专题05 函数的最大（小）值（含解析）-2021-2022学年高一数学重难点手册（函数的概念与性质篇人教A版2019必修第一册）.docx

1、专题05 函数的最大（小）值知识点一函数的最大（小）值1. 函数的最大（小）值最大值最小值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足(1)xI，都有；(2)x0I，使得(1)xI，都有；(2)x0I，使得那么，我们称M是函数yf(x)的最大值那么，我们称M是函数yf(x)的最小值【思考】若函数yf(x)在区间a，b上为增函数，则f(x)的最大值与最小值分别是多少？【提示】最大值为f(b)，最小值为f(a)2有关函数最大(小)值问题的关注点(1)定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)x2(xR)的最大值为0，有f(0)0.(2)最大(小)值定义中的“任意”是说

2、对每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内全部元素，都有f(x)M(或f(x)M)成立，也就是说，yf(x)的图象不能位于直线yM的上(下)方(3)最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等式，也就是说yf(x)的图象与直线yM至少有一个交点(4)求函数在某个闭区间上的最值问题，可以先作出函数的图象，判断其在该区间上的单调性，并加以证明，利用函数的单调性求函数的最大值和最小值另外利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小；求某些函数的值域，也常用于解(证)不等式；还可以绘制某些函数的草图等等【基础自测】1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)若对任意xI，都有f(x)

3、M，则M是函数f(x)的最大值 ()(2)如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素 ()(3)如果函数的值域是确定的，则它一定有最值 ()(4)函数的最大值一定比最小值大 ()(5)若函数f(x)在区间1,2上是减函数，则函数f(x)在区间1,2上的最大值为f(1) () 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）2.函数yf(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是 ()A1,0B0,2 C1,2 D，2【答案】C【解析】由图可知，f(x)的最大值为f(1)2，f(x)的最小值为f(2)1.3设函数f(x)3x1(x0)，则f(x) ()A有最大值 B有最小值 C既有最

4、大值又有最小值 D既无最大值又无最小值【答案】D【解析】f(x)在(，0)上单调递增，f(x)f(0)1，故选D.4函数f(x)，x1,2，则f(x)的最大值为_，最小值为_【解析】1 【解析】f(x)在区间1,2上为减函数，f(2)f(x)f(1)，即f(x)1.题型一图像法求函数的最值问题【探究发现】函数最大值或最小值与函数图象有什么关系？【提示】函数的最大值是f(x)图象上最高点的纵坐标函数的最小值是f(x)图象上最低点的纵坐标【例1】(1)若xR，f(x)是y2x2，yx这两个函数中的较小者，则f(x)的最大值为()A2B1 C1 D无最大值(2)求函数y|x1|x2|的最大值和最小值

5、【解析】(1)选B在同一坐标系中画出函数y2x2，yx的图象，如图：根据题意，图中实线部分即为函数f(x)的图象所以当x1时，f(x)max1.(2)y|x1|x2|作出函数的图象如图所示，由图可知，y3,3所以函数的最大值为3，最小值为3.【方法技巧】 (1)任取一条垂直于x轴的直线l.【变式训练】1已知图象求最值函数f(x)在区间2,5上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是()A2，f(2)B2，f(2) C2，f(5) D2，f(5)【答案】C【解析】由函数的图象知，当x2时，有最小值2；当x5时，有最大值f(5)2作函数图象求最值对于每个实数x，设f(x)是y4x1，yx2和

6、y2x4这三个函数值中的最小值，则函数f(x)的最大值为( )A. B3 C. D【答案】A【解析】由题意，可得函数f(x)的图象如图所示由得A，f(x)的最大值为.题型二利用单调性求函数最值利用单调性求最值的常用结论(1)如果函数f(x)在区间a，b上是增(减)函数，则f(x)在区间a，b的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值(2)如果函数f(x)在区间(a，b上是增函数，在区间b，c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)(3)如果函数f(x)在区间(a，b上是减函数，在区间b，c)上是增函数，则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)【例2】已知函数

7、f(x)x.(1)证明：f(x)在(1，)内是增函数；(2)求f(x)在2,4上的最值【解析】(1)证明：设对于任意x1，x2(1，)，且x1x11，x1x21，x1x210，故(x1x2)0，即f(x1)f(x)恒成立，则af(x)max；若对于区间D上的任意x，af(x)恒成立，则af(x)成立，则af(x)min；若在区间D上存在x使af(x)成立，则af(x)max，其他(如af(x)等)情形类似可得相应结论【变式训练】1实数集上的恒成立问题已知关于x的不等式x2xa10在R上恒成立，则实数a的取值范围是()A. BC. D【答案】D【解析】记f(x)x2xa1，则原问题等价于二次函数

8、f(x)x2xa1的最小值大于或等于0.而f(x)2a，当x时，f(x)mina，所以a0，解得a.故选D.2闭区间上的恒成立问题当0x2时，ax22x恒成立，则实数a的取值范围是( ) A(，1 D(，0C(，0) D(0，)【答案】C【解析】记f(x)x22x,0x2，因为ax22x恒成立，所以a，即a1时，f(x)的最大值为f(0)1.(2)当a1时，f(x)x2x1，其图象的对称轴为x.当t时，f(x)在t，t1上是增函数，f(x)minf(t)t2t1；当t1，即t时，f(x)在t，t1上是减函数，f(x)minf(t1)t2t1；当tt1，即t|31|，所以f(x)的最大值为f(2

9、)11.(3)当t1时，f(x)在t，t1上是增函数，所以当xt时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(t)t22t3.当t1t1，即0t1时，f(x)在t，t1上先递减后递增，故当x1时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(1)2.当t11，即t0时，f(x)在t，t1上是减函数，所以当xt1时，f(x)取得最小值，此时g(t)f(t1)t22，综上得g(t)2已知最值求参数二次函数f(x)x22x3在0，m上有最大值3，最小值1，则实数m的取值范围是_【答案】2,4【解析】因为f(x)x22x3在0,2上单调递减，在2，)上单调递增则当0m4时，最大值必大于f(4)3，此时条件不成立综上可

10、知，实数m的取值范围是2,4题型四函数最值的实际应用探究发现在函数的三个要素中，起决定作用的是哪两个要素？两个函数相等必须具备什么条件？【提示】起决定作用的是函数的对应关系和定义域，因为函数的值域由函数的定义域和对应关系确定；当两个函数的定义域和对应关系相同时，这两个函数就相等 【例4】一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x(xN*)件当x20时，年销售总收入为(33xx2)万元；当x20时，年销售总收入为260万元记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元(年利润年销售总收入年总投资)(1)求y(万元)与x(件)的函数关系式；

11、(2)当该工厂的年产量为多少件时，所得年利润最大？最大年利润是多少？【解析】(1)当0x20时，y(33xx2)x100x232x100；当x20时，y260100x160x.故y(xN*)(2)当0x20时，yx232x100(x16)2156，当x16时，ymax156.而当x20时，160x140，故x16时取得最大年利润，最大年利润为156万元即当该工厂年产量为16件时，取得最大年利润为156万元【方法技巧】求解实际问题的4步骤【变式训练】1用长度为24 m的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_ m.【答案】3【解析】设隔墙长度为x m，场地面积为S

12、m2，则Sx12x2x22(x3)218.所以当x3时，S有最大值2将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？【解析】设售价为x元，利润为y元，单个涨价(x50)元，销量减少10(x50)个，销量为50010(x50)(1 00010x)个，则y(x40)(1 00010x)10(x70)29 000.故当x70时，ymax9 000.即售价为70元时，利润最大值为9 000元课堂思维激活一、综合性强调融会贯通1请先阅读下列材料，然后回答问题对于问题“已知函数f(x)，问函数f(x)

13、是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由”一个同学给出了如下解答：令u32xx2，则u(x1)24，当x1时，u有最大值，umax4，显然u没有最小值故当x1时，f(x)有最小值，没有最大值(1)你认为上述解答是否正确？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；(2)试研究函数y的最值情况【提示】不正确，没有考虑到u可以小于零.【正解如下】令u32xx2，则u(x1)244，当0u4时，即f(x)；当u0时，0，即f(x)0.f(x)0或f(x)，即f(x)既无最大值，也无最小值(2)x2x22，0y，函数y的最大值为，无最小值二、创新性强调创新意识和创新思维2对于函

14、数f(x)，在使f(x)M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax叫做函数f(x)的下确界，则对于aR，a24a6的下确界为_【答案】2【解析】设f(a)a24a6，f(a)M，即f(a)minM.而f(a)(a2)22，f(a)minf(2)2.M2.Mmax2.1函数f(x)的最大值为()A1B2C.D.【答案】B【解析】当x1时，函数f(x)为减函数，此时f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)1；当x0时，函数y在3,8上单调递减，函数在3,8上的最大值为1，1，k1；当k0时，函数y在3,8上单调递增，函数在3,8上的最大值为1，1，k6(舍去)故选A.4已知函数f(x)x2

15、4xa，x0,1，若f(x)有最小值2，则f(x)的最大值为()A1B0C1D2【答案】C【解析】因为f(x)(x24x4)a4(x2)24a，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x2.所以f(x)在0,1上单调递增又因为f(x)min2，所以f(0)2，即a2.所以f(x)maxf(1)1421.5某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1x221x和L22x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A90万元B60万元C120万元D120.25万元【答案】C【解析】设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15x)辆，公司获利为Lx221x2(

16、15x)x219x30230，当x9或10时，L最大为120万元6函数y，x3，1的最大值与最小值的差是_【答案】【解析】易证函数y在3，1上为增函数，所以ymin，ymax1，所以ymaxymin1.7已知函数f(x)x26x8，x1，a，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是_【答案】 (1,3【解析】如图可知f(x)在1，a内是单调递减的，又f(x)的单调递减区间为(，3，1a3.8用长度为24 m的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_m.【答案】3【解析】设隔墙的长度为x m，场地面积为S m2，则Sx12x2x22(x3)218，所

17、以当x3时，S有最大值18.9求函数f(x)在区间2,5上的最大值与最小值【解析】任取2x1x25，则f(x2)f(x1).因为2x1x25，所以x1x20，x110.所以f(x2)f(x1)0.即f(x2)2xm恒成立，求实数m的取值范围【解析】(1)设f(x)ax2bxc(a0)，f(0)2，c2，f(x)ax2bx2.f(x1)f(x)2x，2axab2x，解得f(x)x2x2.(2)由题意知x2x22xm在1,1上恒成立，即x23x2m0在1,1上恒成立令g(x)x23x2m2m(x1,1)，则g(x)在区间1,1上是减函数，g(x)ming(1)132m0，m0时，f(x)的最小值为

18、f(1)2；当x0时，f(x)的最小值为f(0)a.若f(0)是f(x)的最小值，则a2.12(多选)已知函数f(x)2x1(x2,2)，g(x)x22x(x0,3)，下列结论正确的是()Ax2,2，f(x)a恒成立，则实数a的取值范围是aa，则实数a的取值范围是a3Cx0,3，g(x)a，则实数a的取值范围是1a3Dx2,2，t0,3，f(x)g(t)【答案】AC【解析】在A中，因为f(x)2x1(x2,2)是单调递减函数，所以当x2时，函数的最小值为3，因此a3，A正确；在B中，因为f(x)2x1(x2,2)是单调递减函数，所以当x2时，函数的最大值为5，因此a0)在区间0,2上的最大值等

19、于8，则a_；函数yf(x)在区间2,1上的值域为_【答案】1【解析】由题知函数f(x)图象的对称轴为直线x0，那么该函数在(0, 上是减函数，在，)上是增函数(1)已知f(x)，x0,1，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域；(2)对于(1)中的函数f(x)和函数g(x)x2a，若对于任意的x10,1，总存在x20,1，使得g(x2)f(x1)成立，求实数a的值【解析】(1)f(x)2x18，设u2x1，x0,1，则1u3，故yu8，u1,3由已知性质得，当1u2，即0x时，f(x)单调递减，所以递减区间为；当2u3，即x1时，f(x)单调递增，所以递增区间为.由f(0)3，f4，f(1)，得f(x)的值域为4，3(2)由于g(x)x2a，x0,1为减函数，故g(x)12a，2a由题意，知f(x)的值域为g(x)的值域的子集，从而解得a.