40、圆中最定值（修订版）.pdf

1、1圆中最定值类型一、圆中将军饮马例 1、如图，AB 是O 的直径，AB=10cm，M 是半圆 AB 的一个三等分点，N 是半圆 AB 的一个六等分点，P 是直径 AB 上一动点，连接 MP、NP，则 MP+NP 的最小值是_1、已知圆 O 的面积为 3，AB 为直径，弧 AC 的度数为 80 度，弧 BD 的度数为 20 度，点 P 为直径 AB 上任一点，则 PC+CD 的最小值为_2、如图，菱形 ABC 中，A=60 度，AB=3,圆 A、圆 B 的半径为 2 和 1,P、E、F 分别是 CD，圆 A 和圆 B 上的动点，则 PE+PF 的最小值为_类型二、折叠隐圆【基本原理】（一箭穿心）

2、点 A 为圆外一点，P 为圆 O 上动点，连接 AO 并延长交圆于 P1、P2，则 AP 的最小值为 AP2,最大值为 A P1例、如 图 4，在 边 长 为 2 的 菱 形 ABCD 中，A=60，M 是 AD 边 的 中 点，N 是 AB 边 上 一 动点，将 AMN 沿 MN 所 在 的 直 线 翻 折 得 到 AMN，连 接 AC，请 求 出 AB 长 度 的 最 小 值 1、已知一个矩形纸片 OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点 A（11，0），点 B（0，6），点 P 为BC 边上的动点（点 P 不与点 B、C 重合），经过点 O、P 折叠该纸片，则 CB的最小值为_2、四

3、边形 ABCD 中，ADBC，A=90,AD=1，AB=2,BC=3,P 是线段 AD 上一动点，将ABP 沿 BP 所在直线翻折得到QBP，则CQD 的面积最小值为_2类型三、随动位似隐圆例、在 RtABC 中，ACB=90，BAC=30，BC=6 点 D 是边AC 上一点 D 且 AD=23，将线段 AD 绕点 A 旋转得线段 AD，点 F 始终为 BD的中点，则将线段 CF 最大值为_分析：易知 D轨迹为以 A 为圆心 AD 为半径的圆，则在运动过程中 AD为定值 23，故取 AB 中点 G，则FG 为中位线，FG=1/2 AD=3,故 F 点轨迹为以 G 为圆心，3 为半径的圆。问题实

4、质为已知圆外一点 C 和圆 G 上一点 F，求 CF 的最大值。思路 2：倍长 BC 到 B，则 CF 为 BDB 的中位线，CF=1/2 BD,当 BD最大时，CF 也取最大值，问题实质为 D 在圆 A 上运动至何处时，BD 取最大。【方法归纳】、如图，点 A 和点 O1 为定点，圆 O1 半径为定值，P 为圆 O1 上动点，M 为 AP 中点点 M运动轨迹为圆 O2，且 O2 为 AO1 中点。、构造中位线1、如图，在 RtABC 中，ACB=90，D 是 AC 的中点，M 是 BD 的中点，将线段 AD 绕 A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点 M 是 BD 的中点），若 AC=4，BC

5、=3，那么在旋转过程中，线段 CM 长度的取值范围是_2、如图，ABC 是边长为 2 的等边三角形，以 AC 为直径作半圆，P 为半圆上任意一点，M 为 BP 中点，则在点 P 由 A 到 C 运动过程中，点 M 运动路径长为_3类型四、定性分析垂线段最短例、如 图，半 圆 O 的 半 径 为 1，AC AB，BD AB，且 AC=1，BD=3，P 是 半 圆 上 任 意 一 点，则 封 闭 图 形 ABDPC 面 积 的 最 大 值 是 _【分析】：思路 1、连接 CD、梯形 ABCD 面积为定值，要使封 闭 图 形 ABDPC 面 积 取 最 大 值，则 使 CPD 面积取最小即可，CPD

6、 中，底边 CD 为定值，则当高取最小值时，面积有最小值，故问题变成当点 P在圆上运动至何处时，点 P 到 CD 距离最小。C、D、O 为定点，则点 O 到 CD 距离为定值,计算 CD、OC、OD长，由勾逆知 OCCD，设点 P 到 CD 距离为 h，则 h+rOC，hOC-r，即当 O、P、M 三点共线时，h 有最小值，此时 M 与点 C 重合，故 OC 与圆 O 交点即为所求点 P。思路 2：P 点的确定也可以这样想，平移 CD，设平移后的直线为 m，则直线 m 与 CD 间的距离即为CD 边上的高，显然，当直线 m 与圆 O 相切时，高 h 有最小值。1、如图，P 为圆 O 内一个定点

7、，A 为圆 O 上一个动点，射线 AP,AO 分别与圆 O 交于 B，C 两点，若圆 O 的半径为 3，OP=3，则弦 BC 的最大值为_2、如图，AB 为O 的直径，C 为半圆的中点，C 的半径为 2，AB=8，点 P 是直径 AB 上的一动点，PM 与C 切于点 M，则 PM 的取值范围为_4类型五、定弦定角【基本原理】如图 1O 中，A、B 为定点，则 AB 为定弦，点 C 为优弧上任一点，在 C 点运动过程中则ACB 的度数不变逆运用如图 2、点 A、B 为定点，点 C 为线段 AB 外一点，且ACB=（为固定值）点 C 在以AB 为弦的圆上运动（不与 A、B 重合）图 1图 2例、如

8、图，AB 为定长，点 C 为线段 AB 外一点，且满足ACB=60 度，请在图中画出点 C 的运动轨迹，简要说明作图步骤步骤 1、_步骤 2、_练习、1、如图，AB 为定长，点 C 为线段 AB 外一点，且满足ACB=120 度，请在图中画出点 C 的运动轨迹,并写出圆心角AOB=_2、如图，AB 为定长，点 C 为线段 AB 外一点，且满足ACB=120 度，请在图中画出点 C 的运动轨迹,5【实战应用】例、如图，O 的半径为 1，弦 AB=1，点 P 为优弧 AB 上一动点，ACAP 交直线 PB 于点 C，则ABC 的最大面积是_1、如图，ABC 是边长为 2 的等边三角形，D 是边 B

9、C 上的动点，BEAD 于 E，则 CE 的最小值为_2、如图，RtABC 中，ABBC，AB=6，BC=4，P 是ABC 内部的一个动点，且满足PAB=PBC，则线段CP 长的最小值为_类型六、定弦定角反客为主例、如图，XOY=45，一把直角三角尺 ABC 的两个顶点 A、B 分别在 OX、OY 上移动，其中 AB=10，那么点 O 到顶点 A 的距离最大值为_点 O 到 AB 的距离的最大值为_【分析】：题意中 AB 为定长线段在角的两边滑动，O 为定点，滑动中 C 为动点，AB 两点位置发生变化，点O 到 AB 距离的最大值的确定有难度，若改变思路，借助物理中运动的相对性可知，若将ABC

10、 固定，将XOY 的两边绕 AB 滑动，与原题中运动效果等价，题目中数量关系不会发生改变。问题则变为当点 O 在圆上运动至何处时，点 O 到 AB 距离最大。1、如图，D,E 分别为等腰直角三角形 ABC 的边 AC、AB 上的点，且 DE=22,以 DE 为边向外作正方形 DEFG，6则 AF 的最大值为_2、如图，ABC 中，ABC=45，AC=2，半径为5 的圆 O 始终过 A、C 两点，连接 OB，则线段 OB 长的的最大值为_类型七、定弦定角条件的确定例、如图，扇形 AOD 中，AOD=90，OA=6，点 P 为弧 AD 上任意一点（不与点 A 和 D 重合），PQOD于点 Q，点

11、I 为OPQ 的内心，则当点 P 在弧 AD 上运动时，求 I 点运动路径长。分析：由内心的基本结论知 PIO=90o+1/2PHO=135o为定角，但其所对的边 OP并非定弦，连 ID，易证 AIOOID，OID=PIO=135O,且其所对的边为 OD，符合定弦定角条件，故 I 点轨迹为圆弧，问题易解。1、如图，边长为 3 的等边ABC，D、E 分别为边 BC、AC 上的点，且 BDCE，AD、BE 交于 P 点，则 CP 的最小值为_2、如图，AC3，BC5，且BAC90，D 为 AC 上一动点，以 AD 为直径作圆，连接 BD 交圆于 E 点，连CE，则 CE 的最小值为（）7类型八、隐

12、切线例、已知 A（2，0），B（4，0）是 x 轴上的两点，点 C 是 y 轴上的动点，当ACB 最大时，则点 C 的坐标为_分析：将 ACB 看作以 AB 为弦的圆上的角，则圆心在 AB 的垂直平分线上，当圆心运动时，ACB 的大小也随之改变，又因为点 C 为为 y 轴上的点，所以可将点 C 理解为圆 O 与 y 轴交点。Y 轴与圆 o 的位置关系有两种：相交或相切，当圆 O 与 y 轴相交时，记交点为 C1，当圆 O 与 y 轴相切时，记交点为 C，如图所示，AC1B=AC2B,由圆上的角大于圆外的角可知，ACB AC2B，故当圆 O 于 y 轴相切时，ACB 有最大值。考虑对称性可知，点

13、 C 的位置有两个，y 轴正半轴和 y 轴负轴上各有一个点。1、已知点 A、B 的坐标分别是（0，1）、（0，3），点 C 是 x 轴正半轴上一动点，当 ACB 最大时，点 C 的坐标为_2、在 RtABC 中，BAC=30，斜边 AB=23，动点 P 在 AB 边上，动点 Q 在 AC 边上，且CPQ=90，则线段 CQ 长的最小值=_类型九、捆绑旋转例、已知 A（2，0），B（5，0），点 P 为圆 A 上一动点，圆 A 半径为 2，以 PB 为边作等边PMB，求线段AM 的取值范围。8分析：思路 1：要求 AM 的取值范围，则先确定 M 点运动轨迹。由等边三角形联想共顶点的双等边结构，可

14、构造和PBM 共顶点 B 的等边ABH，则APBHBMHM=PA=2，所以点 M 运动轨迹为以 H 为圆心，半径为 2 的圆 H 上的点。AM 过圆心时取得相应最大和最小值。思路 2：线段 BM 可看作由线段 PB 绕点 B 顺时针旋转 60 度得到，当点 P 在圆 A 上运动时，作出其绕点 B 顺时针旋转 60 度后的每一个对应点，则其应点的集合就是点 M 运动轨迹。显然其轨迹为圆。因为每个对应点都是点 P 绕点 B 顺时针旋转 60 度得到，所以点 M 所在圆的圆心即为将 P 点所在圆圆心 A 绕点B 顺时针旋转 60 度得到。想象成钟摆绕点 B 顺时针旋转 60 度1、如图，已知 A（2

15、，0），圆 O 半径为 1，点 B 为圆 O 上一动点，点 C 在第一象限，且ABC 为等腰直角三角形，BAC=90 度，求线段 OC 的最大值_2、如图，AB 为O 的直径，AB=4，点 C 为半圆 AB 上动点，以 BC 为边在O 外作正方形 BCDE，（点 D 在直线 AB 的上方）连接 OD当点 C 运动时，则线段 OD 的最大值为_9类型十、半径不确定的处理策略例、在ABC 中,AB=4,BC=6,ACB=30,将ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转,得到A1BC1.点 E 为线段 AB 中点,点 P 是线段 AC 上的动点,在ABC 绕点 B 按逆时针方向旋转的过程中,点 P 的对应

16、点是点 P1,则线段 EP1长度的最大值为_,最小值为_分析:显然 BP=BP1,P1 点轨迹为以 B 为圆心，BP 为半径的圆，半径是多少呢？好象无法确定，因为点 P为 AC 上动点，则 BP 长度有最小值和最大值。如图当 BP 垂直 AC 时，半径最小，当 P 与 C 重合时，半径最大，由图可知 P1 点轨迹为以 B 为圆心的无数个同心圆。不难确定其最小值和最大值1、在ABC 中，ACB=90，ABC=30，将ABC 绕顶点 C 顺时针旋转，旋转角为（0180），得ABCE 为 AC 的中点，AB中点为 P，AC=4cm，则 EP 的最大值为_2、在ABC 中，AB=AC=5，BC=6，将ABC 绕点 C 顺时针方向旋转，得到A1B1C,点 E 是 BC 上的中点，点 F 为线段 AB 上的动点，在ABC 绕点 C 顺时针旋转过程中，点 F 的对应点是 F1，请直接写出线段 EF1长度的最大值与最小值的差