2020-2021学年新教材数学人教B版选择性必修第一册课后提升训练：2-5-2　椭圆的几何性质 WORD版含解析.docx

1、2.5.2椭圆的几何性质课后篇巩固提升基础达标练1.过椭圆x24+y23=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A.8,6B.4,3C.2,3D.4,23解析由题意知a=2,b=3,c=1,最长弦过两个焦点,长为2a=4,最短弦垂直于x轴,长度为当x=c=1时,纵坐标的绝对值的2倍为3.答案B2.(多选)已知椭圆x2a2+y2b2=1与椭圆x225+y216=1有相同的长轴,椭圆x2a2+y2b2=1的短轴长与椭圆y221+x29=1的短轴长相等,则下列结论不正确的有()A.a2=25,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25D.a2=25,b2=9解析

2、椭圆x225+y216=1的长轴长为10,椭圆y221+x29=1的短轴长为6,由题意可知椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上,即有a=5,b=3.答案ABC3.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为()A.12B.14C.2D.4解析椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,半短轴长为1,长轴长是短轴长的2倍,故1m=2,解得m=14.答案B4.(多选)如图,椭圆与有公共的左顶点和左焦点,且椭圆的右顶点为椭圆的中心.设椭圆与的半长轴长分别为a1和a2,半焦距分别为c1和c2,离心率分别为e1,e2,则下列结论正确的是()A.a1+c12(a2+c2)B.a1-c1

3、=a2-c2C.a1c2a2c1D.e1=e2+12解析由题图知,a1=2a2,c12c2,a1+c12(a2+c2),2a1c22a2c1,即a1c29时,a2=k+8,b2=9,e2=c2a2=a2-b2a2=k-1k+8=14,解得k=4.(2)若焦点在y轴上,即0k+8b0),椭圆C的面积为S=ab=20,又e=1-b2a2=45,解得a2=1003,b2=12,所以椭圆C的方程为y21003+x212=1.答案y21003+x212=18.已知椭圆C:4x2+9y2=36.求椭圆的长轴长,焦点坐标和离心率.解椭圆C:4x2+9y2=36的标准方程为x29+y24=1,所以a=3,b=

4、2,c=a2-b2=9-4=5,所以椭圆的长轴长2a=6,焦点坐标(-5,0),(5,0),离心率e=ca=53.9.(1)求与椭圆x29+y24=1有相同的焦点,且离心率为55的椭圆的标准方程;(2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8,两个顶点坐标分别是(-6,0),(6,0),求焦点在x轴上的椭圆的标准方程.解(1)c=9-4=5,所求椭圆的焦点为(-5,0),(5,0).设所求椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0).e=ca=55,c=5,a=5,b2=a2-c2=20,所求椭圆的方程为x225+y220=1.(2)椭圆的焦点在x轴上,设它的标准方程为x2a2+y2b2=1(ab0),

5、2c=8,c=4,又a=6,b2=a2-c2=20.椭圆的方程为x236+y220=1.能力提升练1.已知椭圆x24+y2=1,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上的任意一点,则1|PF1|+1|PF2|的取值范围为()A.1,2B.2,3C.2,4D.1,4解析根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=4,设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=4,m,na-c,a+c,即m,n2-3,2+3,则1|PF1|+1|PF2|=1m+1n=4m(4-m)=4-(m-2)2+41,4.答案D2.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3

6、x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于45,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.0,32B.0,34C.32,1D.34,1解析设左焦点为F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形.|AF|+|BF|=4,|AF|+|AF0|=4,a=2.设M(0,b),则4b545,1bb0),A1,A2,B1,B2为顶点,F1,F2为焦点,P为椭圆上一点,满足下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有()A.|A1F1|,|F1F2|,|F2A2|为等比数列B.F1B1A2=90C.PF1x轴,且POA2B1D.四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1

7、,F2解析A中若成等比数列,则(2c)2=(a-c)(a-c),即2c=a-c或2c=c-a(舍),解得ca=135-12,所以A不正确;B项,若F1B1A2=90,则由射影定理可得|OB1|2=|F1O|OA2|,即b2=ca,所以c2+ac-a2=0,即e2+e-1=0,e(0,1),解得e=5-12,所以B正确;C项,若PF1x轴,所以P-c,b2a,又POA2B1,则斜率相等,所以b2a-c=b-a,即b=c,所以e=ca=cc2+c2=22,所以C不正确;D项,因为四边形为菱形,则其内切圆的圆心为原点,由圆的对称性可知,圆心到直线A2B2的距离等于c,因为直线A2B2的方程为xa-y

8、b=1,即bx-ay-ab=0,所以原点到直线的距离d=aba2+b2,由题意知aba2+b2=c,又b2=a2-c2,整理得a2(a2-c2)=c2(2a2-c2),e4-3e2+1=0,e2(0,1),解得e2=3-52,所以e=3-52=5-12,所以D正确.答案BD4.若椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被点b2,0分成53的两段,则此椭圆的离心率为()A.1617B.41717C.45D.255解析依题意得c+b2c-b2=53,即c=2b.a2-b2=c2,a=b2+c2=5b.e=ca=255.答案D5.已知F是椭圆C:x2a2+y2b

9、2=1(ab0)的一个焦点,P是C上的任意一点,则|FP|称为椭圆C的焦半径.设C的左顶点与上顶点分别为A,B,若存在以A为圆心,|FP|为半径的圆经过点B,则椭圆C的离心率的最小值为.解析如图,|AB|=a2+b2,a-c|PF|a+c,由题意可得,a-ca2+b2a+c,不等式左边恒成立,则a2+b2a+c,两边平方整理得2e2+2e-10,解得e-1-32(舍)或e3-12.椭圆C的离心率的最小值为3-12.答案3-126.(1)计算:若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P(0,2),则kPA1kPA2=;若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P-5,43,

10、则kPA1kPA2=;若A1,A2是椭圆x29+y24=1长轴的两个端点,P1,-423,则kPA1kPA2=.(2)观察,由此可得到:若A1,A2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)长轴的两个端点,P为椭圆上任意一点,则kPA1kPA2=?并证明你的结论.解(1)由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P(0,2),kPA1kPA2=2-00+32-00-3=-49.由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P-5,43,kPA1kPA2=43-03-543-0-3-5=-49.由椭圆方程可得A1(-3,0),A2(3,0),又P1,-423,kPA1kPA2=-423-

11、01+3-4231-3=-49.(2)若A1,A2是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)长轴的两个端点,P为椭圆上任意一点,则kPA1kPA2=-b2a2.证明如下:设P(x0,y0).由题意kPA1=y0-0x0+a,kPA2=y0-0x0-a,则kPA1kPA2=y0-0x0+ay0-0x0-a=y02x02-a2.又P为椭圆上任意一点,满足x02a2+y02b2=1,得y02=b21-x02a2,代入可得kPA1kPA2=b21-x02a2x02-a2=-b2a2,得证.7.如图,已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭

12、圆于另一点B.(1)若F1AB=90,求椭圆的离心率;(2)若椭圆的焦距为2,且AF2=2F2B,求椭圆的方程.解(1)由F1AB=90及椭圆的对称性知b=c,则e=ca=c2a2=c2b2+c2=22.(2)由已知a2-b2=1,F2(1,0),A(0,b),设B(x,y),则AF2=(1,-b),F2B=(x-1,y),由AF2=2F2B,即(1,-b)=2(x-1,y),解得x=32,y=-b2,则94a2+b24b2=1,得a2=3,因此b2=2,椭圆的方程为x23+y22=1.8.已知F1,F2是椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,F1PF2=60.(1)求椭圆的离心率的取值范围;(2)

13、求证:F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.(1)解不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),由余弦定理得cos60=|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|22|PF1|PF2|=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|PF2|-|F1F2|22|PF1|PF2|,所以|PF1|PF2|=4a2-2|PF1|PF2|-4c2,所以3|PF1|PF2|=4b2,所以|PF1|PF2|=4b23.又因为|PF1|PF2|PF1|+|PF2|22=a2,所以3a24(a2-c2),所以ca12,所以e12.又因为椭圆中0e1,所以所求椭圆的离心率的取值范围是12,1.(2)证明由(1)可

14、知|PF1|PF2|=43b2,SF1PF2=12|PF1|PF2|sin 60=1243b232=33b2.所以F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.素养培优练1.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦为的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则()A.a-c=m+RB.a+c=n+RC.2a=m+nD.b=(m+R)(n+R)解析椭圆的半长轴长为a,半短轴长为b,半焦距为c,则由题意可知a-c-R=m

15、,a+c-R=n,可得a-c=m+R,所以A正确;a+c=R+n,所以B正确;可得a=m+n2+R,c=n-m2,所以C不正确;b2=a2-c2=m+n2+R2-n-m22=(m+R)(n+R),则b=(m+R)(n+R),所以D正确.答案ABD2.已知椭圆x2a2+y2b2=1的坐标原点为点O,有长轴上一端点坐标为(2,0),离心率e=32,过椭圆右焦点倾斜角为30的直线交椭圆于A,B两点.(1)求椭圆的方程;(2)求三角形OAB的面积.解(1)由题意可知焦点在x轴上,则a=2,e=ca=32,c=3,由a2=b2+c2,解得b2=1,椭圆方程为x24+y2=1.(2)由题意可知右焦点(3,0),则直线方程为y=33(x-3),即y=33x-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程代入椭圆方程整理得7x2-83x=0,由根与系数的关系x1+x2=837,x1x2=0,由弦长公式|AB|=1+138372=167,原点O到直线的距离为d=|1|1+332=32,OAB的面积S=12d|AB|=1232167=437.OAB的面积S=437.