2021-2022学年新教材人教A版数学必修第一册学案：5-4-2-2 单调性与最值 WORD版含答案.docx

1、第2课时单调性与最值教材要点要点正、余弦函数的图象与性质正弦函数余弦函数图象值域_单调性在_(kZ)上递增，在_(kZ)上递减在_(kZ)上递增，在_(kZ)上递减最值x_(kZ)时，ymax1；x_(kZ)时，ymin1x_(kZ)时，ymax1；x_(kZ)时，ymin1(1)正、余弦函数的单调性：求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；单调区间要在定义域内求解；确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断(2)正、余弦函数的最值明确正、余弦函数的有界性，即|sin x|1, |cos x|1；对有些函数，

2、其最值不一定就是1或1，要依赖函数的定义域来决定；形如yA sin (x)(A0，0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令xz，将函数转化为yA sin z的形式求最值基础自测1.思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)在区间0，3上，函数ycos x仅在x0时取得最大值1.()(2)正弦函数在第一象限是增函数()(3)存在实数x，使得cos x.()(4)余弦函数ycos x在0，上是减函数()2下列函数中，既为偶函数又在(0，)上单调递增的是()Aycos |x|Bycos |x|Cysin Dysin 3函数y12cos x的最小值，最大值分别是()A1，3 B1，1C0，3

3、D0，14比较大小：sin _cos .正弦、余弦函数的单调性例1求函数ysin 的单调区间方法归纳求与正、余弦函数有关的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间(2)在求形如yA sin (x)(A0，0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“x”看作一个整体“z”，即通过求yA sin z的单调区间而求出原函数的单调区间求形如yA cos (x)(A0，0)的函数的单调区间同上(3)0时，一般用诱导公式转化为0后求解；若A0，则单调性相反跟踪训练1(1)函数f(x)2sin ，x，0的单调递增区间是()A BC D(2)函数ycos x的单调减区间为_单调

4、性在三角函数中的应用角度1比较大小例2比较下列各组数的大小(1)sin 与sin .(2)cos 与cos .方法归纳比较三角函数值大小的方法(1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值(2)不同名的函数化为同名函数(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间角度2利用正弦、余弦函数的单调性求参数例3已知0，函数f(x)sin 在上单调递减，则的取值范围是()A BC D(0，2)方法归纳对于已知形如yA sin (x)或yA cos (x)(A0，0)的函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子区间；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之

5、间的关系求解跟踪训练2(1)sin 1，sin 2，sin 3的大小关系是()Asin 1sin 2sin 3 Bsin 3sin 2sin 1Csin 2sin 3sin 1 Dsin 3sin 1sin 2(2)若函数f(x)cos 2x(0)在区间上为减函数，在区间上为增函数，则等于()A3 B2C D三角函数的值域(或最值)问题角度1正弦、余弦函数的值域(或最值)问题例4求函数y2sin ，x的值域方法归纳形如yA sin (x)或yA cos (x)的三角函数值域(或最值)问题，要注意x的取值范围一般情况下先利用x的取值范围，求出x的范围，再求三角函数的值域(或最值).角度2形如yA

6、 sin2xB sinxC或yA cos2xB cosxC型的最值(或值域)问题例5求函数ycos2xsinx，x的最大值和最小值及相应的x值方法归纳求形如yA sin2xB sinxC，A0，xR的函数的值域或最值时，可以通过换元，令tsin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性(有时也用t来替换cos x).跟踪训练3(1)函数y2cos 1的最小值是_，此时x_(2)函数y2sin2x2sinx，x的值域是_忽视参数的分类致误例6已知函数y2a sin b的定义域为，函数的最大值为1，最小值为5，求a和b的值解析：0x，2x.sin

7、 1.若a0，则解得若a0，则解得易错警示易错原因纠错心得只考虑a0的情况，漏掉了a0的情况，导致丢解形如yA sin (x)B或yA cos (x)B的函数，其最值与参数A的正负有关，因此在解决这类问题时，要注意对A分A0和A0两种情况进行分类讨论课堂十分钟1下列不等式中成立的是()Asin sin Bsin 3sin 2Csin sin Dsin 2cos 12函数ysin 在区间0，上的单调递增区间为()A BC D3已知函数f(x)2sin 1(xR)，则f(x)在区间上的最大值与最小值分别是()A1，2 B2，1C1，1 D2，24已知函数f(x)sin x(0)，若f(x)在上单调

8、递增，则实数的取值范围是_5求函数ycos2x4cosx1，x的值域第2课时单调性与最值新知初探课前预习要点1，11，12k，2k2k，2k2k2k2k2k基础自测1(1)(2)(3)(4)2答案：C3答案：A4答案：题型探究课堂解透例1解析：ysin sin 由2k2x2k(kZ)，得kxk，kZ.所以函数ysin 的单调增区间为(kZ)，由2k2x2k，(kZ)，得kxk(kZ).所以函数ysin 的单调减区间为(kZ).跟踪训练1解析：(1)令2kx2k，kZ，解得2kx2k，kZ，又x0，x0.故选D.(2)由2kx2k，kZ得2kx12k，kZ，即函数ycos x的单调减区间为.答案

9、：(1)D(2)例2解析：(1)sin sin sin ，sin sin sin ，又ysin x在上单调递增，且0，sin sin ，sin cos ，cos cos .例3解析：方法一由x0，得x.又因为ysin x在上单调递减，所以解得，故选A.方法二由2kx2k，kZ，得x，kZ.因此函数f(x)的单调递减区间为，kZ.由题意知，所以解得，故选A.答案：A跟踪训练2解析：(1)sin 2sin (2)，sin 3sin (3).0312，ysin x在上为增函数，sin (3)sin 1sin (2)，故sin 3sin 10)为减函数，当2x2，即x时，f(x)cos 2x(0)为增

10、函数，由题意知，.故选C.答案：(1)D(2)C例4解析：x，2x，sin .2sin 1，2，故f(x)2sin 在上的值域为1，2.例5解析：ycos2xsinx1sin2xsinxsin2xsinx1令sin xt，x，t，yt2t1，当t，即x时，f(x)有最大值，f(x)max；当t，即x时，f(x)有最小值，f(x)min.跟踪训练3解析：(1)当2x2k，kZ，xk，kZ，ymin213.(2)令tsin x，x，t，y2t22t21，y，故函数f(x)的值域为.答案：(1)3k，kZ(2)课堂十分钟1答案：D2答案：A3答案：A4答案：(0，15解析：x，cos x.ycos2x4cosx1(cos x2)23，当cos x时，ymax；当cos x时，ymin，ycos2x4cosx1的值域为.