2020版高考江苏数学大一轮精准复习精练：22-1　矩阵与变换 WORD版含解析.docx

1、专题二十二选修4系列【真题典例】22.1矩阵与变换挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点矩阵与变换1.矩阵的概念2.二阶矩阵与平面向量3.常见的平面变换4.矩阵的复合与矩阵的乘法5.二阶逆矩阵6.二阶矩阵的特征值与特征向量7.二阶矩阵的简单应用2018江苏,21B1.逆矩阵及矩阵的运算2.平面变换2017江苏,21B矩阵的运算及应用2016江苏,21B逆矩阵及矩阵的运算2015江苏,21B特征值、特征向量的应用2014江苏,21B矩阵的运算分析解读矩阵与变换是江苏卷附加题中三选二的内容之一,主要考查矩阵的变换、矩阵的乘法、逆矩阵、特征值和特征向量等,难度不大.破考点

2、【考点集训】考点矩阵与变换1.(2019届江苏盐城一中月考)在平面直角坐标系xOy中,设点A(-1,2)在矩阵M=-1 001对应的变换作用下得到点A,将点B(3,4)绕点A逆时针旋转90得到点B,求点B的坐标.解析设B(x,y).由-1 001-12=12,得A(1,2).则AB=(2,2),AB=(x-1,y-2).记旋转矩阵N=0-110,则0-11022=x-1y-2,即-22=x-1y-2,解得x=-1,y=4,所以点B的坐标为(-1,4).2.(2018江苏如皋中学月考)已知矩阵M=m273的逆矩阵M-1=n-2-7m,求实数m,n的值.解析因为MM-1=m273n-2-7m=mn

3、-1407n-21-14+3m=1001,所以mn-14=1,7n-21=0,-14+3m=1,解得m=5,n=3.3.(2019届江苏梅村中学月考)已知矩阵A=12cd(c,d为实数).若矩阵A属于特征值2,3的一个特征向量分别为21,11,求矩阵M的逆矩阵A-1.解析由题意知12cd21=42c+d=221,12cd11=3c+d=311,所以2c+d=2,c+d=3,解得c=-1,d=4.所以A=12-14,所以A-1=23-131616.4.(2019届江苏盐城中学月考)已知二阶矩阵A=350-2.(1)求矩阵A的特征值和特征向量;(2)设向量=1-1,求A5.解析(1)矩阵A的特征多

4、项式f()=-3-50+2=(-3)(+2).令f()=0得1=3,2=-2.设1=3对应的一个特征向量为xy,则将1=3代入二元一次方程组得0x-5y=0,0x+5y=0,解得y=0.所以矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为10.设2=-2对应的一个特征向量为x1y1,则-5x1-5y1=0,0x1+0y1=0,取x1=1,则y1=-1.所以矩阵A的属于特征值-2的一个特征向量为1-1.(2)由(1)可知向量是矩阵A的属于特征值-2的一个特征向量,所以A5=5=-3232.炼技法【方法集训】方法一求解逆矩阵1.(2018江苏扬州期末)已知x,yR,若点M(1,1)在矩阵A=2x3y对应的变换

5、作用下得到点N(3,5),求矩阵A的逆矩阵A-1.解析因为A11=35,即2x3y11=35,即2+x=3,3+y=5,解得x=1,y=2,所以A=2132.解法一(定义法):设A-1=abcd,则AA-1=2132abcd=1001,即2a+c=1,3a+2c=0,2b+d=0,3b+2d=1,解得a=2,b=-1,c=-3,d=2,所以A-1=2-1-32.解法二(公式法):因为A-1=ddet A-bdet A-cdet Aadet A,且det A=2132=22-13=1,所以A-1=2-1-32.2.(2019届江苏常州一中月考)已知矩阵M=12002,试求:(1)矩阵M的逆矩阵M

6、-1;(2)直线y=2x在矩阵M-1对应的变换作用下的曲线方程.解析(1)因为M=12002,所以M-1=20012.(2)设点P(x,y)是直线y=2x上任意一点,在矩阵M-1对应的变换作用下得到点Q(x,y),则xy=20012xy=2x12y,所以x=2x,y=12y,即x=12x,y=2y.因为点P在直线y=2x上,于是2y=212x,所以2y=x,即直线y=2x在矩阵M-1对应的变换作用下的曲线方程为y=12x.方法二矩阵变换应用1.(2019届江苏泰州中学月考)已知曲线C:x2+2xy+2y2=1,矩阵A=1210所对应的变换把曲线C变成曲线C1,求曲线C1的方程.解析设曲线C上的

7、任意一点P(x,y),P在矩阵A=1210对应的变换下得到点Q(x,y),则1210xy=xy,即x+2y=x,x=y,所以x=y,y=x-y2.代入x2+2xy+2y2=1,得y2+2yx-y2+2x-y22=1,即x2+y2=2,所以曲线C1的方程为x2+y2=2.2.(2019届江苏宿迁中学月考)已知矩阵M=1002,N=12001,试求曲线y=sin x在矩阵MN变换下的函数解析式.解析MN=100212001=12002,即在矩阵MN变换下xyxy=12002xy=12x2y,所以x=12x,y=2y,即x=2x,y=12y,代入y=sin x得12y=sin 2x.即曲线y=sin

8、 x在矩阵MN变换下的函数解析式为y=2sin 2x.过专题【五年高考】自主命题江苏卷题组1.(2017江苏,21B,10分)已知矩阵A=0110,B=1002.(1)求AB;(2)若曲线C1:x28+y22=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.解析本小题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.(1)因为A=0110,B=1002,所以AB=01101002=0210.(2)设Q(x0,y0)为曲线C1上的任意一点,它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x,y),则0120x0y0=xy,即2y0=x,x0=y,所以x0=y,y0=x2.因为点Q(x0,

9、y0)在曲线C1上,则x028+y022=1,从而y28+x28=1,即x2+y2=8.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2+y2=8.2.(2016江苏,21B,10分)已知矩阵A=120 -2,矩阵B的逆矩阵B-1=1-1202,求矩阵AB.解析设B=abc d,则B-1B=1-1202abc d=100 1 ,即a-12cb-12d2c2d=100 1 ,故a-12c=1,b-12d=0,2c=0,2d=1,解得a=1,b=14,c=0,d=12,所以B=114012.因此,AB=120 -2114012=1540-1.3.(2015江苏,21B,10分)已知x,yR

10、,向量=1-1是矩阵A=x1y0的属于特征值-2的一个特征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值.证明由已知,得A=-2,即x1y01-1=x-1 y=-22,则x-1=-2,y=2,即x=-1,y=2,所以矩阵A=-1120.从而矩阵A的特征多项式f()=(+2)(-1),所以矩阵A的另一个特征值为1.4.(2014江苏,21B,10分)已知矩阵A=-121 x,B=112-1,向量=2y,x,y为实数,若A=B,求x+y的值.解析由已知,得A=-121x2y=-2+2y2+xy,B=112-12y=2+y4-y.因为A=B,所以-2+2y2+xy=2+y4-y.故-2+2y=2+y,2+xy=

11、4-y.解得x=-12,y=4.所以x+y=72.教师专用题组1.(2013江苏,21B,10分,0.949)已知矩阵A=-1002,B=1206,求矩阵A-1B.解析设矩阵A的逆矩阵为abcd,则-1002abcd=1001,即-a-b2c2d=1001,故a=-1,b=0,c=0,d=12,从而A的逆矩阵为A-1=-10012,所以A-1B=-100121206=-1-203.2.(2011江苏,21B,10分)已知矩阵A=1121,向量=12.求向量,使得A2=.解析A2=11211121=3243.设=xy.由A2=,得3243xy=12,从而3x+2y=1,4x+3y=2.解得x=-

12、1,y=2,所以=-12.评析本题考查矩阵运算法则等基础知识,对运算能力有一定的要求,属中等难度题.3.(2012江苏,21B,10分)已知矩阵A的逆矩阵A-1=-143412-12,求矩阵A的特征值.解析因为A-1A=E,所以A=(A-1)-1.因为A-1=-143412-12,所以A=(A-1)-1=2321,于是矩阵A的特征多项式为f()=-2-3-2-1=2-3-4.令f()=0,解得A的特征值1=-1,2=4.评析本题主要考查矩阵的基础知识,考查运算求解能力.4.(2014福建,21(1),7分)已知矩阵A的逆矩阵A-1=2112.()求矩阵A;()求矩阵A-1的特征值以及属于每个特

13、征值的一个特征向量.解析()因为矩阵A是矩阵A-1的逆矩阵,且|A-1|=22-11=30,所以A=132-1-12=23-13-1323.()矩阵A-1的特征多项式为f()=-2-1-1-2=2-4+3=(-1)(-3),令f()=0,得矩阵A-1的特征值为1=1或2=3,所以1=1-1是矩阵A-1的属于特征值1=1的一个特征向量,2=11是矩阵A-1的属于特征值2=3的一个特征向量.【三年模拟】解答题(共60分)1.(2019届江苏南京六校调研)设矩阵A满足A1206=-1-203,求矩阵A的逆矩阵A-1.解析A=-1-2031206-1=-1-2031-13016=-10012.因为de

14、t A=-12,所以A-1=-1002.2.(2018江苏南京、盐城一模)已知矩阵M=2001,求圆x2+y2=1在矩阵M的变换下所得的曲线方程.解析设P(x0,y0)是圆x2+y2=1上任意一点,则x02+y02=1.设点P(x0,y0)在矩阵M对应的变换下所得的点为Q(x,y),则xy=2001x0y0,即x=2x0,y=y0,解得x0=12x,y0=y.代入x02+y02=1,得x24+y2=1,即为所求的曲线方程.3.(2017江苏镇江期末)已知实数a,b,矩阵A=2ab-1对应的变换将直线x-y-1=0变换为自身,求a,b的值.解析设直线x-y-1=0上任意一点P(x,y)在变换TA

15、的作用下变成点P(x,y).由2ab-1xy=xy,得x=2x+ay,y=bx-y.因为P(x,y)在直线x-y-1=0上,所以x-y-1=0,即(2-b)x+(a+1)y-1=0.又因为P(x,y)在直线x-y-1=0上,所以x-y-1=0.因此2-b=1,a+1=-1.解得a=-2,b=1.4.(2018江苏南京、盐城、连云港二模)已知=11为矩阵A=1a-12属于实数的一个特征向量,求和A2.解析因为1a-1211=11,所以1+a=,-1+2=,解得a=0,=1,所以A=10-12,所以A2=10-34.5.(2018江苏南京学情调研)设二阶矩阵A=1234.(1)求A-1;(2)若曲

16、线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C:6x2-y2=1,求曲线C的方程.解析(1)根据逆矩阵公式,可得A-1=-2132-12.(2)设曲线C上任意一点P(x,y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P(x,y),则xy=1234xy=x+2y3x+4y,所以x=x+2y,y=3x+4y.因为(x,y)在曲线C上,所以6x2-y2=1,代入得6(x+2y)2-(3x+4y)2=1,化简得8y2-3x2=1,所以曲线C的方程为8y2-3x2=1.6.(2018江苏苏州高三上学期期中调研,21B)已知矩阵A=1221,=42,求A49的值.解析矩阵A的特征多项式f()=-1-2-2-1=2-2-3.令f()=0,解得矩阵A的特征值1=-1,2=3.当=-1时特征向量为1=1-1,当=3时特征向量为2=11,又=42=1+32,A49=1491+32492=350-1350+1.方法点拨解此类题应分成以下几个步骤:一是求特征值,二是根据特征值求特征向量,三是把已知向量用特征向量表示,最后求得结果.