2021新高考2版数学一轮讲义：第二章 第二节　函数的单调性与最值 WORD版含解析.docx

1、第二节函数的单调性与最值命题导航考试要点命题预测理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.1.考向预测:以基本初等函数为载体考查函数的单调性、单调区间及函数最值的确定与应用.2.学科素养:主要考查数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.1.函数的单调性(1)单调函数的定义:增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是单调增函数当x1f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是单调减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的

2、定义:若函数f(x)在区间D上是单调增函数或单调减函数,则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间.提醒(1)求函数的单调区间或讨论函数的单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“”连接.(3)“函数的单调区间M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然NM.2.函数的最值前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M(1)对于任意的xI,都有f(x)M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M结论M为函数y=f(x)的最

3、大值M为函数y=f(x)的最小值知识拓展1.单调性定义的等价形式设任意x1,x2a,b,x1x2.(1)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或 f(x1)-f(x2)x1-x20,则f(x)在闭区间a,b上是增函数.(2)若有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0或 f(x1)-f(x2)x1-x20,则kf(x)与f(x)的单调性相同,若k0)与y=-f(x),y=1f(x)在公共定义域内的单调性相反.(4)函数y=f(x)(f(x)0)与y=f(x)在公共定义域内的单调性相同.1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”).(1)函数y=1x的单调递减区间是(-,0)(0,+).()(2

4、)函数f(x)在区间a,b上单调递增,则函数f(x)的单调递增区间为a,b.()(3)若f(x)是增函数,g(x)是增函数,则f(x)g(x)也是增函数.()(4)所有的单调函数都有最值.()(5)已知函数y=f(x)在R上是增函数,则函数y=f(-x)在R上是减函数.()2.下列四个函数中,在(0,+)上为增函数的是() A.f(x)=3-xB.f(x)=x2-3xC.f(x)=-1x+1D.f(x)=-|x|答案C3.函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是()A.1,2B.-1,0C.0,2D.2,+)答案A4.若函数y=x2-2ax+1在(-,2上是减函数,则实数a的取值范围是()A.

5、(-,-2B.-2,+)C.2,+)D.(-,2答案C5.若函数y=ax+1在1,2上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是()A.2B.-2C.2或-2D.0答案C6.(教材习题改编)已知函数f(x)=2x-1,x2,6,则f(x)的最大值为,最小值为.答案2;25确定函数的单调性(区间)典例1(1)函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是() A.(-,-2)B.(-,1)C.(1,+)D.(4,+)(2)下列函数中,满足“x1,x2(0,+),且x1x2,(x1-x2)f(x1)-f(x2)0)在(0,+)上的单调性.答案(1)D(2)C解析(1)由x2-2x-80,得x4

6、或x-2.因此,函数f(x)=ln(x2-2x-8)的定义域是(-,-2)(4,+).注意到函数y=x2-2x-8在(4,+)上单调递增,由复合函数的单调性知, f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,+).(3)设x1,x2是任意两个正数,且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1+ax1-x2+ax2=x1-x2x1x2(x1x2-a).当0x1x2a时,0x1x2a,x1-x20,即f(x1)f(x2),所以函数f(x)在(0,a上是减函数;当ax1a,x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0)在(0,a上是减函数,在a,+)上是增函数.方法技巧1.求函数

7、单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间.(2)定义法,先求定义域,再利用单调性的定义求解.(3)图象法,如果f(x)是以图象形式给出的,或f(x)的图象易作出,那么可由图象的直观性写出函数的单调区间.(4)导数法,利用导数取值的正负确定函数的单调区间.2.求复合函数y=f(g(x)的单调区间的步骤(1)确定函数的定义域.(2)将复合函数分解成基本初等函数y=f(u),u=g(x).(3)分别确定这两个函数的单调区间.(4)若这两个函数同增同减,则y=f(g(x)为增函数;若一增一减,则y=f(g(x)为减函数,即“同增异减”.1-1函数f(

8、x)=x1-x在() A.(-,1)(1,+)上是增函数B.(-,1)(1,+)上是减函数C.(-,1)和(1,+)上是增函数D.(-,1)和(1,+)上是减函数答案C1-2判断函数f(x)=2x-4-x在(-,4上的单调性. 解析y=2x在(-,4上单调递增,y=-4-x在(-,4上单调递增,所以函数f(x)=2x-4-x在(-,4上单调递增.1-3求函数f(x)=-x2+2|x|+1的单调区间.解析易知f(x)=-x2+2x+1,x0,-x2-2x+1,x0=-(x-1)2+2,x0,-(x+1)2+2,xx11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)abB.cbaC.acbD.bac答案

9、D解析f(x)的图象关于直线x=1对称,f-12=f52.由当x2x11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)0恒成立,知f(x)在(1,+)上单调递减.1252f52f(e),即f(2)f-12f(e),bac.命题方向二解不等式典例3已知函数f(x)为R上的增函数,若f(a2-a)f(a+3),则实数a的取值范围是.答案(-,-1)(3,+)解析函数f(x)为R上的增函数,且f(a2-a)f(a+3),a2-aa+3,即a2-2a-30,解得a3或a0,a+30,a2-aa+3,解得-3a3,所以实数a的取值范围为(-3,-1)(3,+).命题方向三求参数的值或取值范围典例4(1)已知函

10、数f(x)=(3a-1)x+4a,x1,logax,x1满足对任意的实数x1x2都有 f(x1)-f(x2)x1-x20成立,则实数a的取值范围是()A.(0,1)B.0,13C.17,13D.17,1(2)已知函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-,6)上单调递减,则a的取值范围是()A.3,+)B.(-,3C.(-,-3)D.(-,-3(3)函数y=x-5x-a-2在(-1,+)上单调递增,则a的取值范围是.答案(1)C(2)D(3)(-,-3解析(1)根据题意知函数f(x)在定义域R上为减函数,则3a-10,0a1,(3a-1)1+4aloga1,解得17a13.故选C.(2)由于二次

11、函数f(x)=x2+4ax+2的二次项系数为正数,其图象的对称轴为直线x=-2a,其对称轴左侧的图象是下降的,-2a6,故a-3,因此,实数a的取值范围是(-,-3,故选D.(3)y=x-a-2+a-3x-a-2=1+a-3x-a-2,由题意知a-30,故0a1.求函数的最值(值域)典例5(1)函数f(x)=1x,x1,-x2+2,x1的最大值为.(2)函数y=2x-1-13-4x的值域为.(3)当-3x-1时,函数y=5x-14x+2的最小值为.(4)函数y=2x+1-2x的值域为.答案(1)2(2)-,112(3)85(4)-,54解析(1)当x1时,函数f(x)=1x为减函数,所以f(x

12、)在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.(2)易知函数的定义域是xx134,易证函数y=2x-1-13-4x在其定义域上是一个单调增函数,所以当x=134时,函数取得最大值112,故原函数的值域是-,112.(3)由y=5x-14x+2,可得y=54-74(2x+1).-3x-1,720-74(2x+1)74,85y3,所求函数的最小值为85.(4)令t=1-2x(t0),则x=1-t22,y=-t2+t+1=-t-122+54.当t=12,即x=38时,y取最大值,ymax=54,且y无最

13、小值,函数的值域为-,54.方法技巧求函数最值的五种常用方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.(5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.3-1函数y=3x+1x-2的值域为.答案y|yR且y3解析y=3x+1x-2=3(x-2)+7x-2=3+7x-2,因为7x-20,所以3+7x-23,所以函数y=3x+

14、1x-2的值域为y|yR且y3.3-2已知函数f(x)的值域为38,49,则函数g(x)=f(x)+1-2f(x)的值域为.答案79,78解析38f(x)49,131-2f(x)12.令t=1-2f(x),则f(x)=12(1-t2)13t12,令y=g(x),则y=12(1-t2)+t,即y=-12(t-1)2+113t12.当t=13时,y有最小值79;当t=12时,y有最大值78.g(x)的值域为79,78.3-3函数y=|x+1|+|x-2|的值域为.答案3,+)解析函数y=-2x+1,x-1,3,-1x0,b为正数,则f(x)=ax2+bx的定义域D=-,-ba0,+),f(x)的值

15、域A0,+),因为DA,所以a0不符合条件;若a0,b为正数,则f(x)的定义域D=0,-ba,因为f(x)max=b2-a,所以f(x)的值域A=0,b2-a,由-ba=b2-a得ax1 f(x2)+x2 f(x1),则称函数y=f(x)为“H函数”.下列函数中为“H函数”的是()A.f(x)=sin xB.f(x)=3x-13xC.f(x)=x3-3xD.f(x)=x|x|答案BD对于任意的两个不相等的实数x1,x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)x1f(x2)+x2f(x1),则(x1-x2)f(x1)-f(x2)0,即函数f(x)是定义在R上的增函数,则“H函数”为奇函数且在R上为

16、增函数.对于A,f(x)=sin x为奇函数但不是增函数,不符合题意;对于B,f(-x)=3-x-13-x=-f(x),故f(x)为奇函数,由指数函数的性质可得f(x)在R上单调递增,符合题意;对于C,f(x)=x3-3x为奇函数,但在R上不是增函数,不符合题意;对于D,f(x)=x|x|=x2,x0,-x2,x12B.m-12D.m-12答案B2.已知函数y=1x-1,那么()A.函数的单调递减区间为(-,1)和(1,+)B.函数的单调递减区间为(-,1)(1,+)C.函数的单调递增区间为(-,1)和(1,+)D.函数的单调递增区间为(-,1)(1,+)答案A3.函数f(x)=x2-(m+1

17、)x+m2在(3,+)上单调递增,则m的取值范围是()A.(-,5)B.(-,5C.5,+)D.(5,+)答案B4.已知函数f(x)=|4x-a|的单调递增区间是1,+),则a=()A.4B.3C.2D.1答案A5.若f(x)=(3-a)x-4a,x1,x2,x1是(-,+)上的增函数,则a的取值范围是()A.25,3B.25,3C.(-,3)D.25,+答案A由于函数f(x)=(3-a)x-4a,x0,即a0,求解不等式可得函数的定义域为x|-3x1,二次函数y=-x2-2x+3在区间(-3,-1)上单调递增,在区间(-1,1)上单调递减,结合复合函数的单调性可得f(x)的增区间为(-3,-

18、1).故选B.7.函数f(x)=|x|(1-x)的单调增区间是()A.(-,0)B.0,12C.(0,+)D.12,+答案Bf(x)=|x|(1-x)=x(1-x),x0,-x(1-x),x0成立,若f(x2+1)f(m2-m-1)对xR恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-1,2)B.-1,2C.(-,-1)(2,+)D.(-,-12,+)答案A由f(x1)-f(x2)(x1-x2)0,知函数f(x)在R上为增函数,因为f(x2+1)f(m2-m-1)对xR恒成立,所以m2-m-1(x2+1)min,即m2-m-11,解得-1m1,则f(x)的最小值是.答案26-6解析因为y=x2在(-,

19、0)上单调递减,在0,+)上单调递增,所以当x1时, f(x)min=f(0)=0.当x1时,y=x+6x26,当且仅当x=6时,等号成立,此时f(x)min=26-6.又26-61,021+2x2,-1-1+21+2x1,即-11-2x1+2x0)上的最大值为M,最小值为m,则M+m=.答案4解析f(x)=ln(x+1+x2)+3ex+1ex+1=ln(x+1+x2)+3-2ex+1,函数f(x)在R上单调递增,M=f(k)=ln(k+1+k2)+3-2ek+1,m=f(-k)=ln(-k+1+k2)+3-2e-k+1,M+m=f(k)+f(-k)=ln 1+6-21ek+1+1e-k+1=

20、6-2=4.4.已知定义在(0,+)上的函数f(x)满足f x1x2=f(x1)-f(x2),且当x1时, f(x)x2,则x1x21,由于当x1时, f(x)0,所以fx1x20,即f(x1)-f(x2)0,因此f(x1)b0,则下列不等式中成立的为()A.f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)C.f(a)+f(-b)g(b)-g(-a)答案AC由题意知,f(a)f(b)0,f(a)=g(a),f(b)=g(b).f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)f(b)+f(a)-g(a)+g(b)=2f(b)0,所以A正确,B错误;f(a)+f(-b)g(b)-g(-a)f(a)-f(b)-g(b)+g(a)=2f(a)-f(b)0,所以C正确,D错误.故选AC.