2020-2021年上海市交大附中高二下学期开学考试数学WORD版.docx

1、2020-2021年上海市交大附中高二下开学考一、填空题1.设（为虚数单位），则_.2.已知球的体积为，则该球主视图的面积等于 .3.直线（为参数）的斜率为_. 4.已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则 5.已知抛物线上的点，则到准线的距离为 6.如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为 7.已知关于的实系数方程有一个模为1的虚根，则的取值范围是 8.在四面体中，则所成角的余弦值为_.9.在空间中，已知一个正方体的12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于，则 10.已知圆:，圆:.直线、分别过圆心、，且与圆相交于两点

2、，与圆相交于两点.点是椭圆上任意一点，则的最小值为_.11.如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值为 12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线（如图），若让一个半径为的圆在一个半径为的圆内部，沿着圆的圆周滚动，小圆圆周上的任一点形成的轨迹即为星形线，其方程为，给出下列四个结论，正确的是_（1）星形线的参数方程为：（为参数）；（2）若，则星形线及其内部包含33个整点；（即横、纵坐标均为整数的点）（3）曲线在星形线的内部（包含边界）；（4）设星形线围成的面积为，则.二、选择题13.是复数，下列结论正确的是（ ） A若，则 B C D14.如图，在大小为

3、的二面角中，四边形与都是边长为1的正方形，则，两点间的距离是（ ）A B C1 D15.定义：复数与的乘积为复数的“旋转复数”，设复数（）对应的点在曲线上，则的“旋转复数”对应的点的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 16.如图，已知正四面体，点分别是所在棱中点，点满足且，记，则当且时，数量积的不同取值的个数是（ B ）A3 B5 C9 D21三、解答题17.如图所示的三棱锥的三条棱，两两互相垂直，,点在棱上，且().（1）当时，求异面直线与所成角的大小；（2）当三棱锥的体积为时，求的值.18.已知m是实数，关于x的方程E：x2mx+（2m+1）0（1）若m2，求方程E在复数范围内的解；（

4、2）若方程E有两个虚数根x1，x2，且满足|x1x2|2，求m的值19.如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面面圆周上的点.（1）求证：平面；（2）当三棱锥体积最大时，求二面角的大小.（结果用反三角函数值表示）20.如图，在中，斜边，半圆的圆心在边上，且与相切，现将绕旋转一周得到一个几何体，点为圆锥底面圆周上一点，且（1）求球的半径；（2）求点到平面的距离；（3）设是圆锥的侧面与球的交线上一点，求与平面所成角正弦值的范围21.已知双曲线，设是双曲线上任意一点，为坐标原点，为双曲线右焦点，为双曲线的左右顶点.（1）若是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；（2）已知：无论点在右支的何处，总有，求的取值范围；（3）若，动点与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点和，试问：以线段为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由.参考答案一、 填空题1. 2 2. 9 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 8 11. 12. （1）（3）（4）二、 选择题13. D 14. D 15. C 16. B三、 解答题17. （1）； （2）；18. （1）； （2）0或8 19. （1）证明略； （2）20. （1）； （2）； （3）21. （1） ； （2） ； （3）定点和