2020-2021学年高中数学人教B版（2019）选择性必修第三册课后习题：6-3　利用导数解决实际问题 WORD版含解析.docx

1、第六章导数及其应用6.3利用导数解决实际问题课后篇巩固提升基础达标练1.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)()A.32,16B.30,15C.40,20D.36,18解析要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短,设场地宽为x米,则长为512x米,因此新墙总长L=2x+512x(x0),则L=2-512x2.令L=0,得x=16或x=-16(舍去).此时长为51216=32(米),可使L最短.答案A2.将8分为两个非负数之和,使两个非负数的立方和最小,则应分为()A.2和6B.

2、4和4C.3和5D.以上都不对解析设一个数为x,则另一个数为8-x,则其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2(0x8),y=48x-192.令y=0,即48x-192=0,解得x=4.当0x4时,y0;当40.所以当x=4时,y最小.答案B3.(2020东海第二中学高二月考)如图,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为()时,其容积最大.A.34B.23C.13D.12解析设正六棱柱容器的底面边长为x,则正六棱柱容器的高为32(1-x),所以正六棱柱容器的容积为V(x)=(x+2x)32

3、x32(1-x)=94(-x3+x2),所以V(x)=-274x2+92x,令V(x)=0,得x=0(舍去)或x=23,则在0,23上,V(x)0;在23,1上,V(x)400,则总利润最大时,每年生产的产品是()A.100B.150C.200D.300解析由题意,得总成本函数为C(x)=20000+100x,总利润P(x)=R(x)-C(x)=300x-x22-20000,0x400,60000-100x,x400.所以P(x)=300-x,0x400,-100,x400.令P(x)=0,得x=300,易知x=300时,总利润P(x)最大.答案D5.(2020四川树德中学高二期中)已知球体的

4、半径为3,当球内接正四棱锥的体积最大时,正四棱锥的高和底面边长的比值是()A.1B.2C.3D.2解析如图,PAC是正四棱锥P-ABCD的对角面,其外接圆是四棱锥外接球的大圆,O是圆心(球心),设正四棱锥底面边长为a,则AC=2a,OA=OP=3,设OE=x(0x3),则由AO2=OE2+AE2,得x2+12a2=9,a2=18-2x2,PE=3+x,S四边形ABCD=18-2x2,V=13S四边形ABCDPE=13(18-2x2)(3+x)=23(-x3-3x2+9x+27),V=23(-3x2-6x+9)=-2(x-1)(x+3),当0x0,V单调递增,当1x3时,V0),为使耗电量最小,

5、则其速度应定为.解析由题设,知y=x2-39x-40,令y0,解得x40或x0)在(40,+)上单调递增,在(0,40)上单调递减.当x=40时,y取得最小值.由此得为使耗电量最小,则其速度应定为40.答案407.(2020山东省实验中学高二期中)某商场销售某种商品,该商品的成本为3元/千克,每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=1x-3+5(x-6)2,其中3x6,当销售价格为元时,商场每日销售该商品所获得的最大利润为元.解析设商场每日销售该商品所获得的利润为L元,则L=y(x-3)=1x-3+5(x-6)2(x-3)=5x3-75x2+360x-539(3

6、x0,得3x4,令L0,得4x0),OE为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?解(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.由条件知,当OB=40时,BB1=-1800403+640=160,则AA1=160.由140OA2=160,得OA=80.所以AB=OA+OB=80+40=120(米).(2)以O为原点,OO为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).设F(x,y2),x(0,40),则y2=-1800x3+6x,EF=160-y2=160+1800x3-6x.因为CE=80,所以OC=80-x.设D(x-80,y1),则y1=140(80-

7、x)2,所以CD=160-y1=160-140(80-x)2=-140x2+4x.记桥墩CD和EF的总造价为f(x),则f(x)=k160+1800x3-6x+32k-140x2+4x=k1800x3-380x2+160(0x40).f(x)=k3800x2-340x=3k800x(x-20),令f(x)=0,得x=20.x(0,20)20(20,40)f(x)-0+f(x)极小值所以当x=20时,f(x)取得最小值.答:(1)桥AB的长度为120米;(2)当OE为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.9.某商店经销一种商品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为

8、常数,2a5)的税收.设每件产品的日售价为x元(35x41),根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时,日销售量为10件.(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式;(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.解(1)设日销售量为kex,则ke40=10,k=10e40,则日售量为10e40ex件.则日利润L(x)=(x-30-a)10e40ex=10e40x-30-aex;答:该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式为L(x)=10e40x-30-aex.(

9、2)L(x)=10e4031+a-xex.当2a4时,33a+3135,当35x41时,L(x)0.当x=35时,L(x)取最大值为10(5-a)e5;当4a5时,35a+3136,令L(x)=0,得x=a+31,易知当x=a+31时,L(x)取最大值为10e9-a.综上,得L(x)max=10(5-a)e5(2a4),10e9-a(4a5).答:当2a4时,当每件产品的日售价35元时,L(x)取最大值为10(5-a)e5;当40,当x(6,8)时,g(x)0,所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减,所以x=6时,利润最大,故选B.答案B2.(2019北京市八一中学高二

10、期中)已知等腰梯形的上底长为7,腰长为2,那么该等腰梯形面积最大时的下底长为()A.7.5B.8C.8.5D.9解析根据题意,绘图如下:由题意,可知AB=7,AD=2,不妨设DE=x,x(0,2),故可得AE=4-x2,DC=7+2x,则梯形的面积f(x)=(7+x)4-x2=-x4-14x3-45x2+56x+196,令h(x)=-x4-14x3-45x2+56x+196,故可得h(x)=-4x3-42x2-90x+56,令g(x)=-4x3-42x2-90x+56,则g(x)=-12x2-84x-90,因为x(0,2),容易知g(x)0,h(2)0),下部主体造价与高度成正比,比例系数为8

11、k.若欲造一个上、下总高度为10 m,AB=8 m的仓库,则当总造价最低时,PO=()A.455 mB.433 mC.4 mD.45 m解析如图,设BC的中点为E,连接PE,OE,则OE=4.由于PO平面ABCD,则有POOE.在RtPOE中,设PEO=,则有PO=4tan,PE=4cos,所以上部屋顶面积为S=4SPBC=64cos,下部主体的高度为h=10-4tan,所以仓库的总造价为y=Sk+h8k=32k2-sincos+80k.设f()=2-sincos02,所以f()=2sin-1cos2.令f()=0,得sin=12,所以=6.则当06时,f()0,f()在0,6上单调递减;当6

12、0,f()在6,2上单调递增;所以当=6时,f()有最小值,此时总造价最低,PO=433m.答案B4.(2020高台第一中学高二期中)如图所示,某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成,在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为.解析根据题意,画出图形:由题意,设小圆柱体底面半径为cos,则高为1+sin,0,2,小圆柱体体积V=cos2(1+sin).设sin=t,t(0,1),则V=(1-t2)(1+t)=(-t3-t2+t+1).则V=(-3t2-2t+1)=(-3t+1)(t+1).当t=13时,Vmax=3

13、227.答案32275.如图所示,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是.解析设CD=x,则点C的坐标为x2,0,点B的坐标为x2,1-x22,矩形ABCD的面积S=f(x)=x1-x22=-x34+x,x(0,2).由f(x)=-34x2+1=0,得x1=-233(舍),x2=233,x0,233时,f(x)0,f(x)单调递增,x233,2时,f(x)0,f(x)单调递减,故当x=233时,f(x)取最大值439.答案4396.(2019佛山顺德区容山中学高二开学考试)已知某公司生产一种零件的年固定成本为5万元,每生产

14、1千件,成本再增加3万元.假设该公司年内共生产该零件x千件并且全部销售完,每1千件的销售收入为D(x)万元,且D(x)=6.6-x230(010),为使公司获得最大利润,则应将年产量定为千件(注:年利润=年销售收入-年总成本).解析设年利润为W(x),则W(x)=xD(x)-(3x+5)=3.6x-x330-5,010.当010时,W(x)=190-1875x-3x=190-1875x+3x190-21875x3x=190-275=40,当且仅当1875x=3x,即x=25时,等号成立.综上所述,当x=25千件时,年利润最大.答案257.(2019安徽合肥高三二模)已知正三棱锥的体积为3,则其

15、表面积的最小值为.解析设正三棱锥的底面边长为a,高为h,如图,过顶点S作底面ABC的垂线,垂足为O,过O作OD垂直AB于D,连接SD,AB=a,SO=h.SO底面ABC,AB底面ABC,ABSO,SOOD.又ABOD,SOOD=O,AB平面SOD.又SD平面SOD,ABSD,即SD为SAB的高,三棱锥体积3=1334a2h,得a2h=12,又O为底面中心,OD=13ABsin60=36a,SD=OD2+SO2=a212+h2,三棱锥的表面积S=34a2+312aa212+h2=34a2+32a412+a2h2,将a2=12h代入得S=33h+3212h2+12h=331+h3+1h.S=33h

16、3-2-2h3+12h2h3+1,令S=0,得h3-2-2h3+1=0,令h3+1=t(t0),上式可化为t2-2t-3=0,解得t=3,或t=-1(舍),h3+1=3,得h=2.当0h2时,S2时,S0,故S在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,故当h=2时,表面积最小,此时S=331+23+12=63.答案638.如图所示,有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线海岸的岸边A处,乙厂与甲厂在海的同侧,乙厂位于离海岸40 km的B处,乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A,D之间合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,则供水站C建在何处才

17、能使水管费用最省?解设C点距D点xkm,则AC=50-x(km),所以BC=BD2+CD2=x2+402(km).又设总的水管费用为y元,依题意,得y=3a(50-x)+5ax2+402(0x50).y=-3a+5axx2+402.令y=0,解得x=30.在(0,50)上,y只有一个极小值点,根据问题的实际意义,函数在x=30km处取得最小值,此时AC=50-x=20(km).故供水站建在A,D之间距甲厂20km处,可使水管费用最省.9.(2020江西新余一中高二月考)某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流

18、动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,C(x)=13x2+2x(万元);当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+ln x+e3x-17(万元).已知每件产品售价为6元,假设该同学生产的商品当年能全部售完.(1)写出年利润p(x)(万年)关于年产量x(万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大?最大年利润是多少?(取e3=20)解(1)每件产品售价为6元,则x万件产品销售收入为6x万元.依题意,得当0x7时,p(x)=6x-13x2-2x-2=-13x2+4x-2;当x7时,p(x)=6x-6x+lnx+e3

19、x-17-2=15-lnx-e3x.p(x)=-13x2+4x-2,0x7,15-lnx-e3x,x7.(2)当0x7时,p(x)=-13(x-6)2+10,当x=6时,p(x)的最大值为p(6)=10(万元).当x7时,p(x)=15-lnx-e3x,p(x)=-1x+e3x2=e3-xx2,当7x10,当x=e320时,p(x)取得最大值11万元,即当年产量约为20万件,该同学的这一产品所获年利润最大,最大利润为11万元.素养培优练(2020江苏高三模拟)为了提升学生“数学建模”的核心素养,某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务:如图,有一张边长为27 cm的等边三角形纸片A

20、BC,从中裁出等边三角形纸片A1B1C1作为底面,从剩余梯形ABB1A1中裁出三个全等的矩形作为侧面,围成一个无盖的三棱柱(不计损耗).(1)若三棱柱的侧面积等于底面积,求此三棱柱的底面边长;(2)当三棱柱的底面边长为何值时,三棱柱的体积最大?解设三棱柱的底面边长为xcm,即A1C=x,则A1A=27-x.因为ABC为等边三角形,所以三棱柱的高为1332(27-x)=36(27-x).(1)因为三棱柱的底面积为12xx32=34x2,侧面积为3x36(27-x)=32(27x-x2),所以34x2=32(27x-x2),解得x=18或x=0(舍去).即三棱柱的底面边长为18cm.(2)三棱柱的体积V=34x236(27-x)=18(27x2-x3).因为x0,36(27-x)0,所以0x27.因为V=18(54x-3x2)=38x(18-x),所以当0x0,V单调递增;当18x27时,V0,V单调递减.所以当x=18时,V取到极大值,也是最大值,Vmax=18(27182-183)=7292.即当底面边长为18cm时,三棱柱的体积最大,为7292cm3.