专题02函数的概念、性质及应用全章复习攻略（16个核心考点）与难点强化训练（原卷版）.docx

1、专题02函数的概念、性质及应用全章复习攻略（16个核心考点）与难点强化训练思维导图核心考点聚焦考点一函数的概念及其构成要素考点二判断两个函数是否为同一函数考点三函数的定义域及其求法考点四函数的值域考点五区间与无穷的概念考点六函数的单调性及单调区间考点七函数单调性的性质与判断考点八复合函数的单调性考点九函数的最值考点十奇函数、偶函数考点十一函数奇偶性的性质与判断考点十二奇偶函数图象的对称性考点十三奇偶性与单调性的综合考点十四反函数考点十五函数的零点与方程根的关系考点十六二分法的定义与应用一函数的概念及其构成要素函数的定义： 一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中

2、A任意一个数x，在集合中B都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称为AB从集合A到集合B的一个函数，记作 yf（x），xA其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域显然，值域是集合的子集 函数的构成要素：定义域、对应关系、值域注意：值域由定义域和对应关系唯一确定；f（x）是函数符号，f表示对应关系，f（x）表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积在不同的函数中f的具体含义不同，由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等函数除了可用符号f（x）表示外，还可用g（x），F（x）等表示【解题方法点拨

3、】注意函数的解析式，函数的定义域，对应法则，值域的求法二判断两个函数是否为同一函数函数的构成要素：定义域、对应关系、值域所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同三函数的定义域及其求法函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围 求解函数定义域的常规方法：分母不等于零；根式（开偶次方）被开方式0；对数的真数大于零，以及对数底数大于零且不等于1；指数为零时，底数不为零实际问题中函数的定义域；【解题方法点拨】求函数定义域，一般归结为解不等式组或混合组（1）当函

4、数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集若函数定义域为空集，则函数不存在（4）抽象函数的定义域：对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“xa”所要满足的范围是一样的；函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围四函数的值域函数值的集合f（x）|xA叫做函数的值域A是函数的定义域【解题方法点拨】（1）求函数的值

5、域此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域（2）函数的综合性题目此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强（3）运用函数的值域解决实际问题此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力五区间与无穷的概念设ab，开区间：x|axb（a，b） 闭区间：x|axba，b半开半

6、闭区间：x|axb（a，bx|axba，b） 正无穷：在实数范围内，表示某一大于零的有理数或无理数数值无限大的一种方式，没有具体数字，但是正无穷表示比任何一个数字都大的数值 符号为+ 数轴上可表示为向右箭头无限远的点负无穷：某一负数值表示无限小的一种方式，没有具体数字，但是负无穷表示比任何一个数字都小的数值 符号为 x|ax a，+） x|ax （ a，+） x|xa （，a x|xa （，a ） x|xR （，+） 【解题方法点拨】通常情况下，解答不等式，函数的单调性的问题利用单调性的定义，或者函数的导数等知识，注意函数的定义域，变量的取值范围，集合一般利用区间表示，函数的单调性多个区间时，

7、区间之间必须用“，”分开；不能利用并集符号连接解题时注意区间的端点的数值的应用六函数的单调性及单调区间一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做yf（x）的单调区间【解题方法点拨】判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证

8、明方法有定义法；导数法 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结设任意x1，x2a，b且x1x2，那么f（x）在a，b上是增函数；f（x）在a，b上是减函数（x1x2）f（x1）f（x2）0f（x）在a，b上是增函数；（x1x2）f（x1）f（x2）0f（x）在a，b上是减函数 函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间七函数单调性的性质与判断一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那

9、么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做yf（x）的单调区间【解题方法点拨】证明函数的单调性用定义法的步骤：取值；作差；变形；确定符号；下结论利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域第二步：求函数f（x）的导数f（x），并令f（x）0，求其根第三步：利用f（x）0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列

10、表第四步：由f（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）maxa或f（x）mina，解不等式求参数的取值范围第六步：明确规范地表述结论八复合函数的单调性所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性平常常见的一般以两个函数的为主【解题方法点拨】 求复合函数yf（g（x）的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间九函数的最值函数最大值或最小值是函数的

11、整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得【解题方法点拨】 基本不等式法：如当x0时，求2x+的最小值，有2x+28； 转化法：如求|x5|+|x3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x5和x3的距离之和，易知最小值为2； 求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较十奇函数、偶函数奇函数如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称偶函数如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定

12、义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称【解题方法点拨】如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）0解相关的未知量；若定义域不包括原点，那么运用f（x）f（x）解相关参数；已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x0时，f（x）x2+x那么当x0时，x0，有f（x）（x）2+（x）f（x）x2xf（x）x2+x运用f（x）f（x）求相关参数，如yax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（2）0，周期为2，那么在区间（2，8

13、）函数与x轴至少有几个交点十一函数奇偶性的性质与判断如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称【解题方法点拨】奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）0解相关的未知量；奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）f（x）解相关参数；偶函数：在定义域内一般是用f（x）f（x）这个去求解；对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反

14、十二奇偶函数图象的对称性奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）m时，f（x）m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）n时，f（x）n【解题方法点拨】由函数图象的对称性可知：奇函数的定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反十三奇偶性与单调性的综合对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用在重复一下它们的性质 奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），其图象特点是关于（0，0

15、）对称偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），其图象特点是关于y轴对称【解题方法点拨】参照奇偶函数的性质那一考点，有：奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）0解相关的未知量；奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）f（x）解相关参数；偶函数：在定义域内一般是用f（x）f（x）这个去求解；对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反十四反函数定义一般地，设函数yf（x）（xA）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到xg（y）若对于y在中的任何一个值，通过xg（y），x在A中都有唯一的值和它对应

16、，那么，xg（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数yg（x）（yC）叫做函数yf（x）（xA）的反函数，记作yf（1）（x） 反函数yf（1）（x）的定义域、值域分别是函数yf（x）的值域、定义域性质反函数其实就是yf（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f1（x）图象关于直线yx对称；函数及其反函数的图形关于直线yx对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数yf（x），定义域是0 且 f（x）C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函

17、数，其反函数的定义域是C，值域为0 ）奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数反函数存在定理；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2）十五函数的零点与方程根的关系函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的但是，他们的解法其实质是一样的

18、【解题方法点拨】求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）例题：求函数f（x）x4+5x327x2101x70的零点解：f（x）x4+5x327x2101x70（x5）（x+7）（x+2）（x+1）函数f（x）x4+5x327x2101x70的零点是：5、7、2、1通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可十六二分法的定义与应用二分法 即一分为二的方法设函数f（x）在a，b上连续，且满足f

19、（a）f（b）0，我们假设f（a）0，f（b）0，那么当x1时，若f（x1）0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在x1，b区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止这就是二分法的基本概念一函数的概念及其构成要素（共1小题）1（2022秋闵行区期末）存在函数，满足对任意都有ABCD二判断两个函数是否为同一函数（共3小题）2（2023秋黄浦区校级期中）下列各组函数中，同组的两个函数是相同函数的有A与B与C与D与3（2023秋黄浦区校级期中）下列两组函数中，表示同一个函数的是（1）和；（2）和A仅（1）是B仅（2）是C（1）（2）都是D（1）（2）都不是4（2

20、023秋浦东新区校级月考）与函数为同一函数的是ABCD三函数的定义域及其求法（共4小题）5（2023秋浦东新区校级月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 6（2023秋静安区校级期中）若代数式有意义，则其中实数的取值范围是7（2023秋黄浦区校级期中）函数的定义域是8（2023秋普陀区校级期中）若函数的值域是，则此函数的定义域为 四函数的值域（共3小题）9（2023秋浦东新区校级月考）函数的值域是 10（2023秋浦东新区校级期中）函数称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如，当时，函数的值域为 11（2023秋杨浦区校级期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围 五区间与无穷的概念

21、（共1小题）12（2023秋松江区校级期中）若为一确定区间，则的取值范围为 六函数的单调性及单调区间（共2小题）13（2022秋上海期末）函数的递增区间是 14（2022秋浦东新区校级期末）函数的增区间为 七函数单调性的性质与判断（共3小题）15（2023秋青浦区校级期中）已知函数在区间，上是严格增函数，则的取值范围是 16（2023秋奉贤区期中）已知函数，若该函数在区间，上是严格减函数，且函数值不恒为负，则实数的取值范围为 17（2023秋黄浦区校级期中）命题：定义在上的函数一定能表示成一个定义在上的偶函数与定义在上的奇函数的和，即；命题：定义在上的严格增函数一定能表示成一个定义在上的严格增

22、函数与定义在上的严格减函数的和，即下列判断正确的是A、均为真命题B、均为假命题C为真命题，为假命题D为假命题，为真命题八复合函数的单调性（共2小题）18（2023秋浦东新区校级月考）函数在区间，上单调递减，则的取值范围为 19（2023秋黄浦区校级月考）函数在上是严格减函数，则的取值范围是 九函数的最值（共2小题）20（2023秋静安区校级期中）关于函数，下列说法正确的是A若，则函数只有最大值没有最小值B若，则函数只有最小值没有最大值C若，则函数有最大值没有最小值D若，则函数有最小值也有最大值21（2023秋徐汇区校级期中）已知实数，满足，则下列说法错误的是A的最大值是B的最大值是C的最大值是

23、D的最大值是一十奇函数、偶函数（共1小题）22（2023秋黄浦区校级期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当时，的解析式为 一十一函数奇偶性的性质与判断（共4小题）23（2023秋青浦区校级月考）设函数是偶函数，且时，则（5）24（2023秋黄浦区校级期中）已知函数的表达式为，且在，上为奇函数，则（c）的值为 25（2023秋杨浦区校级期中）已知一个奇函数与一个偶函数的和为函数，则（3）26（2023秋黄浦区校级期中）函数的定义域为，其图像上任一点满足下列命题中，正确的序号是 函数一定是偶函数；函数可能既不是偶函数，也不是奇函数：函数可以是奇函数；函数是偶函数，则值域是，或，；若函数值域是

24、，则一定是奇函数一十二奇偶函数图象的对称性（共1小题）27（2023秋静安区校级期中）函数的图像关于点中心对称，则一十三奇偶性与单调性的综合（共2小题）28（2023秋静安区校级期中）已知：奇函数，在严格递减，则下列结论正确的是A在严格递减B在，上严格递减C在，上严格递减D在，上严格递减29（2023秋浦东新区校级月考）若定义在，上的奇函数，对，且，都有，则不等式的解集为AB，C，D，一十四反函数（共3小题）30（2022秋浦东新区校级期末）函数的反函数为 31（2022秋闵行区校级期末）已知，则（3）32（2022秋浦东新区校级期末）点在函数的反函数的图像上，则一十五函数的零点与方程根的关系

25、（共5小题）33（2023秋宝山区校级期中）若是方程的解，是方程的解，则A1BCD34（2023秋浦东新区校级月考）设函数，则方程的不同实根的个数可以是 35（2023秋青浦区校级月考）已知函数，下列命题中：，都不是上的单调函数；，使得是上偶函数；若的最小值是，则；，使得有三个零点则所有正确的命题的序号是 36（2023秋虹口区校级期中）若关于的方程只有唯一解，则实数的取值范围为 37（2023秋闵行区校级期中）已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是 一十六二分法的定义与应用（共1小题）38（2023秋青浦区校级月考）下列函数中不能用二分法求零点的是ABCD一填空题（共12小题）1

26、（2023秋黄浦区校级期中）函数是，上的奇函数，则2（2023秋浦东新区校级月考）若集合，则3（2023秋杨浦区校级期中）已知，若实数、满足（a）（c）（b）（d），则的取值范围为 4（2021秋松江区期末）已知是奇函数，当时，则的值为 5（2022秋松江区校级期中）函数的图像关于点中心对称，则6（2022秋长宁区校级期末）函数在区间，上的反函数7（2023秋杨浦区校级期中）已知方程的两根为和，则8（2023秋浦东新区校级期中）已知关于的方程的两个实根为，则实数9（2023秋广信区校级期中）函数的定义域为 10（2023秋宝山区校级月考）关于不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围 11（202

27、2秋松江区校级期末）若函数的值域为，则实数取值范围是 12（2022秋松江区校级期末）若，则满足不等式的实数的取值范围是 二选择题（共4小题）13（2023秋松江区校级期中）若式子有意义，则的取值范围为ABC，D14（2023秋浦东新区校级月考）已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，有，则的解集为A，B，C，D，15（2022秋松江区校级期末）关于函数，给出下列两个结论：方程一定有实数解；如果方程为常数）有解，则解的个数一定是偶数则A正确，正确B错误，错误C正确，错误D错误，正确16（2022秋奉贤区校级期末）数学上，常用表示不大于的最大整数已知函数，则下列四个命题：函数在定义域上是奇函数；

28、函数的零点有无数个；函数在定义域上的值域是；不等式解集是，以上四个命题正确的有个A0B1C2D3三解答题（共5小题）17（2023秋青浦区校级月考）已知函数，（1）若的图象关于直线对称，求函数在区间，上的值域；（2）求使的自变量的取值范围18（2023秋黄浦区校级期中）已知函数，函数的定义域为（1）当，时，求函数的值域（2）当，时，判断函数的单调性并说明理由19（2023秋闵行区期中）已知函数f（x）|2x3|+|x2|（1）求不等式f（x）3的解集M；（2）在（1）的条件下，设M中的最小的数为m，正数a，b满足a+b3m，求的最小值20（2023秋黄浦区校级期中）在研究函数过程中，经常会遇到一类型如、为实常数且的函数，我们称为一次型分式函数请根据条件完成下列问题（1）设是实数，函数，请根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；（2）设是实数，函数若成立的一个充分非必要条件是，求的取值范围；（3）设是实数，函数，若存在区间，使得，求的取值范围21（2022秋宝山区校级月考）设函数的反函数存在，记为设，（1）若，判断是否是、中的元素；（2）若在其定义域上为严格增函数，求证：；（3）若，若关于的方程有两个不等的实数解，求实数的取值范围