2021高考数学文科（全国版）一轮复习教师用书：第十章第二讲　双曲线 WORD版含解析.docx

1、第二讲双曲线 1.2019全国卷,10,5分文双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130,则C的离心率为()A.2sin 40 B.2cos 40 C.1sin50 D.1cos502.2020湖南师大附中高三摸底改编给出以下关于双曲线的命题:双曲线y29-x24=1的渐近线方程是y=23x;若点(2,3)在焦距为4的双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上,则此双曲线的离心率e=2;若点F,B分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点和虚轴的一个端点,则线段FB的中点一定不在此双曲线的渐近线上;等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于2;若双

2、曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与y2b2-x2a2=1(a0,b0)的离心率分别是e1,e2,则1e12+1e22=1(称这两条双曲线互为共轭双曲线).以上说法正确的个数是()A.1B.2C.3D.43.2019全国卷,10,5分双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则PFO的面积为()A.324B.322C.22D.324.2019全国卷,12,5分文设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A

3、.2B.3C.2D.55.2018天津,7,5分文已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.x23-y29=1 B.x29-y23=1 C.x24-y212=1 D.x212-y24=1考法1 双曲线定义的应用1(1)已知点F1( - 3,0)和F2(3,0),动点P到F1,F2的距离之差为4,则点P的轨迹方程为A.x24-y25=1(y0)B.x24-y25=1(x0)C.y24-x25=1(y0)D.y24-x25=1(x0)(

4、2)已知F1,F2为双曲线C:x2 - y2=1的左、右焦点,点P在C上,F1PF2=60,则|PF1|PF2|=A.2B.4C.6D.8(1)由题设知点P的轨迹是焦点在x轴上的双曲线的右支,(注意“距离之差”与“距离之差的绝对值”的区别)设其方程为x2a2-y2b2=1(x0,a0,b0),由题设知c=3,a=2,则b2=5,所以点P的轨迹方程为x24-y25=1(x0).(2)由双曲线的方程得a=1,c=2,由双曲线的定义得|PF1| - |PF2|=2.在PF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 - 2|PF1|PF2|cos 60,即(22)2=|PF1|2

5、+|PF2|2 - |PF1|PF2|=(|PF1| - |PF2|)2+|PF1|PF2|=22+|PF1|PF2|,解得|PF1|PF2|=4.(1)B(2)B1.2020广东七校第一次联考P是双曲线C:x22 - y2=1右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q,F1是双曲线C的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为()A.1B.2+155 C.4+155 D.22+1考法2 求双曲线的标准方程2 2017全国卷,5,5分已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线方程为y=52x,且C与椭圆x212+y23=1有公共焦点,则C的方程为A.x28-

6、y210=1B.x24-y25=1 C.x25-y24=1D.x24-y23=1思路一根据双曲线的渐近线方程得出a,b的关系,根据C与椭圆共焦点求出c,利用c2=b2+a2求出a2 ,b2,即得双曲线的标准方程.思路二利用与椭圆共焦点的双曲线方程的设法求解.解法一根据双曲线C的一条渐近线方程为y=52x,可知ba=52.因为椭圆x212+y23=1的焦点坐标为(3,0)和( - 3,0),所以a2+b2=9,根据可知a2=4,b2=5.所以双曲线C的方程为x24-y25=1.解法二因为双曲线与椭圆有共同的焦点,所以设双曲线方程为x212 - +y23 - =1(30,b0),则由题意可得4a2

7、 - 9b2=1,ba=3,解得a=1,b=3,所以双曲线的标准方程为x2 - y23=1;若双曲线的焦点在y轴上,设其标准方程为y2a2-x2b2=1(a0,b0),则由题意可得9a2 - 4b2=1,ab=3,该方程组无解.综上,所求双曲线的标准方程为x2 - y23=1.解法二设双曲线的方程为x2m-y2n=1(mn0),则由题意可得4m - 9n=1,nm=3,解得m=1,n=3,所以所求双曲线的标准方程为x2 - y23=1.解法三因为双曲线的渐近线方程为y=3x,所以可设双曲线的方程为3x2 - y2=(0),则由双曲线过点(2,3),可得=322 - 32=3,故双曲线的方程为3

8、x2 - y2=3,其标准方程为x2 - y23=1.C2.2017天津,5,5分已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.x24-y24=1B.x28-y28=1 C.x24-y28=1D.x28-y24=1考点3 双曲线的几何性质命题角度1求双曲线的渐近线 4(1)2018全国卷,6,5分文双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,则其渐近线方程为A.y=2x B.y=3x C.y=22x D.y=32x(2)2018全国卷,11,5分已知双曲线C:x23 - y2

9、=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=A.32B.3C.2 3D.4(1)解法一由题意知,e=ca=3,所以c=3a,所以b=c2 - a2=2a,所以ba=2,所以该双曲线的渐近线方程为y=bax=2x.解法二由e=ca=1+(ba)2=3,得ba=2,所以该双曲线的渐近线方程为y=bax=2x.(2)易知双曲线x23 - y2=1的渐近线方程为y=33x,所以MON=60.不妨设过点F的直线与直线y=33x交于点M,由OMN为直角三角形,不妨设OMN=90,则MFO=60,又直线MN过点F(2,0),所以直线MN

10、的方程为y= - 3(x - 2),由y= - 3(x - 2),y=33x,得x=32,y=32,所以M(32,32),所以|OM|=(32)2+(32)2=3,所以|MN|=3|OM|=3.(1)A(2)B命题角度2求双曲线的离心率或其范围 52019全国卷,16,5分已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F1A=AB,F1BF2B=0,则C的离心率为.思路一 由F1BF2B=0推得F1BF2B由F1A=AB推得F1BOA由tanBOF2=tan 2BF1O建立关于a,b的方程可求得离心率的值思路二

11、 由F1BF2B=0推得F1BF2B由F1A=AB推得OBF2为等边三角形由点B在直线y=bax上建立关于a,b的方程可求得离心率的值解法一因为F1BF2B=0,所以 F1BF2B,如图10 - 2 - 1.所以|OF1|=|OB|,所以BF1O=F1BO,所以BOF2=2BF1O.因为F1A=AB,所以点A为线段F1B的中点,又点O为线段F1F2的中点,所以OABF2,所以F1BOA.因为直线OA,OB为双曲线C的两条渐近线,所以tanBF1O=ab,tanBOF2=ba.因为tanBOF2=tan 2BF1O,所以ba=2ab1 - (ab)2,所以b2=3a2,所以c2 - a2=3a2

12、,即2a=c,所以双曲线的离心率e=ca=2.解法二因为F1BF2B=0,所以F1BF2B.在RtF1BF2中,|OB|=|OF2|,所以OBF2=OF2B.又F1A=AB,所以A为线段F1B的中点,所以OAF2B,所以F1OA=OF2B.又F1OA=BOF2,所以OBF2为等边三角形.由F2(c,0)可得B(c2,3c2),因为点B在直线y=bax上,所以32c=bac2,所以ba=3,所以e=1+b2a2=2.命题角度3与双曲线有关的范围(或最值)问题 6 2020湘东六校联考已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个顶点分别为A1,A2,F为双曲线的一个焦点,B为虚轴的一个

13、端点,若在线段BF上(不含端点)存在两点P1,P2,使得A1P1A2=A1P2A2=2,则双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是A.(1,5+12)B.(1,3+12)C.(0,5+12)D.(3+12,32)由以A1A2为直径的圆O上存在两点P1,P2,使得A1P1A2=A1P2A2=2由圆心O到直线BF的距离小于圆的半径a建立关于a,b的不等式可求得双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围不妨设点F为双曲线的左焦点,点B在y轴正半轴上,则F( - c,0),B(0,b),直线BF的方程为bx - cy= - bc.如图10 - 2 - 2所示,以O为圆心,A1A2为直径作圆O,则P1,P2

14、在圆O上.由题意可知ba,bcb2+c2a,解得1(ba)20,b0)的左、右焦点,若双曲线上存在点P满足PF1PF2= - a2,则该双曲线离心率的取值范围为()A.3,+)B.2,+)C.(1,3 D.(1,2考法4 直线与双曲线的综合问题7 已知双曲线C:x2 - y2=1及直线l:y=kx - 1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且AOB的面积为2,求实数k的值.(1)联立双曲线方程与直线方程,消去yx2的系数不为0且0求k的取值范围(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)SOAB转化为SOADSOBD根与系数的关系解关

15、于k的方程(1)联立双曲线C与直线l的方程得x2 - y2=1,y=kx - 1,消去y整理得(1 - k2)x2+2kx - 2=0.因为l与C有两个不同的交点,即上式有两个不同的实数根,所以1 - k20,=4k2+8(1 - k2)0,解得 - 2k2且k1.即当双曲线C与直线l有两个不同的交点时,实数k的取值范围是( - 2, - 1)( - 1,1)(1,2).(2)设交点A(x1,y1),B(x2,y2),直线l与y轴交于点D(0, - 1),由(1)知,联立双曲线C和直线l的方程并整理得(1 - k2)x2+2kx - 2=0( - 2k|x2|时,SOAB=SOAD - SOB

16、D=12(|x1| - |x2|)=12|x1 - x2|;当A,B分别在双曲线的两支上且x1x2时,SOAB=SOAD+SOBD=12(|x1|+|x2|)=12|x1 - x2|.综上,SOAB=12|x1 - x2|=2,所以(x1 - x2)2=(x1+x2)2 - 4x1x2=(22)2,即( - 2k1 - k2)2+81 - k2=8,解得k=0或k=62.所以当AOB的面积为2时,实数k的值为0或62或 - 62.3181.D由题意知, - ba=tan 130=tan(130 - 180)= - tan 50,两边平方得c2 - a2a2=tan250=e2 - 1,e2=1

17、+tan250=1cos250,又e1,e=1cos50,选D.【思维拓展】实际上,若双曲线x2a2 - y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为,则该双曲线的离心率e=|1cos|.2.D对于,双曲线y29 - x24=1的渐近线方程应是y=32x,故不正确;对于,双曲线的焦点为( - 2,0),(2,0),2a=|(2+2)2+(3 - 0)2 - (2 - 2)2+(3 - 0)2|=2,a=1,从而离心率e=2,所以正确;对于,F(c,0),B(0,b),FB的中点坐标(c2,b2)不满足双曲线的渐近线方程y=bax,所以正确;对于,由等轴双曲线的性质可得正确;对于,由共轭双曲

18、线的性质可知正确.故选D.3.A设点P在第一象限,根据题意可知c2=6,所以|OF|=6.又tanPOF=ba=22,所以等腰三角形PFO底边OF上的高h=6222=32,所以SPFO=12632=324.故选A.4.A如图D 10 - 2 - 1,由题意知,以OF为直径的圆的方程为(x - c2)2+y2=c24,将x2+y2=a2记为式, - 得x=a2c,则以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x=a2c,所以|PQ|=2a2 - (a2c)2.由|PQ|=|OF|,得2a2 - (a2c)2=c,整理得c4 - 4a2c2+4a4=0,即e4 - 4e2+4=0,

19、又e1,解得e=2,故选A.图D 10 - 2 - 15.A由题意不妨设A(c,b2a),B(c, - b2a),双曲线的一条渐近线方程为y=bax,即bx - ay=0,则d1=|bc - b2|a2+b2,d2=|bc+b2|a2+b2,故d1+d2=|bc - b2|a2+b2+|bc+b2|a2+b2=bc - b2+bc+b2c=2b=6,故b=3.又ca=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=2,所以b2=3a2,得a2=3.所以双曲线的方程为x23 - y29=1.1.D设双曲线的右焦点为F2,因为|PF1| - |PF2|=22,所以|PF1|=22+|PF2|,|PF1|+

20、|PQ|=22+|PF2|+|PQ|.当且仅当Q,P,F2三点共线,且P在Q,F2之间时,|PF2|+|PQ|最小,且最小值为点F2到直线l的距离.由题意可得直线l的方程为y=22x,焦点F2(3,0),点F2到直线l的距离d=1,故|PQ|+|PF1|的最小值为22+1,故选D.2.B由e=2知,双曲线为等轴双曲线,则其渐近线方程为y=x,由P(0,4)知左焦点F的坐标为( - 4,0),所以c=4,则a2=b2=c22=8.故选B.3. B由题意可得F1( - c,0),F2(c,0),设P(m,n),则PF1=( - c - m, - n),PF2=(c - m, - n),m2+n2a2.由PF1PF2=( - c - m, - n)(c - m, - n)=m2 - c2+n2= - a2,知m2+n2=c2 - a2,所以c2 - a2a2,得c22a2,所以c2a22,得e22,所以e2,故选B.