专题13确定圆的条件、直线和圆的位置关系 （5个知识点8种题型）（解析版）.docx

1、专题13确定圆的条件、直线和圆的位置关系 （5个知识点8种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】 脉络梳理法知识点1.确定圆的条件知识点2.直线和圆的位置关系（重点）知识点3.切线的性质（重点）知识点4.圆的切线的判定（难点）知识点5.三角形的内切圆、内心（重点）【方法二】 实例探索法题型1.确定已知圆的圆心题型2.证明多点共圆题型3.判断直线与圆的位置关系题型4.直线和圆的位置关系与平面直角坐标系的综合应用题型5.切线的性质与判定的综合应用题型6.三角形内切圆的计算与证明题型7.探究题题型8.直线和圆的位置关系与函数的综合【方法三】成果评定法【学习目标】1. 掌握确定一个圆的条件，能画出三

2、角形的外接圆。2. 会求出特殊三角形的外接圆的半径。3.掌握直线和圆的位置关系，能用数量关系来判断直线与圆的位置关系。4.理解切线的性质及判定，能运用切线的性质解决问题。【知识导图】 【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆【例1】（2022秋盐都区期中）下列说法正确的是（）A等弧所

3、对的圆心角相等B在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等C过三点可以画一个圆D平分弦的直径，平分这条弦所对的弧【解答】解：A、等弧所对的圆心角相等，说法正确，本选项符合题意；B、在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，本选项不符合题意；C、过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法不正确，本选项不符合题意；D、平分弦（非直径）的直径，平分这条弦所对的弧，说法不正确，本选项不符合题意故选：A【变式】（2022秋江宁区校级月考）下列说法：长度相等的弧是等弧；相等的圆心角所对的弧相等；直径是圆中最长的弦；经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆其中正确的有（）A1个B2个C3个D4

4、个【解答】解：长度相等的弧不一定是等弧，故原命题错误，不符合题意；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；直径是圆中最长的弦，正确，符合题意；经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆，正确，符合题意，正确的有2个，故选：B知识点2.直线和圆的位置关系（重点）(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和

5、点(圆心)的位置关系下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定【例2】（2022秋宜兴市期末）已知O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与O的位置关系是（）A相交B相切C相离D无法确定【解答】解：O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为7cm，67，直线l与O相离故选：C【变式】（2022秋亭湖区校级月考）已知O的半径是一元二次方程x22x30的一个根，圆心O到直线l的距离d4，则直线l与O的位置关系

6、是（）A相交B相切C相离D平行【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解【解答】解：x22x30，x11，x23，O的半径为一元二次方程程x22x30的根，r3，dr，直线l与O的位置关系是相离，故选：C【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定知识点3.切线的性质（重点）（1）切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：直线过圆心；

7、直线过切点；直线与圆的切线垂直（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系简记作：见切点，连半径，见垂直【例3】如图，圆O是RtABC的外接圆，ACB=90，A=25，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则D的度数是（）A25B40C50D65【答案】B【解析】解：连接OC，圆O是RtABC的外接圆，ACB=90，AB是直径，A=25，BOC=2A=50，CD是圆O的切线，OCCD，D=90BOC=40故选B【变式】（2022秋崇川区校级月考）如图，AB是O的直径，点P是O外一点，PO交O于点C，连接BC，PA若P36，且PA与O相切，则此时

8、B等于（）A27B32C36D54【分析】先利用切线的性质求出AOP54，再利用等腰三角形的性质即可得出结论【解答】解：PA是O的切线，PAO90，AOP90P54，OBOC，AOP2B，BAOP27，故选：A【点评】此题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，求出AOP是解本题的关键知识点4.圆的切线的判定（难点）（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（2）在应用判定定理时注意：切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“

9、这个结论直接得出来的在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.【例4】（2023沛县模拟）如图，AD是O的弦，AB经过圆心O交O于点C，AB30，连接BD求证：BD是O的切线【解答】如图，连接OD，ODOA，ODADAB30，DOBODA+DAB60

10、，ODB180DOBB180603090，即ODBD，直线BD与O相切【变式】如图，在ABC中，CAB=90，CBA=50，以AB为直径作O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA（1）求DOA的度数；（2）求证：直线ED与O相切【答案与解析】（1）解；DBA=50，DOA=2DBA=100，（2）证明：连接OE在EAO与EDO中，EAOEDO，EDO=EAO，BAC=90，EDO=90，DE与O相切知识点5.三角形的内切圆、内心（重点）1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的

11、内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB； (3)内心

12、在三角形内部.【例5】（2023泗阳县一模）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（）A3步B5步C6步D8步【解答】解：如图，在RtABC中，AC8，BC15，C90，AB17，SABCACBC81560，设内切圆的圆心为O，分别连接圆心和三个切点，及OA、OB、OC，设内切圆的半径为r，SABCSAOB+SBOC+SAOCr（AB+BC+AC）20r，20r60，解得r3，内

13、切圆的直径为6步，故选：C【方法二】实例探索法题型1.确定已知圆的圆心1在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 【解答】解：A（1，3），B（3，3），C（5，1）不在同一直线上经过点A，B，C可以确定一个圆该圆圆心必在线段AB的垂直平分线上设圆心坐标为M（2，m）则点M在线段BC的垂直平分线上MBMC由勾股定理得：(2-3)2+(m-3)2=(2-5)2+(m-1)21+m26m+99+m22m+1m0圆心坐标为M（2，0）故答案为：（2，0）2（2022春射阳县校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B

14、，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 【解答】解：从图形可知：A点的坐标是（0，2），B点的坐标是（1，3），C点的坐标是（3，3），连接AB，作线段AB和线段BC的垂直平分线MN、EF，两线交于Q，则Q是圆弧的圆心，如图，Q点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）题型2.证明多点共圆3.如图，在中，的中点为O求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上【详解】证明：连接，AB的中点为O，A，B，C，D四点在以O为圆心，长为半径的圆上4如图所示，BD，CE是ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上【答案与解析】证明：如图所示，取BC的中点F，连接DF，E

15、FBD，CE是ABC的高，BCD和BCE都是直角三角形DF，EF分别为RtBCD和RtBCE斜边上的中线，DF=EF=BF=CFE，B，C，D四点在以F点为圆心，BC为半径的圆上5已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点(1)线段与有何关系说明理由；(2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上说明理由【详解】（1）解：且证明：、分别是、的中点，又，在直角中，；（2）连接，在直角中，在以为圆心、长为半径的圆上题型3.判断直线与圆的位置关系6（2022春九年级课时练习）如图，已知O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为 7cm（1）怎样平移直线l，才能使l与O相切？（2）要使直

16、线l与O相交，设把直线l向上平移 xcm，求x的取值范围【答案】（1）将直线l向上平移2cm或12cm；（2）2cmx12cm【详解】解：（1）O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为7cm，将直线l向上平移7-5=2（cm）或7+5=12（cm），才能使l与O相切；（2）由（1）知，要使直线l与O相交，直线l向上平移的距离大于2cm且小于12cm，2cmx12cm，x的取值范围为：2cmx12cm7（2022春全国九年级专题练习）已知的半径为，点到直线的距离为，且直线与相切，若，分别是方程的两个根，求的值【答案】【详解】由题意可知方程的两根相等解得：题型4.直线和圆的位置关系与平面直角坐标

17、系的综合应用8（2023建邺区二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（4，5），P与x轴相切，点A，B在P上，它们的横坐标分别是0，9若P沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（）A（7+2，9）B（7+2.5，9）C（7+2，8）D（7+2.5，8）【解答】解：如图1，设P与x轴的切点为D，过点P作PCy轴于C，连接PD，PA，PDx轴，点P的坐标是（4，5），PC4，PD5，即P的半径为5，PAPD5，在RtPCA中，由勾股定理得：，延长CP与P相交，此时交点到点C的距离为9，而点B的横坐标为9，故交点为点B，DPB90，如图2，当点B第一次落在x轴上

18、时，P滚动了90，点B滚动的距离为：，点A的对应点为A，点C的对应点为C，点B的对应点为B，点P的对应点为P，此时ACAC3，PCPC4，点A的纵坐标为PC+54+59，点A的横坐标为PC+AC+2.54+3+2.57+2.5，点A的坐标为（7+2.5，9），即此时点A的坐标是（7+2.5，9），故选：B9（2023工业园区校级模拟）如图，半径为10的M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B点，连接AM、AC，AC平分OAM，AO+CO12（1）判断M与x轴的位置关系，并说明理由；（2）求AB的长【解答】解：（1）猜测M与x轴相切，理由如下：如图，连接OM，AC平分OAM，OACCAM，又MCAM

19、，CAMACM，OACACM，OAMC，OAx轴，MCx轴，CM是半径，M与x轴相切（2）如图，过点M作MNy轴于点N，ANBNAB，MCOAOCMNA90，四边形MNOC是矩形，NMOC，MCON10，设AOm，则OC12m，AN10m，在RtANM中，由勾股定理可知，AM2AN2+MN2，102（10m）2+（12m）2，解得m4或m18（舍去），AN6，AB12题型5.切线的性质与判定的综合应用10（2023邗江区二模）如图，ABC中，ABAC，O过B、C两点，且AB是O的切线，连接AO交劣弧BC于点P（1）证明：AC是O的切线；（2）若AB8，AP4，求O的半径【解答】（1）证明：AB

20、是O的切线，OBAB，ABO90在ABO和ACO中，ABOACO（SSS），ABOACO90，OCAC，OC为O的半径，AC是O的切线；（2）解：设O的半径为r，则OBr，OA4+r在RtOAB中，OB2+AB2OA2，r2+82（r+4）2，解得：r6O的半径为611已知AB是O的直径，点C在AB的延长线上，AB4，BC2，P是O上半部分的一个动点，连接OP，CP（1）如图，OPC的最大面积是 ；（2）如图，延长PO交O于点D，连接DB，当CPDB时，求证：CP是O的切线【解答】（1）解：AB4，OB2，OCOB+BC4在OPC中，设OC边上的高为h，SOPC=12OCh2h，当h最大时，S

21、OPC取得最大值观察图形，当OPOC时，h最大，如答图1所示：此时h半径2，SOPC224OPC的最大面积为4，故答案为：4（2）证明：如答图，连接AP，BPADAPDABD，AD=PB，AP=BD，APBD，CPDB，APCP，AC，在APB与CPO中，AP=CPA=CAB=CO，APBCPO（SAS），APBOPC，AB是直径，APB90，OPC90，DPPC，DP经过圆心，PC是O的切线题型6.三角形内切圆的计算与证明12（2023靖江市模拟）等腰三角形的底边长为12，腰长为10，该等腰三角形内心和外心的距离为 【解答】解：由题意：ABC为等腰三角形，ABAC10，BC12，O为它的外接

22、圆，O与三边相切于点D，E，F，连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，OB，如图，ABAC，AO所在的直线垂直平分BC，平分BAC，A，O，O，E在一条直线上，AEBC，BEEC6，AE8由题意：OAOBOC，ODOEOF，且ODAB，OEBC，OFAC，设OAOBOCR，ODOEOFr，则OE8R，SABCSOAB+SOBC+SOAC，BCAEABOD+BCOE+ACOF，12810r+12r+10r，r3OE3在RtOBE中，BE2+OE2OB2，62+（8R）2R2，解得：ROE8，OOOEOE该等腰三角形内心和外心的距离为故答案为：13（2023沭阳县一模）如图O是ABC的内切圆，切

23、点分别是D，E，F，其中AB6，BC9，AC11，若MN与O相切与G点，与AC，BC相交于M，N点，则CMN的周长等于 【解答】解：O是ABC的内切圆，且与MN相切于点G；根据切线长定理，设BFBDx，ADAEy，CFCEz，MEMG，NGNF；AB6，BC9，AC11，解得，CMN的周长CE+CF7+714，故答案为：14题型7.探究题14如图，在梯形中，ADBC，为的直径，动点从点开始，沿边向点以的速度运动，点从点开始，沿边向点以的速度运动，点、分别从点、出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒（1）当为何值时，四边形是平行四边形?（2）当为何值时，直线与相切?【答

24、案】（1）；（2）t=8或【详解】（1）由题意得：，四边形为平行四边形，解得：，当秒时，四边形为平行四边形；（2）作PEBC于E，由相切，得PQ=AP+BQ=262t，QE=264t，PE=8，（264t）2+64=（262t）2解得t=8或；当263=，当t=时运动停止，直线PQ与O相切时，t=8或题型8.直线和圆的位置关系与函数的综合15（2022春九年级课时练习）如图，已知直线yx6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（0，3）为圆心，3为半径的圆上一动点，连结PA、PB（1）求圆心C到直线AB的距离；（2）求PAB面积的最大值【答案】（1）；（2）51【详解】解：解：（1）如图1

25、，过C作于M，连接AC，MC的延长线交于N，由题意：，则由三角形面积公式得，圆心C到直线AB的距离是；（2）由（1）知，圆心C到直线AB的距离是则圆C上点到直线的最大距离是，故面积的最大值是：16（2022春全国九年级专题练习）如图，P为正比例函数图象上的一个动点，P的半径为3，设点P的坐标为（x、y）（1）求P与直线x=2相切时点P的坐标（2）请直接写出P与直线x=2相交、相离时x的取值范围【答案】（1）点P的坐标为（5，）或（1，）；（2）x5【详解】解：（1）过P作直线x=2的垂线，垂足为A； 当点P在直线x=2右侧时，AP=x-2=3，得x=5；当点P在直线x=2左侧时，PA=2-x=

26、3，得x=-1，当P与直线x=2相切时，点P的坐标为或；（2）由（1）可知当-1x5时，P与直线x=2相交当x-1或x5时，P与直线x=2相离17（2023全国九年级专题练习）新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与A有公共点，则称几何图形G为A的关联图形，特别地，若A的关联图形G为直线，则称该直线为A的关联直线如图1，M为A的关联图形，直线l为A的关联直线（1）已知O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：直线y2x+2；直线yx+3；双曲线y，是O的关联图形的是 （请直接写出正确的序号）（2）如图2，T的圆心为T（1，0），半径为1，直线l：yx+b与x轴交于点N，若直线l是T的关

27、联直线，求点N的横坐标的取值范围（3）如图3，已知点B（0，2），C（2，0），D（0，2），I经过点C，I的关联直线HB经过点B，与I的一个交点为P；I的关联直线HD经过点D，与I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线x6上且恰为I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围【答案】（1）；（2）点N的横坐标；（3）或【详解】解：（1）在坐标系中作出圆及三个函数图象，可得函数解析式与圆有公共点，故答案为：；（2）如图所示：直线l是的关联直线，直线l的临界状态是与相切的两条直线和，当临界状态为时，连接TM，当时，当时，为等腰直角三角形，点，同理可得当临界状态为时，点，点N的横坐标

28、；（3）如图所示：只考虑横坐标的取值范围，所以将的圆心I平移到x轴上，当点Q在点P的上方时，连接BP、DQ，交于点H；设点，直线HB的解析式为，直线HD的解析式为，当时，与互为相反数，可得，得，由图可得：，则，结合，解得：，当时，h的最大值为，如图所示：当点P在点Q的上方时，直线BP、DQ，交于点H，当圆心I在x轴上时， 设点，直线HB的解析式为，直线HD的解析式为，当时，与互为相反数，可得，得，由图可得：，则，结合，解得：，当时，h的最小值为，当时，两条直线与圆无公共点，不符合题意，综上可得：或【方法三】 成果评定法一选择题（共8小题）1（2023秋古冶区期中）如图，线段是的直径，是的弦，过

29、点作的切线交的延长线于点，则ABCD【分析】连接，根据切线的性质可知，再由直角三角形的性质得出的度数，由圆周角定理即可得出结论【解答】解：连接，是的切线，故选：【点评】本题考查的是切线的性质，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键2（2023秋长春期末）已知点是外一点，且的半径为6，则的长可能为A2B4C6D8【分析】根据点在圆外，点到圆心的距离大于圆的半径6可对各选项进行判断【解答】解：点是外一点，的长可能为8故选：【点评】本题考查了点与圆的位置关系：若半径为，点到圆心的距离为，则有当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内3（2023江西）如图，点，均在直线上，点在直线外，则

30、经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为A3个B4个C5个D6个【分析】根据不在同一直线上的三点确定一个圆即可得到结论【解答】解：根据经过不在同一直线上的三点确定一个圆得，经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为6个，故选：【点评】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆是解题的关键4（2023秋海曙区期中）下列说法正确的是A平分弦的直径垂直于弦B不在同一直线上的三点确定一个圆C直径是弦，弦是直径D长度相等的弧是等弧【分析】根据垂径定理的推论、确定圆的条件、弦的定义、等弧的定义判断即可【解答】解：、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本选项说法错误，不符合题意；、不在同一

31、直线上的三点确定一个圆，说法正确，符合题意；、直径是弦，弦不一定是直径，故本选项说法错误，不符合题意；、能够重合的弧是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；故选：【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握垂径定理的推论、确定圆的条件、弦的定义、等弧的定义是解题的关键5（2022秋谷城县期末）中，以点为圆心，为半径作，则正确的是A当时，直线与相交B当时，直线与相离C当时，直线与相切D当时，直线与相切【分析】过作于，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，和的半径比较即可【解答】解：过作于，在中，由勾股定理得：，由三角形面积公式得：，即到的距离等于的半径长，和的位置关系是相切，故选：【点评】本题考查

32、了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离6（2023秋南开区期末）如图，的内切圆分别与，相切于点，且，则的周长为A16B14C12D10【分析】由切线长定理得，则，则，于是得到问题的答案【解答】解：的内切圆分别与，相切于点，的周长为16，故选：【点评】此题重点考查三角形的内切圆的定义、切线长定理、三角形的周长等知识，证明，是解题的关键7（2023浠水县校级模拟）如图，为的外心，四边形为正方形以下结论：是的外心；是的外心；直线与的外接圆相切其中所有正确结论的序号是ABCD【分析】根据三角形的外心得出，根据正方形的性质得出，求出，再逐个判断即可【解答】解：连接、，

33、为锐角三角形的外心，四边形为正方形，是的外心，故本选项符合题意；，即不是的外心，故本选项不符合题意；，直线与的外接圆相切故本选项符合题意；故选：【点评】本题考查了切线的判定，正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等8（2023秋盐都区期中）如图，直线、相交于点，半径为的的圆心在直线上，且位于点左侧的距离处如果以的速度沿由向的方向移动，那么秒钟后与直线相切A3B7C3或7D6或14【分析】根据题意与相切分在直线左侧时在直线右侧时，求出运动的路程，即可根据速度求得时间【解答】解：由题意可知与相切于点，半径为，秒

34、当圆心在直线的右侧时，则需要运动的时间为7秒综上所述，与直线相切时经过的时间为3或7秒钟，故选：【点评】本题考查了直线与圆的位置关系和含角的直角三角形的性质，由含角的直角三角形的性质求出是解决问题的关键二填空题（共8小题）9（2023泗洪县二模）如图，在平面直角坐标系中，点，都在格点上，过，三点作一圆弧，则圆心的坐标是【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心【解答】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心如图所示，则圆心是故答案为：【点评】本题考查垂径定理的应用，解答此题的关键是熟知垂径定理，即“垂直于

35、弦的直径平分弦”10（2023秋舒兰市期末）若的面积为，在同一平面内有一点，若，则点在 内（填内或上或外）【分析】根据面积求半径，比较半径与点到圆心的距离的大小，然后作答即可【解答】解：的面积为，的半径为5，点在内，故答案为：内【点评】本题考查了点与圆的位置关系熟练掌握点在圆内是解题的关键11（2023秋长春期末）如图，是的切线，是切点，连结、若，则的大小为 54度【分析】根据切线的性质得到，然后利用互余计算出的度数【解答】解：是的切线，是切点，故答案为：54【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径12（2023秋黑龙江期末）若一直角三角形外接圆的半径为2.5，则这个直角三角

36、形的斜边长为 5【分析】根据直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半即可得出斜边长【解答】解：直角三角形外接圆的半径为2.5，斜边，故答案为：5【点评】本题考查了三角形的外接圆，熟记直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半是解决问题的关键13（2023秋日喀则市期末）如图，是的切线，点（不与，重合）是上任意一点，则的度数为 或【分析】连接，由切线的性质得到，求出，由圆周角定理求出，由圆内接四边形的性质求出，即可得到或【解答】解：如图，连接，是的切线，四边形内接于圆，可能在优弧上，也可能在劣弧上，或故答案为：或【点评】本题考查圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形的性质，关键是由圆周角定理求出14（202

37、3秋郾城区期中）如图，分别与相切于点，为的直径，若，则的形状是 等边三角形【分析】连接，根据正弦的定义求出，根据切线的性质得到，然后利用四边形内角和定理即可得是等边三角形【解答】解：如图，连接，为的直径，由圆周角定理得：，分别与相切于点，为等边三角形故答案为：等边三角形【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键15（2023秋青秀区月考）如图，在等边三角形中，若的半径为1，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 【分析】作于点，于点，连接、，先由，再根据勾股定理求得，由求得，由可知，当的值最小时，的值最小，所以当点与点重合时，的值最小，根

38、据勾股定理求出此时的值即可【解答】解：如图，作于点，于点，连接、，切于点，当的值最小时，的值最小，当点与点重合时，的值最小，此时，最小，故答案为：【点评】本题重点考查等边三角形的性质、圆的切线的性质、根据面积等式列方程求线段的长度、勾股定理、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键16（2022秋海珠区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为2的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当2或6或10时，与坐标轴相切【分析】设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，推出是等腰直角三角形，当与轴相切时，如图，与

39、轴和轴都相切时，当点只与轴相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论【解答】解：设与坐标轴的切点为，直线与轴、轴分别交于点、，点，时，时，时，是等腰直角三角形，当与轴相切时，点是切点，的半径是2，轴，是等腰直角三角形，点的速度为每秒个单位长度，；如图，与轴和轴都相切时，点的速度为每秒个单位长度，；当点只与轴相切时，点的速度为每秒个单位长度，综上所述，则当或6或10秒时，与坐标轴相切，故答案为：2或6或10【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键三解答题（共5小题）17（2023秋鼓楼区校级期中）如图，在中，点为边上一点，以点为圆心，长为半

40、径的圆与边相交于点，连接，且（1）求证：为的切线；（2）若，求半径的长【分析】（1）连接，利用圆周角定理可以得到，然后根据切线的判定方法可得结论；（2）设半径为，在直角三角形中，根据勾股定理列方程即可求出半径【解答】（1）证明：连接，如图，在中，即，是半径，是的切线；（2）解：，设半径为，则，在直角三角形中，即，半径的长为3【点评】此题考查的是切线的判定与性质、直角三角形的性质、弧长公式，正确作出辅助线是解决此题的关键18（2023秋中山区校级月考）如图1，一个圆形喷水池的中央是上下底面均为圆的几何体，喷水池内安装了竖直的喷水管，顶端的喷水头距水池底部0.2m，喷出的水柱呈抛物线形，其最高点距

41、水池底部2.6m，与水管的水平距离为2m，水柱的落点恰好在上底面的圆心处如图2，以下底面圆的圆心O为原点，下底面圆心O与一个喷水头的底部B所在直线为x轴，下、上两圆圆心O，C所在直线为y轴，建立平面直角坐标系测得上下底面的高度OC为2m，喷水头的底部B与下底面圆上点的最近距离BD为2.5m，那么底面圆的半径OD的长是多少？【分析】首先设ODr，根据题意写出点A、点C的坐标，以及抛物线的顶点坐标，然后设抛物线的解析式为顶点式，最后将点A、点C的坐标代入，建利方程组求得OD的长度【解答】解：设ODr，由题意可知，抛物线的顶点坐标的横坐标为2.5+r20.5+r，所以抛物线的顶点坐标是（0.5+r，

42、2.6）；则A点的坐标为（2.5+r，0.2），点C的坐标为（0，2）；设抛物线的解析式为ya（x0.5r）2+2.6，将点A、点B的坐标分别代入抛物线的解析式中得：，解得或（舍），ODr0.5m答：底面圆的半径OD的长是0.5m【点评】本题主要考查二次函数的解析式及性质，解决本题的关键是设抛物线的解析式为顶点式，找到哪些点在抛物线上，建利方程组19（2023秋黑龙江期末）如图，中，为边上一点，以为直径作，是的切线，过点作交的延长线于点，交于点，连接，（1）求证：平分；（2）求证【分析】（1）连接，由切线的性质和已知条件，证，得，由得，进而得，即可证得；（2）连接，由切线的性质可得，根据垂直于

43、同一条直线的两直线平行可得，由平行线的性质可得，由等边对等角可得，进而可得，根据四点共圆可知，于是即可通过证明【解答】证明：（1）如图，连接是的切线，平分（2），四边形是的内接四边形，【点评】本题主要考查切线的性质、平行线的性质、四点共圆、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识解决问题是解题关键20（2023秋潮南区期末）如图，矩形ABCD中，O经过点A，且与边BC相切于M点，O过CD边上的点N，且CMCN（1）求证：CD与O相切；（2）若BE2，AE6，求BC的长【分析】（1）连接OM，ON，MN，根据等腰三角形的性质得出CMNCNM，OMNONM，根据切线的性质可得OM

44、COMN+CMN90，进而可证明ONCD，最后根据切线的判定即可证明；（2）过点O作OGAB于G，连接OE，根据垂径定理求出CG，OE，然后证明四边形ABCD、OMCN是矩形，则可求BM，CM，即可求解【解答】（1）证明：连接OM，ON，MN，CMCN，OMON，CMNCNM，OMNONM，O与BC相切于M，OMBC，OMCOMN+CMN90，ONCONM+CNM90，ONCD，又ON是O的半径，CD与O相切；（2）解：过点O作OGAB于G，连接OE，BGBE+GE5，四边形ABCD是矩形，BC90，又OMBC，四边形OGBM是矩形，BMOG，OMBG5OEON，BM4，C90，OMBC，ON

45、CD，四边形OMCN是矩形，MCON5，BCBM+CM9【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键21（2023秋讷河市期末）如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，DCAB（1）求证：CD是O的切线；（2）若DEAB于点E，DE交AC于点F，且CD6，ED9，求EF的长【分析】（1）连接OC，由AB是O的直径得到BCA90，进一步得到A+B90，再根据已知条件DCAB，且OCAA即可证明OCD90进而求解；（2）证明A+DCA90，再由DEAB，得到A+EFA90，进而得到DCADFC，得到FDDC6，进而得到EF的长【解答】（1）证明：连结OC，OCOA，OCAA，AB是O的直径，BCA90，A+B90，OCA+B90，又DCAB，OCA+DCAOCD90，CD是O的切线；（2）解：OCA+DCA90，OCAA，A+DCA90，DEAB，A+EFA90，DCAEFA，又EFADFC，DCADFC，FDDC6，又ED9，EFEDFD3，即EF的长为3【点评】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定理是解决此类题的关键