2024届高三数学二轮专题复习——17分综合新定义压轴问题分类汇编（学生版）.pdf

1、1九省联考后 17 分综合新定义压轴问题分类整理目录一、数列新定义二、平面向量新定义三、圆锥曲线新定义四、三角函数新定义五、函数新定义六、概率新定义七、集合新定义八、复数新定义九、高等数学新知识2数列新定义1 国际象棋是国际通行的智力竞技运动.国际象棋使用 8 8 格黑白方格相间棋盘，骨牌为每格与棋盘的方格大小相同的 1 2 格灰色方格.若某种黑白相间棋盘与骨牌满足以下三点：每块骨牌覆盖棋盘的相邻两格；棋盘上每一格都被骨牌覆盖；没有两块骨牌覆盖同一格，则称骨牌构成了棋盘的一种完全覆盖.显然，我们能够举例说明 8 8 格黑白方格相间棋盘能被骨牌完全覆盖.(1)证明：切掉 8 8 格黑白方格相间棋

2、盘的对角两格，余下棋盘不能被骨牌完全覆盖；(2)请你切掉 8 8 格的黑白方格相间棋盘的任意两个异色方格，然后画出余下棋盘的一种骨牌完全覆盖方式，并证明：无论切掉的是哪两个异色方格，余下棋盘都能被骨牌完全覆盖；(3)记 m n 格黑白方格相间棋盘的骨牌完全覆盖方式数为 F(m,n)，数列 F(2,n)的前 n 项和为 Sn，证明：Sn=F(2,n+2)-2.32 2023 年 10 月 11 日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建 255 个光子的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.相较传统计算机的经典比特只能处于 0 态或 1 态，量子

3、计算机的量子比特(qubit)可同时处于 0 与 1 的叠加态，故每个量子比特处于0 态或 1 态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有 p 的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为 X.(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为 2，且 p=13，求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为 2 的概率

4、；(2)若一条信息有 n n 1,n N*种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为 p1，p2，pn，则称 H=f p1+f p2+f pn(其中 f x=-xlog2x)为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为 X 的信息熵 H；(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为 Y(Y=1，2，3，n，).证明：当 n 无限增大时，Y 的数学期望趋近于一个常数.参考公式：0 q 1 时，limn+qn=0，limn+nqn=0.43“q-数”

5、在量子代数研究中发挥了重要作用.设 q 是非零实数，对任意 n N*，定义“q-数”(n)q=1+q+qn-1利用“q-数”可定义“q-阶乘”n!q=(1)q(2)q(n)q,且 0!q=1.和“q-组合数”，即对任意 k N,n N*,k n，nkq=n!qk!q n-k!q(1)计算：532；(2)证明：对于任意 k,n N*,k+1 n，nkq=n-1k-1q+qk n-1kq(3)证明：对于任意 k,m N,n N*,k+1 n，n+m+1k+1q-nk+1q=mi=0qn-k+i n+ikq.4 约数，又称因数.它的定义如下：若整数 a 除以整数 m m 0除得的商正好是整数而没有余

6、数，我们就称 a 为 m 的倍数，称 m 为 a 的约数.设正整数 a 共有 k 个正约数，即为 a1,a2,ak-1,ak a1 a2 ak.(1)当 k=4 时，若正整数 a 的 k 个正约数构成等比数列，请写出一个 a 的值；(2)当 k 4 时，若 a2-a1,a3-a2,ak-ak-1构成等比数列，求正整数 a；(3)记 A=a1a2+a2a3+ak-1ak，求证：A a2.55 若无穷数列 an的各项均为整数且对于 i,j N*，i j，使得 ak=aiaj-ai-aj，则称数列 an满足性质 P(1)判断下列数列是否满足性质 P，并说明理由 an=n，n=1，2，3，；bn=n+

7、2，n=1，2，3，(2)若数列 an满足性质 P，且 a1=1，求证：集合 n N*an=3为无限集；(3)若周期数列 an满足性质 P，求数列 an的通项公式6 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具，并且有广泛的应用对于数列 an，规定 an为数列 an的一阶差分数列，其中 an=an+1-ann N*，规定 2an为数列 an的二阶差分数列，其中 2an=an+1-an n N*(1)数列 an的通项公式为 an=n3 n N*，试判断数列 an,2an是否为等差数列，请说明理由？(2)数列 logabn是以 1 为公差的等差数列，且

8、 a 2，对于任意的 n N*，都存在 m N*，使得 2bn=bm，求a 的值；(3)各项均为正数的数列 cn的前 n 项和为 Sn，且 cn为常数列，对满足 m+n=2t，m n 的任意正整数 m,n,t 都有 cm cn，且不等式 Sm+Sn St恒成立，求实数 的最大值67 基本不等式可以推广到一般的情形：对于 n 个正数 a1,a2,an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即 a1+a2+ann n a1a2 an，当且仅当 a1=a2=an时，等号成立若无穷正项数列 an同时满足下列两个性质：M 0,an 1若 m (a-b)，则称 a与 b 关于模 m 同余，记作 a b(mo

9、dm)(“|”为整除符号)(1)解同余方程：x2+2x 0(mod3)；(2)设(1)中方程的所有正根构成数列 an，其中 a1 a2 a3 i N0 i,j N*，都有 ai aj，则称数列an为“I 数列”；(1)在下列情况下，分别判断 an是否“P 数列”，是否“I 数列”？a1=1，a2=2，an+2=-an+an+1；a1=5，an+1=2 an-3；(2)若数列 an:a1 a2 0，an+2=k2 an+1+an是“I 数列”，其中 k Z 且 k 0，求 k 的所有可能值；(3)设“I 数列”an和“P 数列”bn的各项均为正数，定义分段函数 f x，x 1,+如下：记 x为“

10、不超过 x 的最大正整数”，f x=fx=a xb x证明：若 f x是周期函数，则 an是“P 数列”.911 同余定理是数论中的重要内容同余的定义为：设 a，b Z，m N*且 m 1若 m(a-b)则称a 与 b 关于模 m 同余，记作 a b(modm)(“|”为整除符号)(1)解同余方程 x2-x 0(mod3)；(2)设(1)中方程的所有正根构成数列 an，其中 a1 a2 a3 b 0)，点 A 为椭圆短轴的上顶点，点 P 是椭圆 上异于点 A 的一个动点若动点 P 到定点 A 的距离的最大值仅在 P 点为短轴得另一顶点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知 b=2.(1)若 a=

11、5，判断椭圆 是否为“圆椭圆”；(2)若椭圆 是“圆椭圆”，求 a 的取值范围；(3)已知椭圆 是“圆椭圆”，且 a 取最大值，点 P 关于原点 O 的对称点为点 Q(点 Q 也异于点 A)，且直线AP、AQ 分别与 x 轴交于 M、N 两点试问以线段 MN 为直径的圆是否过定点？证明你的结论15 交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用设 A，B，C，D 是直线 l 上互异且非无穷远的四点，则称 ACBC BDAD(分式中各项均为有向线段长度，例如 AB=-BA)为 A，B，C，D 四点的交比，记为(A,B;C,D)(1)证明：1-(D,B;C,A)=1(B,A;C,D)；(2)

12、若 l1，l2，l3，l4为平面上过定点 P 且互异的四条直线，L1，L2为不过点 P 且互异的两条直线，L1与 l1，l2，l3，l4的交点分别为 A1，B1，C1，D1，L2与 l1，l2，l3，l4的交点分别为 A2，B2，C2，D2，证明：(A1,B1;C1,D1)=(A2,B2;C2,D2)；(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若 EFG 与 EFG 的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，则 EFG 与 EFG 对应边的交点在一条直线上12三角函数新定义16 如图 1“Omniverse 雕塑”将数学和物理动力学完美融合，遵循周而复始，成就无限，局部可以抽象成如图 2，点 P

13、 以 P0为起始点，在以 O 为圆心，半径为 2(单位：10 米)，按顺时针旋转且转速为 4 rad/s(相对于 O 点转轴的速度)的圆周上，点 O 到地面的距离为 a，且 a 3(单位：10 米)，点 Q 在以 P 为圆心，半径为 1(单位：10 米)的圆周上，且在旋转过程中，点 Q 恒在点 P 的正上方，设转动时间为 t 秒，建立如图 3 平面直角坐标系 xoy (1)求经过 t 秒后，点 P 到地面的距离 PH；(2)若 t 0,8时，圆周上存在 4 个不同点 P，使得 2OQ=PH 成立，求实数 a 的取值范围17 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691 年，

14、莱布尼茨等得出“悬链线”方程 y=c exc+e-xc2，其中 c 为参数.当 c=1 时，就是双曲余弦函数 coshx=ex+e-x2，类似地我们可以定义双曲正弦函数 sinhx=ex-e-x2.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:sinh2x=.(只写出即可，不要求证明)；(2)x -1,1，不等式 cosh2x+mcoshx 0 恒成立，求实数 m 的取值范围；(3)若 x 4,32，试比较 cosh(sinx)与 sinh(cosx)的大小关系，并证明你的结论.13函数新定义18 对于函数 y=f(x)，若函数 F(x

15、)=f(x+1)-f(x)是严格增函数，则称函数 y=f(x)具有性质 A.(1)若 f(x)=x2+2x，求 F(x)的解析式，并判断 f(x)是否具有性质 A；(2)判断命题“严格减函数不具有性质 A”是否为真命题，并说明理由；(3)若函数 f(x)=kx2+x3(x 0)具有性质 A，求实数 k 的取值范围，并讨论此时函数 g x=f sinx-sinx在区间 0,上零点的个数.19 在数列 an中，若存在常数 t，使得 an+1=a1a2a3 an+t n N*恒成立，则称数列 an为“H(t)数列”(1)若 cn=1+1n，试判断数列 cn是否为“H(t)数列”，请说明理由；(2)若

16、数列 an为“H(t)数列”，且 a1=2，数列 bn为等比数列，且ni=1a2i=an+1+log2bn-t，求数列 bn的通项公式；(3)若正项数列 an为“H(t)数列”，且 a1 1，t 0，证明：lnan an-114概率新定义20 2023 年 11 月，我国教育部发布了中小学实验教学基本目录，内容包括高中数学在内共有 16 个学科 900 多项实验与实践活动.我市某学校的数学老师组织学生到“牛田洋”进行科学实践活动，在某种植番石榴的果园中，老师建议学生尝试去摘全园最大的番石榴，规定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，学生小明两手空空走出果园，因为他不知道前面是否有更大的

17、，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设小明在果园中一共会遇到 n 颗番石榴(不妨设 n 颗番石榴的大小各不相同)，最大的那颗番石榴出现在各个位置上的概率相等，为了尽可能在这些番石榴中摘到那颗最大的，小明在老师的指导下采用了如下策略：不摘前 k(1 k n)颗番石榴，自第 k+1 颗开始，只要发现比他前面见过的番石榴大的，就摘这颗番石榴，否则就摘最后一颗.设 k=tn，记该学生摘到那颗最大番石榴的概率为 P.(1)若 n=4,k=2，求 P；(2)当 n 趋向于无穷大时，从理论的角度，求 P 的最大值及 P 取最大值时 t 的值.(取 1k+1k+1+1n-1=

18、ln nk)21 某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量 X 的期望 E X和方差 D X存在但其分布末知的情况下，对事件“X-E X”的概率作出上限估计，其中 为任意正实数.切比雪夫不等式的形式为：P X-E X f D X,，其中 f D X,是关于D X和 的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定 f D X,的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据所学相关知识，确定该形式是()A.D X 2B.1D X 2C.2D XD.D X215集合新定义22 已知集合 A 中含有三个元素 x,y,z，同时满足 x y z；x+y+z 为偶数，那么称集合

19、 A 具有性质 P.已知集合 Sn=1,2,3,2n(n N*,n 4)，对于集合 Sn的非空子集 B，若 Sn中存在三个互不相同的元素 a,b,c，使得 a+b,b+c,c+a 均属于 B，则称集合 B 是集合 Sn的“期待子集”.(1)试判断集合 A=1,2,3,5,7,9是否具有性质 P，并说明理由；(2)若集合 B=3,4,a具有性质 P，证明：集合 B 是集合 S4的“期待子集”；(3)证明：集合 M 具有性质 P 的充要条件是集合 M 是集合 Sn的“期待子集”.23 对集合 E，定义其特征函数 XE x=1,x E0,x E，考虑集合 E1,E2,En和正实数 a1,a2,an，

20、定义Sa,E(x)=ni=1aiXEi(x)为 L 和式函数.设 Ei=mi,Mi，则 E1,E2,En为闭区间列；如果集合 E1,E2,En对任意 1 i j n，有 Ei Ej=，则称 E1,En是无交集合列，设集合 Pn E=E1 E2 En.(1)证明：L 和式函数的值域为有限集合；(2)设 E1,E2,En为闭区间列，Sa,E x是定义在 Pn E上的函数.已知存在唯一的正整数 m，各项不同的非零实数 c1,c2,cm，和无交集合列 F1,F2,Fm 使得 Pm F=Pn E，并且mi=1ciXFi(x)=Sa,E(x)，称mi=1ciXFi(x)为 L 和式函数 Sa,E x的典范

21、形式.设 m 为 Sa,E x的典范数.(i)设 m1 M1 m2 M2 mn Mn，证明：m n；(ii)给定正整数 n，任取正实数 a1,a2,an和闭区间列 E1,E2,En，判断 Sa,E x的典范数 m 最大值的存在性.如果存在，给出最大值；如果不存在，说明理由.16复数新定义24 设 M 是由复数组成的集合，对 M 的一个子集 A，若存在复平面上的一个圆，使得 A 的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且 MA 中的数对应的点都在圆外，则称 A 是一个 M 的“可分离子集”(1)判断 1,2,3 是否是 i,1,2,3 的“可分离子集”，并说明理由；(2)设复数 z 满足 0

22、 Re(z)1,0 Im(z)1，其中 Re(z),Im(z)分别表示 z 的实部和虚部证明：z,z是 1,iz,z,z 的“可分离子集”当且仅当|z|1高等数学新知识25 设数阵 A0=a11a12a21a22，其中 a11,a12,a21,a22 1,2,3,4,5,6设 S=e1,e2,el 1,2,3,4,5,6，其中 e1 e2 el,l N*且 l 6定义变换 k为“对于数阵的每一行，若其中有 k 或-k，则将这一行中每个数都乘以-1；若其中没有 k 且没有-k，则这一行中所有数均保持不变”k=e1,e2,el.s A0表示“将A0经过 e1变换得到 A1，再将 A1经过 e2变换

23、得到 A2,以此类推，最后将 Al-1经过 el变换得到 Al记数阵 Al中四个数的和为 Ts A0(1)若 A0=1336,S=1,3，写出 A0经过 1变换后得到的数阵 A1，并求 Ts A0的值；(2)若 A0=1336,S=e1,e2,e3，求 Ts A0的所有可能取值的和；(3)对任意确定的一个数阵 A0，证明：Ts A0的所有可能取值的和不超过-41726 定义 1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族(collection).定义 2：集合 X 上的一个拓扑(topology)乃是 X 的子集为元素的一个族，它满足以下条件：(1)和 X 在 中；(2)的任意子集的元素的并在

24、中；(3)的任意有限子集的元素的交在 中.(1)族 P=,X，族 Q=x x X，判断族 P 与族 Q 是否为集合 X 的拓扑；(2)设有限集 X 为全集(i)证明：X A1 A2 An=XA1 XA2 XAnn N*(ii)族 为集合 X 上的一个拓扑，证明：由族 所有元素的补集构成的族 f 为集合 X 上的一个拓扑.27 若函数 f x的定义域、值域都是有限集合 A=a1,a2,an，n N*，则定义 f x为集合 A 上的有限完整函数.已知 g x是定义在有限集合 M=1,2,3,4,5,6,7上的有限完整函数.(1)求7i=1ig(i)的最大值；(2)当 i=1,2,3,4 时，均有

25、g i b 0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 12 经过点 F1且倾斜角为 0 2的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点(其中点 A 在 x 轴上方)，且 ABF2的周长为 8将平面 xOy沿 x 轴向上折叠，使二面角 A-F1F2-B 为直二面角，如图所示，折叠后 A，B 在新图形中对应点记为 A，B (1)当 =3 时，求证：AO BF2；求平面 AF1F2和平面 ABF2所成角的余弦值；(2)是否存在 0 2，使得折叠后 ABF2的周长为 152？若存在，求 tan 的值；若不存在，请说明理由1929 数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数四元数在计算机图形学中有广泛应用，

26、主要用于描述空间中的旋转集合 H=d+ai+bj+ck a,b,c,d R中的元素 =d+ai+bj+ck 称为四元数，其中 i,j,k 都是虚数单位，d 称为 的实部，ai+bj+ck 称为 的虚部两个四元数之间的加法定义为d1+a1i+b1j+c1k+d2+a2i+b2j+c2k=d1+d2+a1+a2i+b1+b2j+c1+c2k两个四元数的乘法定义为：ij=-ji=k,jk=-kj=i,ki=-ik=j,i2=j2=k2=-1,四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律对于四元数，若存在四元数 使得 =1，称 是 的逆，记为 =-1实部为 0 的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记

27、为 W(1)设 a,b,c,d R,四元数 =d+ai+bj+ck记*=d-ai-bj-ck 表示 的共轭四元数(i)计算*；(ii)若 0，求-1；(iii)若 0,W，证明：-1 W；(2)在空间直角坐标系中，把空间向量 =(a,b,c)与纯四元数 =ai+bj+ck 看作同一个数学对象设,W,=12(-)(i)证明：W;(ii)若,是平面 X 内的两个不共线向量，证明：是 X 的一个法向量30 已知空间向量列 an，如果对于任意的正整数 n，均有 an+1-an=d，则称此空间向量列 an为“等差向量列”，d 称为“公差向量”；空间向量列 bn，如果 b1 0 且对于任意的正整数 n，均

28、有 bn+1=q bn，q 0，则称此空间向量列 bn为“等比向量列”，常数 q 称为“公比”.(1)若 an是“等差向量列”，“公差向量”d=(1,1,0)，a1=0,1,1，an=xn,yn,zn；bn是“等比向量列”，“公比”q=2，b1=12,12,0，bn=mn,kn,tn.求 a1 b1+a2 b2+an bn；(2)若 an是“等差向量列”，a1=(0,0,0)，记 cn=an，m N 且 m 1，等式 S(m)=c1+c2+c3+cm=c1-c+c2-c+c3-c+cm-c对于 c=1 和 2 均成立，且 S(m)=507，求 m 的最大值.2031 有一种曲线画图工具如图 1

29、 所示，O 是滑槽 AB 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 DM=DN=ON=1.当栓子 D 在滑槽 AB 内做往复运动时，带动 N 绕 O 转动，跟踪动点 N 的轨迹得到曲线 C1，跟踪动点 M 的轨迹得到曲线 C2，以 O 为原点，AB 所在的直线为 x 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系.(1)分别求曲线 C1和 C2的方程；(2)曲线 C1 与 x 轴的交点为 E，F，动直线 l:y=kx+m 与曲线 C1 相切，且与曲线 C2 交于 P，Q 两点，求EPQ 的面积与 FPQ 的面积乘积的取值

30、范围.32 十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字 0 和 1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数 1 在二进制中就表示为 12，2 表示为 102，3 表示为 112，5 表示为 1012，发现若 n N+可表示为二进制表达式 a0a1a2 ak-1ak2，则 n=a0 2k+a12k-1+ak-1 21+ak，其中 a0=1，ai=0 或 1(i=1,2,k).(1)记 S n=a0+a1+ak-1+ak，求证：S 8n+3=S 4n+3；(2)记 I n为整数 n 的二进制表达式中的 0 的个数，如 I 2=1，I 3=0.()

31、求 I 60；()求511n=12I n(用数字作答).2133 给定正整数 N 3，已知项数为 m 且无重复项的数对序列 A：x1,y1,x2,y2,xm,ym满足如下三个性质：xi,yi 1,2,N，且 xi yi i=1,2,m；xi+1=yi i=1,2,m-1；p,q与 q,p不同时在数对序列 A 中.(1)当 N=3，m=3 时，写出所有满足 x1=1 的数对序列 A；(2)当 N=6 时，证明：m 13；(3)当 N 为奇数时，记 m 的最大值为 T N，求 T N.34 一次课外活动举行篮球投篮趣味比赛，选手在连续投篮时，第一次投进得 1 分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得 0 分，且下一次投进得 1 分已知某同学连续投篮 n 次，总得分为 X，每次投进的概率为 13，且每次投篮相互独立(1)当 n=30 时，判断 E X与 10 的大小，并说明理由；(2)当 n=3 时，求 X 的概率分布列和数学期望；(3)记 X=3 的概率为 Pn n 2,n N*，求 Pn的表达式