综上所述，椭圆方程为x29+y2=1或y281+x29=1(2)由题可知，双曲线是等轴双曲线，且焦点在x轴上，故可设双曲线方程为x2-y2=0.又因为焦点是-4,0，4,0，故可得2=16，解得=8，故双曲线方程为x28-y28=119. (1)证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB/D1C1且

10、AB=D1C1， 四边形ABC1D1为平行四边形， BC1/AD1，又BC1平面AD1E，AD1平面AD1E， BC1/平面AD1E.(2)解：由题以AD为x轴，以AB为y轴，以AA1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，则A0,0,0，A10,0,2，D12,0,2， E为BB1的中点， E0,2,1， AA1=0,0,2，AD1=2,0,2，AE=0,2,1，设平面AD1E的法向量为n=x,y,z，则nAD1=0，nAE=0， 2x+2z=0，2y+z=0，令x=1，则可得z=-1，y=12， n=(1,12,-1），设直线AA1与平面AD1E所成角为， sin=|co

11、s|=|AA1n|AA1|n|=221+14+1=23，则直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为23.20. (1)解：由题意F(p2,0)， 点(m,1)到焦点F的距离为1， m=p2，将点(p2,1)代入y2=2px得p2=1， p=1， y2=2x.(2)证明：直线l过点B2,0且斜率为k，故直线l的方程为y=kx-2k0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，由及y2=2x消去y代入可得k2x2-22k2+1x+4k2=0，得：x1x2=4k2k2=4又由y12=2x1，y22=2x2得到(y1y2)2=4x1x2=44=16，又注意到y1y20，所以y1y2=-4设OM，ON的斜率

12、分别为k1,k2，则k1=y1x1，k2=y2x2，相乘得k1k2=-44=-1， OMON.21. 1证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DEDC，DEPD，又DE=2，DF2=DC2+CF2=5，由BF=3FC=34CB=3，故PF=3，所以PD2+DF2=PF2，故PDDF，又DEDF=D，DE，DF平面DEFC，所以PD平面DEFC，又EG平面DEFC，故EGPD，如图，以直线DE，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，E2,0,0，C0,2,0，P0,0,2，F1,2,0，G0,1,0，EG=-2,1,0,DF=1,2,0，所以EGDF=-2+2=0，故EGDF,又

13、PDDF=D，DP，DF平面PDF，故EG平面PDF.2解：设平面PCF的法向量为m=x,y,zCF=(1,0,0)，FP=(-1,-2,2),由CFm=0，FPm=0，x=0，-x-2y+2z=0，取m=0,1,1，设平面PEF的法向量为n=a,b,c，EF=-1,2,0，由EFn=0，FPn=0，-a+2b=0，-a-2b+2c=0，得n=2,1,2，由cosm,n=mnmn=1+223=22，结合图象知二面角为钝角，故二面角C-PF-E为135.22. 解：(1)在抛物线C2:y=-x2+1y0中，令y=0，可得x=1，即A(-1,0)，B(1,0)，且A-1,0，B1,0是上半椭圆C1

14、的左、右顶点，可得上半椭圆C1中b=1，设C1半焦距为c，由ca=32及a2-c2=b2=1，可得a=2， a=2，b=1(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为y24+x2=1(y0)，易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y=kx-1(y0)，代入C1的方程，整理得：k2+4x2-2kx+k2-4=0.设点P的坐标为xp,yp， 直线l过点B， 点P的坐标为k2-4k2+4,-8kk2+4.同理，由y=kx-1k0,y=-x2+1y0,得点Q的坐标为-k-1,-k2-2k依题意可知APAQ， AP=2kk2+4k,-4，AQ=-k1,k+2 APAQ， APAQ=0，即-2k2k2+4k-4k+2=0， k0， k-4k+2=0，解得k=-83，经检验，k=-83符合题意，故直线l的方程为y=-83x-1