2021-2022学年高中数学人教A版选修2-1测评：2-1　曲线与方程 WORD版含解析.docx

1、第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程课后篇巩固提升基础巩固1.方程(2x-3)2+(y+2)2=0表示的曲线是()A.一个圆B.两条直线C.一个点D.两个点解析由已知得2x-3=0,y+2=0,解得x=32,y=-2,所以方程表示一个点32,-2.答案C2.与点A(-1,0)和点B(1,0)连线的斜率之和为-1的动点P的轨迹方程是()A.x2+y2=3B.x2+2xy=1(x1)C.y=1-x2D.x2+y2=9(x0)解析设P(x,y),因为kPA+kPB=-1,所以y-0x-(-1)+y-0x-1=-1,整理得x2+2xy=1(x1).答案B3.方程x-1=1-(y-1)2表示的曲线是()

2、A.一个圆B.两个半圆C.两个圆D.半个圆解析方程x-1=1-(y-1)2等价于(x-1)2+(y-1)2=1(x1),表示的曲线是半个圆.故选D.答案D4.“点M在曲线y2=4x上”是点M的坐标满足方程y=-2x的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析点M在曲线y2=4x上,其坐标不一定满足方程y=-2x,但当点M的坐标满足方程y=-2x时,则点M一定在曲线y2=4x上.答案B5.方程x2+y2=1(xy0)表示的曲线是()解析由xy0可知,对应的曲线在第一、三象限.故选B.答案B6.已知点A(a,2)既是曲线y=mx2上的点,也是直线x-y=0上的

3、一点,则m=,a=.解析由题意知2=ma2,a-2=0,解得a=2,m=12.答案1227.已知定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于.解析设P(x,y),由|PA|=2|PB|得(x+2)2+y2=2(x-1)2+y2,整理得x2-4x+y2=0,即(x-2)2+y2=4.故点P的轨迹是以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,S=r2=4.答案48.已知A(2,1),B(2,-1),O为坐标原点,动点P(x,y)满足OP=mOA+nOB,其中m,nR,且m2+n2=12,则动点P的轨迹方程是.解析点P满足OP=mOA+nOB,其中

4、m,nR,(x,y)=(2m+2n,m-n),x=2m+2n,y=m-n,m=x+2y4,n=x-2y4.m2+n2=12,x+2y42+x-2y42=12,即x24+y2=1.答案x24+y2=19.如图,圆O1与圆O2的半径都是1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM,PN(M,N分别为切点),使得|PM|=2|PN|,试建立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.解以O1O2的中点为原点,O1O2所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,得O1(-2,0),O2(2,0).连接PO1,O1M,PO2,O2N.由已知|PM|=2|PN|,得|PM|2=2|PN|2,又在

5、RtPO1M中,|PM|2=|PO1|2-|MO1|2,在RtPO2N中,|PN|2=|PO2|2-|NO2|2,即得|PO1|2-1=2(|PO2|2-1).设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1,化简得(x-6)2+y2=33.因此所求动点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.10.已知曲线C的方程是y2-xy+2x+k=0.(1)若点(1,-1)在曲线C上,求k的值;(2)当k=0时,判断曲线C是否关于x轴、y轴、原点对称?解(1)因为点(1,-1)在曲线C上,所以(-1)2-1(-1)+21+k=0,解得k=-4.(2)当k=0时,曲线C的方程为y2-xy

6、+2x=0.以-x代替x,y不变,方程化为y2+xy-2x=0,所以曲线C不关于y轴对称;以-y代替y,x不变,方程化为y2+xy+2x=0,所以曲线C不关于x轴对称;同时以-x代替x,-y代替y,方程化为(-y)2-(-x)(-y)+2(-x)=0,即y2-xy-2x=0,所以曲线C不关于原点对称.能力提升1.已知02,点P(cos ,sin )在曲线(x-2)2+y2=3上,则的值为()A.3B.53C.3或53D.3或6解析将点P坐标代入曲线方程,得(cos-2)2+sin2=3,则cos=12.又因为02,所以=3或=53.答案C2.设方程f(x,y)=0的解集非空,若命题“坐标满足方

7、程f(x,y)=0的点都在曲线C上”是不正确的,则下面说法正确的是()A.坐标满足f(x,y)=0的点都不在曲线C上B.曲线C上的点的坐标不满足f(x,y)=0C.坐标满足f(x,y)=0的点有些在曲线C上,有些不在曲线C上D.一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0解析“坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上”不正确,就是说“坐标满足方程f(x,y)=0的点不都在曲线C上”是正确的.这意味着一定有这样的点(x0,y0),虽然满足方程f(x,y)=0,但(x0,y0)C.即一定有不在曲线C上的点,其坐标满足f(x,y)=0,故应选D.答案D3.点O(0,0),A(1,-2),动

8、点P满足|PA|=3|PO|,则点P的轨迹方程是()A.8x2+8y2+2x-4y-5=0B.8x2+8y2-2x-4y-5=0C.8x2+8y2-2x+4y-5=0D.8x2+8y2+2x+4y-5=0解析设动点P(x,y),满足|PA|=3|PO|,即|PA|2=9|PO|2,又由O(0,0),A(1,-2)得,(x-1)2+(y+2)2=9(x2+y2),化简整理可得,8x2+8y2+2x-4y-5=0.故选A.答案A4.方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形的面积为.解析方程|x|+|y|=1所表示的曲线C围成的图形是正方形ABCD(如图),其边长为2.故方程|x|+|y|=1

9、所表示的曲线C围成的图形的面积为2.答案25.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线,且|PA|=1,则动点P的轨迹方程是.解析圆(x-1)2+y2=1的圆心为B(1,0),半径r=1,则|PB|2=|PA|2+r2,所以|PB|2=2.故P的轨迹方程为:(x-1)2+y2=2.答案(x-1)2+y2=26.方程为2x2-9xy+8y2=0的曲线C所满足的性质为(填上所有正确的序号).不经过第二、四象限;关于x轴对称;关于原点对称;关于直线y=x对称.解析由2x2-9xy+8y2=0,得9xy=2x2+8y20,所以x,y同号或为零,故不经过第二、四象限,故正确;由2x2-9x

10、y+8y2=0,以-y换y,得到2x2+9xy+8y2=0,故不关于x轴对称,故错误;由2x2-9xy+8y2=0,以-y换y,以-x换x,得到2x2-9xy+8y2=0,故关于原点对称,故正确;由2x2-9xy+8y2=0,以x,y互换得到2y2-9xy+8x2=0,故不关于直线y=x对称,故错误.答案7.过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于点A,l2交y轴于点B,求线段AB的中点M的轨迹方程.解方法一:如图,设点M的坐标为(x,y),M为线段AB的中点,A点的坐标为(2x,0),B点的坐标为(0,2y).l1l2,且l1,l2过点P(2,4),PAPB,即kPAk

11、PB=-1,而kPA=4-02-2x=21-x(x1),kPB=4-2y2-0=2-y1,21-x2-y1=-1(x1),整理得x+2y-5=0(x1).当x=1时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4),线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0.综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0.方法二:设点M的坐标为(x,y),则A,B两点的坐标分别是(2x,0),(0,2y),连接PM(如图).l1l2,2|PM|=|AB|.而|PM|=(x-2)2+(y-4)2,|AB|=(2x)2+(2y)2,2(x-2)2+(y-4)2=4x2+4y2,化简得x+2y-5=0,即为所求的点M的轨迹方程.8.设定点M(-3,4),动点N在圆x2+y2=4上运动,以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点P的轨迹方程.解如图所示,设P(x,y),N(x0,y0),则线段OP的中点坐标为x2,y2,线段MN的中点坐标为x0-32,y0+42.因为平行四边形的对角线互相平分,所以x2=x0-32,y2=y0+42,从而有x0=x+3,y0=y-4.由N(x+3,y-4)在圆上,得(x+3)2+(y-4)2=4.因此所求点P的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点:-95,125,-215,285.