2020版高三数学新课标大二轮专题辅导与增分攻略数学（理）讲义：第三篇 专题三 第三讲 立体几何中的向量方法 WORD版含答案.docx

1、第三讲立体几何中的向量方法高考导航1在空间直角坐标系的基础上证明空间线面关系.2.以空间几何体为载体，在空间直角坐标系的基础上求空间角和距离考点一利用向量证明平行与垂直设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面，的法向量分别为(a2，b2，c2)，v(a3，b3，c3)，则有(1)线面平行laa0a1a2b1b2c1c20.(2)线面垂直laaka1ka2，b1kb2，c1kc2.(3)面面平行vva2a3，b2b3，c2c3.(4)面面垂直vv0a2a3b2b3c2c30.【例1】(2019福建福州调研)如图，在直三棱柱ADEBCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，点

2、M为AB的中点，点O为DF的中点证明：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD解题指导(1)(2)证明(1)由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M，O.，(1,0,0)，0，.棱柱ADEBCF是直三棱柱，AB平面BCF，是平面BCF的一个法向量，且OM平面BCF，OM平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)(1，1,1)，(1,0,0)，(0，1,1)，由

3、得令x11，则n1.同理可得n2(0,1,1)n1n20，平面MDF平面EFCD用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外(2019厦门二模)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点E为棱PC的中点证明：(1)BEDC；(2)BE平面PAD；(3)平面PCD平面PAD证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得

4、B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)(1)向量(0,1,1)，(2,0,0)，故0.所以BEDC(2)因为PA平面ABCD，AB平面ABCD，所以ABPA，又因为ABAD，PAADA，所以AB平面PAD，所以向量(1,0,0)为平面PAD的法向量，而(0,1,1)(1,0,0)0，所以.又BE平面PAD，所以BE平面PAD(3)由(2)知平面PAD的法向量(1,0,0)，向量(0,2，2)，(2,0,0)，设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则即不妨令y1，可得n(0,1,1)为平面PCD的一个法向量则n(0,1,1)

5、(1,0,0)0，所以n.所以平面PAD平面PCD考点二利用向量求空间角三种空间角与空间向量的关系(1)线线角：设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角满足cos.(2)线面角：设l是斜线l的方向向量，n是平面的法向量，则斜线l与平面所成的角满足sin.(3)二面角如图()，AB，CD是二面角l的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，；如图()()，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足coscosn1，n2或cosn1，n2角度1：求异面直线所成的角【例2】(2019银川模拟)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BC

6、CC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A BC D解析以B为坐标原点，的方向分别为y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)ABC120，BC1，AB2，BB11，A(0,2,0)，B1(0,0,1)，C1.(0，2,1)，.设异面直线AB1与BC1所成的角为，则cos，故选C答案C角度2：求直线与平面所成的角【例3】(2019浙江卷)如图，已知三棱柱ABCA1B1C1，平面A1ACC1平面ABC，ABC90，BAC30，A1AA1CAC，E，F分别是AC，A1B1的中点(1)证明：EFBC；(2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值解题指导(1)解(

7、1)证明：连接A1E，因为A1AA1C，E是AC的中点，所以A1EAC又平面A1ACC1平面ABC，A1E平面A1ACC1，平面A1ACC1平面ABCAC，所以，A1E平面ABC如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Exyz.不妨设AC4，则A1(0,0,2)，B(，1,0)，B1(，3,2)，F，C(0,2,0)因此，(，1,0)由0得EFBC(2)设直线EF与平面A1BC所成角为.由(1)可得(，1,0)，(0,2，2)设平面A1BC的法向量为n(x，y，z)由得取n(1，1)，故sin|cos，n|.因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值为.

8、角度3：求二面角【例4】(2019全国卷)如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点(1)证明：MN平面C1DE；(2)求二面角AMA1N的正弦值解题指导(1)(2)解(1)证明：连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以MEB1C，且MEB1C又因为N为A1D的中点，所以NDA1D由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，MNED又MN平面EDC1，所以MN平面C1DE.(2)由已知可得DEDA以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间

9、直角坐标系Dxyz.则A(2,0,0)，A1(2,0,4)，M(1，2)，N(1,0,2)，(0,0，4)，(1，2)，(1,0，2)，(0，0)设m(x，y，z)为平面A1MA的法向量，则所以可取m(，1,0)设n(p，q，r)为平面A1MN的法向量，则所以可取n(2,0，1)于是cosm，n，所以二面角AMA1N的正弦值为.(1)异面直线所成的角，可以通过两直线的方向向量的夹角求得，即cos|cos|.(2)直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即sin|cos|.(3)二面角的大小可以利用分别在两个半平面内与棱垂直的直线与方向向量的夹角(或其补角)或通过二

10、面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两个法向量的夹角或其补角1(2019成都模拟)如图， 在四棱锥EABCD中，底面为棱形，已知DABEAB60，ADAE2，DE.(1)求证：平面ABE平面ABCD；(2)求直线AE与平面CED所成角的正弦值解(1)证明：如图，过点D作DOAB于点O，连接EO.DABEAB60，ADAE2，AOAO，DAOEAO.DOAEOA90，DOEO.又DE，DO2EO2DE2，由勾股定理逆定理得DOE90，即DOEO.又DOAB，ABEOO，AB平面ABE，EO平面ABE，DO平面ABE.又DO平面ABCD，平面ABE平面ABCD(2)由(1)可知DOEO，DOAB

11、，EOAB，如图，以O为坐标原点，OE，OB，OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系由已知得E(，0,0)，A(0，1,0)，D(0,0，)，C(0,2，)，(，2，)，(0，2,0)，(，1,0)设平面CED的法向量为n(x1，y1，z1)，则即令z11，则x11，n(1,0,1)设直线AE与平面CED所成的角为，sin|cosn，|，则直线AE与平面CED所成角的正弦值为.2(2019辽宁五校联考)如图，在平行四边形ABCD中，AB1，AD2，ABC，四边形ACEF为矩形，平面ACEF平面ABCD，AF1，点M在线段EF上运动，且.(1)当时，求异面直线DE与BM所成角的大小

12、；(2)设平面MBC与平面ECD所成二面角的大小为，求cos的取值范围解(1)在ABC中，AB1，BCAD2，ABC，则由余弦定理可得AC，所以AB2AC2BC2，则ABAC因为四边形ACEF为矩形，所以FAAC因为平面ACEF平面ABCD，平面ACEF平面ABCDAC，FA平面ACEF，所以FA平面ABCD以AB，AC，AF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1,0,0)，C(0，0)，D(1，0)，E(0，1)，F(0,0,1)当时，所以M.所以，(1,0,1)，所以(1,0,1)0，所以，即异面直线DE与BM所成角的大小为.(2)由(1)可得(0,0,1)

13、，(1,0,0)设平面ECD的一个法向量n1(x1，y1，z1)，则即取y11，则n1(0,1,0)设M(x0，y0，z0)，由(0，0)(0，0)(x0，y0，z01)，得，即M(0，(1)，1)，所以(1，(1)，1)，(1，0)设平面MBC的一个法向量n2(x2，y2，z2)因为所以取y21，则x2，z2，则n2(，1，)又因为00)，则F(1,2，h)(1)证明：依题意，(1,0,0)是平面ADE的法向量，又(0,2，h)，可得0，又因为直线BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)依题意，(1,1,0)，(1,0,2)，(1，2,2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，则即不妨令

14、z1，可得n(2,2,1)，因此有cos，n.所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m(x，y，z)为平面BDF的法向量，则即不妨令y1，可得m.由题意，有|cosm，n|，解得h.经检验，符合题意所以，线段CF的长为.1.高考对此部分的命题一般为“一小一大”或“一大”，即一道选择题或填空题与一道大题，或一道大题2解答题多出现在第18,19题的位置，考查空间中平行、垂直的证明，利用空间向量求空间角，难度中等专题强化训练(十九)1.(2019郑州一中月考)如图，四边形ABCD为菱形，ABC120，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE2DF，AE

15、EC.(1)证明：平面AEC平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值解(1)证明：连接BD，设BDACG，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB1.由ABC120，可得AGGC.由BE平面ABCD，ABBC，可知AEEC.又AEEC，所以EG，且EGAC.在RtEBG中，可得BE，故DF.在RtFDG中，可得FG.在直角梯形BDFE中，由BD2，BE，DF，可得EF.从而EG2FG2EF2，所以EGFG.又因为ACFGG，所以EG平面AFC.因为EG平面AEC，所以平面AEC平面AFC.(2)如图，以G为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴正方向，|为单位长度，建立空间

16、直角坐标系Gxyz.由(1)可得A(0，0)，E(1,0，)，F，C(0，0)，所以(1，)，.故cos，.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为.2(2019全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值解(1)证明：由已知得，B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEB45，故AEAB，AA12AB.以D为坐标原点，的方向为x轴正方

17、向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，(1,0,0)，(1，1,1)，(0,0,2)设平面EBC的法向量为n(x，y，z)，则即所以可取n(0，1，1)设平面ECC1的法向量为m(x，y，z)，则即所以可取m(1,1,0)于是cosn，m.所以，二面角BECC1的正弦值为.3(2019青岛二模)如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，PA底面ABCD，EDPA，且PA2ED2.(1)证明：平面PAC平面PCE；(2)若直线PC与平面ABCD所成的角为45，求二面角PCED的余弦值解(

18、1)证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF.如图1.因为O，F分别为AC，PC的中点，所以OFPA，且OFPA.因为DEPA，且DEPA，所以OFDE，且OFDE.所以四边形OFED为平行四边形，所以ODEF，即BDEF.因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.因为ABCD是菱形，所以BDAC.又因为PAACA，所以BD平面PAC.又因为BDEF，所以EF平面PAC.又因为FE平面PCE，所以平面PAC平面PCE.(2)因为直线PC与平面ABCD所成角为45，所以PCA45，所以ACPA2.所以ACAB，故ABC为等边三角形设BC的中点为M，连接AM，则AM

19、BC，所以AMAD.以A为原点，AM，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Axyz，如图2.则P(0,0,2)，C(，1,0)，E(0,2,1)，D(0,2,0)，所以(，1，2)，(，1,1)，(0,0,1)设平面PCE的法向量为n(x1，y1，z1)，则即令y11，则所以n(，1,2)设平面CDE的法向量为m(x2，y2，z2)，则即令x21，则所以m(1，0)设二面角PCED的大小为，由于为钝角，所以cos|cosn，m|.所以二面角PCED的余弦值为.4(2019安徽江南十校3月联考)斜三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，A1B，A1ABA1A

20、C60.(1)证明：平面A1BC平面ABC；(2)求直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值解(1)证明：AB2，A1B，A1AB60，由余弦定理得A1B2AAAB22AA1ABcosA1AB，即AA2AA130AA13或1(舍)，故AA13.取BC的中点O，连接OA，OA1，ABC是边长为2的正三角形，AOBC，且AO，BO1.由ABAC，A1ABA1AC，AA1AA1得A1ABA1AC，得A1BA1C，故A1OBC，且A1O.AO2A1O2369AA，AOA1O.又BCAOO，故A1O平面ABC，A1O平面A1BC，平面A1BC平面ABC.(2)以O为原点，OB所在的直线为x轴，取B1C1的中点K，连接OK，以OK所在的直线为y轴，过O作OGAA1，以OG所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，B1(1,3,0)，C1(1,3,0)，A1(0,2，)，(2,3,0)，(0,3,0)，(1,2，)，设平面ABB1A1的一个法向量为m(x，y,1)，则m(，0,1)设直线BC1与平面ABB1A1所成角为，则sin.故直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为.