2021高考数学理科（全国版）一轮复习教师用书：第四章第四讲　正、余弦定理及解三角形 WORD版含解析.docx

1、第四讲正、余弦定理及解三角形1.2018全国卷,6,5分理在ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB=()A.42 B.30C.29 D.252.2017山东,9,5分理在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A3.2019福建宁德联考在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=18,b=24,A=45,则此三角形()A.无解 B.有一解C.有两解D.解的个数不确定4.改编题下列说法正确的是

2、(ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c)()在ABC中,若AB,则必有sin Asin B;在ABC中,若b2+c2a2,则ABC为锐角三角形;在ABC中,若A=60,a=43,b=42,则B=45或B=135;若满足条件C=60,AB=3,BC=a的ABC有两个,则实数a的取值范围是(3,2);在ABC中,若acos B=bcos A,则ABC是等腰三角形.A.B.C.D.5.2017全国卷,15,5分ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=6,c=3,则A=.6.2019全国卷,15,5分 理ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,

3、B=3,则ABC的面积为.7.2019浙江,14,6分在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD=,cosABD=.8.2016全国卷,13,5分理ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=.9.2019江西名校高三质检已知ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,SABC表示ABC的面积,且有b(asin A+bsin B)= 4sin BSABC+bcsin C,若c=6,则ABC的外接圆半径为.10.2015湖北,13,5分理如图4 - 4 - 1,一辆汽车在一条水平的公路上向正西

4、行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度CD=m.考法1利用正、余弦定理解三角形1在ABC中,C=4,AB=2,AC=6,则cos B的值为A.12 B. - 32C.12或 - 32D.12或 - 12根据条件,两边和其中一边的对角选用正弦定理求解由题意知C=4,c=AB=2,b=AC=6,(条件类型:两边和其中一边的对角)由正弦定理bsinB=csinC,得sinB=6sin42=32.(利用正弦定理求sinB)因为bc,所以BC=4,(利用“大边对大角”确定角的范围)又0BC=4,显然3与2

5、3都满足题意.解该题的过程中易出现的问题是漏解.(2)若该题是已知B=3,AB=2,AC=6,求C,则由正弦定理可得sinC=ABsinBAC=2sin36=12.又ABAC,所以CB=3,所以C=6.2已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A+bsin B+2bsin A=csin C.(1)求C;(2)若a=2,b=22,线段BC的垂直平分线交AB于点D,求CD的长.(1)因为asinA+bsinB+2bsinA=csinC,所以由正弦定理可得a2+b2+2ab=c2.(角化边)由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab= - 22,(边化角)又0C,所以C=34

6、.(2)由题意知a=2,b=22,由(1)知C=34,(条件类型:两边和它们的夹角)根据余弦定理可得c2=a2+b2 - 2abcosC=22+(22)2 - 2222( - 22)=20,所以c=25.(利用余弦定理求边)由正弦定理csinC=bsinB,得2522=22sinB,(已知两边及其中一边的对角,利用正弦定理求角)解得sinB=55,从而cosB=255.设BC的中垂线交BC于点E,因为在RtBDE中,cosB=BEBD,所以BD=BEcosB=1255=52.(解直角三角形)因为点D在线段BC的中垂线上,所以CD=BD=52.(利用中垂线的性质求CD)该题中的第(1)问如果利用

7、正弦定理把边化为角,就会得到sin2A+sin2B+2sinBsinA=sin2C,化简这个式子就比较麻烦,显然不如把角化为边简单;第(2)问中利用中垂线的性质转化所求,将问题化归到直角三角形中求解,体现数学思维的灵活性.1.(1)2020江淮十校联考ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2asin A - bsin B=2csin C,cos A=14,则sinBsinC=()A.4B.3C.2D.1(2)2019山东济宁模拟在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=3,3sin2CcosC=2sin Asin B,且b=6,则c=()A.2B.3C.4D.6(3)在

8、ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B=2C,2bcos C - 2ccos B=a,则角A的大小为()A.2B.3C.4D.6考法2判断三角形的形状3在ABC中,设a,b,c分别是角A,B,C所对边的边长,且直线bx+ycos A+cos B=0与ax+ycos B+cos A=0平行,则ABC一定是A.锐角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰或直角三角形两直线平行可得到一个边角关系,即bcosB - acosA=0,然后可化边或化角判断三角形的形状.解法一(边化角)由两直线平行可知bcosB - acosA=0,由正弦定理可知sinBcosB - sinAcosA=0,

9、即12sin2B - 12sin2A=0,故2A=2B或2A+2B=,即A=B或A+B=2.若A=B,则a=b,cosA=cosB,两直线重合,不符合题意,故A+B=2,即ABC是直角三角形.解法二(角化边)由两直线平行可知bcosB - acosA=0,由余弦定理,得ab2+c2-a22bc=ba2+c2-b22ac,所以a2(b2+c2 - a2)=b2(a2+c2 - b2),所以c2(a2 - b2)=(a2+b2)(a2 - b2),所以(a2 - b2)(a2+b2 - c2)=0,所以a=b或a2+b2=c2.若a=b,则两直线重合,不符合题意.故a2+b2=c2,即ABC是直角

10、三角形.C2.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cbcos A,则ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形考法3与面积有关的问题4 2019全国卷,18,12分理ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA+C2=bsin A.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.(1)由题设及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA,因为sinA0,所以sinA+C2=sinB.由A+B+C=180,可得sinA+C2=cosB2,故cosB2=2sinB2cosB2.因为cosB20,所以sinB2

11、=12,因此B=60.(2)解法一由题设及(1)知ABC的面积SABC=34a.由正弦定理得a=csinAsinC=sin(120-C)sinC=32tanC+12.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,01tanC3,故12a2,从而38SABC32.因此,ABC面积的取值范围是(38,32).解法二如图4 - 4 - 2,AB=1,过点B作射线BD使ABD=60,则点C在射线BD上.要满足ABC为锐角三角形,可找出C点的两个“临界点”C1和C2,C1,C2分别满足AC1B=90,BAC2=90.易知SABC2=32,SABC1=38.故AB

12、C面积的取值范围是(38,32).解后反思本题主要考查正弦定理、三角形的面积公式、数形结合思想.对于本题第(2)问,应用解法一确定a的范围时要注意对锐角三角形这个条件的挖掘,应用解法二时要准确找出“临界点”.5 2017全国卷,17,12分理ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2B2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.(1)利用三角形内角和定理及诱导公式可得sin(A+C)=sinB利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系将已知等式转化解方程求出cosB的值(2)利用第(1)问的结论求出sinB利用三角形的面积公式求出ac利用

13、余弦定理求出b(1)由题设及A+B+C=得sinB=8sin2B2,故sinB=4(1 - cosB).上式两边平方,整理得17cos2B - 32cosB+15=0,解得cosB=1517或cosB=1(舍去).(2)由cosB=1517,得sinB=817,故SABC=12acsinB=417ac.又SABC=2,则ac=172.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2 - 2accosB=(a+c)2 - 2ac(1+cosB)=36 - 2172(1+1517)=4.所以b=2.3.(1)2018全国卷,9,5分理ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为a2+b2

14、-c24,则C=()A.2B.3C.4D.6(2)2020陕西省部分学校摸底检测已知ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=6,4sin B=5sin C,A=2C,则ABC的周长为,若O为ABC的内心,则AOB的面积为.4.2016全国卷,17,12分理ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.考法4平面图形中的计算问题6 2019湖南衡阳第三次联考如图4 - 4 - 3,在平面四边形ABCD中,0DAB2,AD=2,AB=3,ABD的面积为332,ABB

15、C.(1)求sinABD的值;(2)若BCD=23,求BC的长.(1)因为ABD的面积S=12ADABsinDAB=1223sinDAB=332,所以sinDAB=32.又0DAB0,则b=ta.代入上式可得a2+t2a2=t216 - t.左边式子呈现出基本不等式的结构,故利用基本不等式可得t216 - t=a2+t2a22a2t2a2=2t,即t2163t,解得t48,当且仅当a=b=43时取等号,即ab的最小值为48.9在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若C=3B,则cb的取值范围为A.(0,3)B.(1,3)C.(0,3D.(1,3由正弦定理可得cb=sinCsinB=s

16、in3BsinB=sin2BcosB+cos2BsinBsinB=2cos2B+cos2B=4cos2B - 1. A+B+C=180,C=3B,0B45,22cosB1,14cos2B - 13,即1cb3.B易错警示本题易错点有两处:一是没有考虑内角和定理,误认为角B的取值范围为0B180;二是不会把角3B转化为单角B或化简过程出错.对于此类试题,一般是先化简,转化为f (x)=Asin(x+)或y=f (cosx)的形式,再求值域,但一定要注意确定函数的定义域.8.2019山东德州模拟已知函数f (x)=4sin xcos(x - 6).(1)求f (x)的单调递增区间;(2)在ABC中

17、,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f (A2)=1,a=2,求ABC面积的最大值.数学探究2解三角形与平面向量的综合102019山西省高考考前适应性训练已知向量a=(sin x,cos x),b=(3cos x,cos x),f (x)=ab.(1)求函数f (x)=ab的最小正周期;(2)在ABC中,BC=7,sin B=3sin C,若f (A)=1,求ABC的周长.(1)先由向量的数量积运算得到函数的解析式,然后通过三角恒等变换化为一角一函数,从而求得函数的最小正周期;(2)由已知函数值求A,然后结合正弦、余弦定理,可求得b,c的值,从而可得ABC的周长.(1)f (x)=3sin

18、xcosx+cos2x=32sin2x+12cos2x+12=sin(2x+6)+12,(化为一角一函数)所以f (x)的最小正周期T=22=.(2)由题意可得sin(2A+6)=12,又0A,所以62A+618,方案2好.素养探源核心素养考查途径素养水平数学建模根据不同的方案,确定参数,选择适当的面积公式.二数学运算求面积、求最值、比较大小.二试题评析本题以江水养殖场为背景,创设了求三角形面积最大值问题,体现了用三角知识解决生活中的问题,培养学生的数学应用意识.本题中求MPQ面积的最值难度比较大,已知三角形中,两边之和为定值,往往想到利用基本不等式求两边之积的最大值,结合面积公式,再求夹角正

19、弦值的最大值,需要两次求最值的条件同时满足才可以;求EOF 面积的最值比较常规,利用基本不等式求最值,结合面积公式得面积最值.9.如图4 - 4 - 6,经过村庄A有两条夹角为60的公路AB,AC,根据规划要在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PM=PN=MN=2(单位:千米).记AMN=. (1)将AN,AM用含的关系式表示出来;(2)如何设计(即AN,AM为多长时),可使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离AP最大)?21.A因为cos C=2cos2C2 - 1=215 - 1= - 35,所以由余弦定理,得AB2=AC

20、2+BC2 - 2ACBCcos C=25+1 - 251( - 35)=32,所以AB=42,故选A.2.A由题意可知sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),即2sin Bcos C=sin Acos C,又cos C0,故2sin B=sin A,由正弦定理可知a=2b.故选A.3.Cbsin A=122aB,则ab,a2Rb2R(R为ABC的外接圆的半径),即sin Asin B,正确;对于,在ABC中,若b2+c2a2,则A是锐角,但ABC不一定是锐角三角形,错误;对于,由asinA=bsinB得sin B=basin A=424332=22,因为a

21、b,所以BA,所以B=45,错误;对于,由条件可得BCsin CABBC,即32a3a,解得3a2,正确;对于,由acos B=bcos A得sin Acos B=sin Bcos A,即sin(A - B)=0,又A,B为三角形的内角,所以A=B,故ABC是等腰三角形,正确.故选C.5.75由正弦定理,得sin B=bsinCc=6sin603=22,所以B=45或135,因为bc,所以BC,故B=45,所以A=75.6.63因为a=2c,b=6,B=3,所以由余弦定理b2=a2+c2 - 2accos B,得62=(2c)2+c2 - 22cccos3,得c=2 3,所以a=43,所以AB

22、C的面积S=12acsin B=124 323sin3=63.7.12257210在RtABC中,易得AC=5,sin C=ABAC=45.在BCD中,由正弦定理得BD=BCsinBDCsinBCD=32245=1225,sinDBC=sin180 - (BCD+BDC)=sin(BCD+BDC)=sinBCDcosBDC+cosBCDsinBDC=4522+3522=7210.又ABD+DBC=90,所以cosABD=sinDBC=7210.8.2113解法一因为cos A=45,cos C=513,所以sin A=35,sin C=1213,从而sin B=sin(A+C)=sin Aco

23、s C+cos Asin C=35513+451213=6365.由正弦定理asinA=bsinB,得b=asinBsinA=2113.解法二因为cos A=45,cos C=513,所以sin A=35,sin C=1213,从而cos B= - cos(A+C)= - cos Acos C+sin Asin C= - 45513+351213=1665.由正弦定理asinA=csinC,得c=asinCsinA=2013.由余弦定理b2=a2+c2 - 2accos B,得b=2113.解法三因为cos A=45,cos C=513,所以sin A=35,sin C=1213,由正弦定理a

24、sinA=csinC,得c=asinCsinA=2013.从而b=acos C+ccos A=2113.9.3因为b(asin A+bsin B)=4sin BSABC+bcsin C,故absin A+b2sin B=4sin BSABC+bcsin C,即a2sin B+b2sin B=4sin BSABC+c2sin B,即a2+b2 - c2=4SABC,故abcos C=absin C,故C=4,则ABC的外接圆半径为c2sinC=62=3.10.1006由题意,得BAC=30,ABC=105.在ABC中,因为ABC+BAC+ACB=180,所以ACB=45.因为AB=600 m,由

25、正弦定理可得600sin45=BCsin30,即BC=3002 m.在RtBCD中,因为CBD=30,BC=3002 m,所以tan 30=CDBC=CD3002,所以CD=1006 m.1.(1)D因为ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2asin A - bsin B=2csin C,利用正弦定理将角化为边可得2a2 - b2=2c2,由及余弦定理可得cos A=b2+c2 - a22bc=b4c=14,化简得bc=1,即sinBsinC=1,故选D.(2)C因为3sin2CcosC=2sin Asin B,所以3c2cosC=2ab,即cos C=3c22ab.由余弦定理得co

26、s C=a2+b2 - c22ab,所以3c22ab=a2+b2 - c22ab,所以a2+36=4c2.在ABC中,A=3,b=6,因为a2=b2+c2 - 2bccos A,所以a2=36+c2 - 6c.由解得c=4或c= - 6(不合题意,舍去).因此c=4.故选C.【解后反思】求解该题时易出现的问题是不能把“A=3”利用余弦定理转化为边之间的关系,而是直接代入已知等式导致无法求解.显然,求边就应该把已知条件向边的方向转化.(3)A由已知及正弦定理得2sin Bcos C - 2sin Ccos B=sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以sin

27、Bcos C=3sin Ccos B,又B=2C,所以sin 2Ccos C=3sin Ccos 2C,所以2cos2C=3(cos2C - sin2C),所以tan2C=13.因为B=2C,所以C为锐角,所以tan C=33,C=6,B=3,A=2,故选A.2.A已知cbcos A,由正弦定理,得sinCsinBcos A,即sin Csin Bcos A,所以sin(A+B)sin Bcos A,即sin Bcos A+cos Bsin A - sin Bcos A0,所以cos Bsin A0,于是有cos B0,即B为钝角,所以ABC是钝角三角形.故选A.3.(1)C根据题意及三角形的

28、面积公式知12absin C=a2+b2 - c24,所以sin C=a2+b2 - c22ab=cos C,所以在ABC中,C=4.(2)157由4sin B=5sin C,得4sin( - A - C)=5sin C,即4sin(A+C)=5sin C,即4(sin Acos C+cos Asin C)=5sin C.又A=2C,所以4(sin 2Ccos C+cos 2Csin C)=5sin C,即42sin Ccos2C+(2cos2C - 1)sin C=5sin C.因为A=2C,所以0C2,所以sin C0,所以16cos2C - 4=5,解得cos C=34,所以sin C=

29、74,所以sin A=sin 2C=2sin Ccos C=378.由正弦定理asinA=csinC,得c=asinCsinA=4.由4sin B=5sin C得4b=5c,所以b=54c=5,所以ABC的周长为a+b+c=15.解法一设ABC内切圆的半径为r,则有12absin C=12(a+b+c)r,即126574=12(6+5+4)r,解得r=72,所以SAOB=12cr=7.解法二设p=12(a+b+c),则p=152,设ABC内切圆的半径为r,根据海伦公式S=p(p - a)(p - b)(p - c)得152(152 - 6)(152 - 5)(152 - 4)=12(4+5+6

30、)r,解得r=72,故SAOB=12cr=7.4.(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,2cos Csin(A+B)=sin C,故2sin Ccos C=sin C.可得cos C=12,所以C=3.(2)由已知得,12absin C=332.又C=3,所以ab=6.由已知及余弦定理得,a2+b2 - 2abcos C=7,故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.所以ABC的周长为5+7.5.(6 - 2,6+2)如图D 4 - 4 - 1,作PBC,使B=C=75,BC=2,作直线AD分别交线段PB,PC于A,D两点(不与端点

31、重合),且使BAD=75,则四边形ABCD就是符合题意的四边形.过C作AD的平行线交PB于点Q,在PBC中,可求得BP=6+2,在QBC中,可求得BQ=6 - 2,所以AB的取值范围是(6 - 2,6+2).图D 4 - 4 - 16.(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1 - 225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2 - 2BDDCcosBDC=25+8 - 252225=25,所以B

32、C=5.7.54设住宅楼楼间距实际为x m.如图D 4 - 4 - 2,根据题意可得,tanDCA=27x,tanDCB=45 - 27x=18x,又DCA+DCB=45,所以tan(DCA+DCB)=27x+18x1 - 27x18x=1,整理得x2 - 45x - 2718=0,解得x=54或x= - 9(舍去).所以该小区的住宅楼楼间距实际为54 m.图D 4 - 4 - 28.(1)f (x)=4sin xcos(x - 6)=4sin x(32cos x+12sin x)=4(34sin 2x+121 - cos2x2)=2sin(2x - 6)+1.令2k - 22x - 62k+

33、2,kZ,求得k - 6xk+3,kZ,可得函数f (x)的单调递增区间为k - 6,k+3,kZ.(2)在ABC中,因为f (A2)=2sin(A - 6)+1=1,所以sin(A - 6)=0,又0A,所以A=6.所以ABC的面积S=12bcsin A=bc4.因为a=2,所以由余弦定理可得a2=4=b2+c2 - 3bc2bc - 3bc,所以bc42 - 3=4(2+3),当且仅当b=c=4(2+3)时等号成立.所以S=12bcsin A=bc42+3,故ABC面积的最大值为2+3.9.(1)由题意知AMN=,MAN=60,在AMN中,由正弦定理得MNsin60=ANsin=AMsin(120 - ),所以AN=433sin ,AM=433sin(120 - ).(2)在AMP中,AM=433sin(120 - )=433sin(+60),AP2=AM2+MP2 - 2AMMPcosAMP=163sin2(+60)+4 - 1633sin(+60)cos(+60)=831 - cos(2+120) - 833sin(2+120)+4= - 833sin(2+120)+cos(2+120)+203=203 - 163sin(2+150),0120,当且仅当2+150=270,即=60时,AP取得最大值,工厂产生的噪声对居民的影响最小,此时AN=AM=2.