专题13确定圆的条件、直线和圆的位置关系 （5个知识点8种题型）（原卷版）.docx

1、专题13确定圆的条件、直线和圆的位置关系 （5个知识点8种题型）【目录】倍速学习四种方法【方法一】 脉络梳理法知识点1.确定圆的条件知识点2.直线和圆的位置关系（重点）知识点3.切线的性质（重点）知识点4.圆的切线的判定（难点）知识点5.三角形的内切圆、内心（重点）【方法二】 实例探索法题型1.确定已知圆的圆心题型2.证明多点共圆题型3.判断直线与圆的位置关系题型4.直线和圆的位置关系与平面直角坐标系的综合应用题型5.切线的性质与判定的综合应用题型6.三角形内切圆的计算与证明题型7.探究题题型8.直线和圆的位置关系与函数的综合【方法三】成果评定法【学习目标】1. 掌握确定一个圆的条件，能画出三

2、角形的外接圆。2. 会求出特殊三角形的外接圆的半径。3.掌握直线和圆的位置关系，能用数量关系来判断直线与圆的位置关系。4.理解切线的性质及判定，能运用切线的性质解决问题。【知识导图】 【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆【例1】（2022秋盐都区期中）下列说法正确的是（）A等弧所

3、对的圆心角相等B在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等C过三点可以画一个圆D平分弦的直径，平分这条弦所对的弧【变式】（2022秋江宁区校级月考）下列说法：长度相等的弧是等弧；相等的圆心角所对的弧相等；直径是圆中最长的弦；经过不在同一直线上的三个点A、B、C只能作一个圆其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个知识点2.直线和圆的位置关系（重点）(1) 相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交这时直线叫做圆的割线(2) 相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点(3) 相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离由于圆心确定圆的位置，半径确

4、定圆的大小，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点(圆心)的位置关系下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径；图(2)中直线与圆心的距离等于半径；图(3)中直线与圆心的距离大于半径要点诠释： 这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定【例2】（2022秋宜兴市期末）已知O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与O的位置关系是（）A相交B相切C相离D无法确定【变式】（2022秋亭湖区校级月考）已知O的半径是一元二次方程x22x30的一个根，圆心O到直线l的距离d4，则直线l与O的位置关系是（）A相交B相切C相离D平行

5、知识点3.切线的性质（重点）（1）切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：直线过圆心；直线过切点；直线与圆的切线垂直（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系简记作：见切点，连半径，见垂直【例3】如图，圆O是RtABC的外接圆，ACB=90，A=25，过点C作圆O的切线，交AB的延长线于点D，则D的度数是（）A25B40C50D65【变式】（2022秋崇川区校级月考）如

6、图，AB是O的直径，点P是O外一点，PO交O于点C，连接BC，PA若P36，且PA与O相切，则此时B等于（）A27B32C36D54知识点4.圆的切线的判定（难点）（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线（2）在应用判定定理时注意：切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知

7、条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可.【例4】（2023沛县模拟）如图，AD是O的弦，AB经过圆心O交O于点C，AB30，连接BD求证：BD是O的切线【变式】如图，在ABC中，CAB=90，CBA=50，以AB为直径作O交BC于点D，点E在边AC上，且满足ED=EA（1）求DOA的度数；（2）求证：直线ED与O相切知识点5.三角形的内切圆、内心（重点）1.三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2

8、三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心. 三角形的内心到三边的距离都相等.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).(3) 三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心(三角形外接圆的圆心)三角形三边中垂线的交点(1) 到三角形三个顶点的距离相等，即OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部内心(三角形内切圆的圆心)三角形三条角平分线的交点(1)

9、到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB； (3)内心在三角形内部.【例5】（2023泗阳县一模）九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“今有直角三角形，勾（短直角边）长为八步，股（长直角边）长为十五步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少？”此问题中，该内切圆的直径长是（）A3步B5步C6步D8步【方法二】实例探索法题型1.确定已知圆的圆心1在平面直角坐标系中有A，B，C三点，A（1，3），B（3，3），C（5，1）现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为 2（2022春射阳

10、县校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为 题型2.证明多点共圆3.如图，在中，的中点为O求证：A，B，C，D四点在以O为圆心的圆上4如图所示，BD，CE是ABC的高，求证：E，B，C，D四点在同一个圆上5已知：如图，在正方形中，、分别是、的中点(1)线段与有何关系说明理由；(2)延长、交于点H，则B、D、G、H这四个点是否在同一个圆上说明理由题型3.判断直线与圆的位置关系6（2022春九年级课时练习）如图，已知O的半径为5cm，点O到直线l的距离OP为 7cm（1）怎样平移直线l，才能使l与O相切？（2）要使直线l

11、与O相交，设把直线l向上平移 xcm，求x的取值范围7（2022春全国九年级专题练习）已知的半径为，点到直线的距离为，且直线与相切，若，分别是方程的两个根，求的值题型4.直线和圆的位置关系与平面直角坐标系的综合应用8（2023建邺区二模）如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标是（4，5），P与x轴相切，点A，B在P上，它们的横坐标分别是0，9若P沿着x轴向右作无滑动的滚动，当点B第一次落在x轴上时，此时点A的坐标是（）A（7+2，9）B（7+2.5，9）C（7+2，8）D（7+2.5，8）9（2023工业园区校级模拟）如图，半径为10的M经过x轴上一点C，与y轴交于A、B点，连接AM、AC，AC

12、平分OAM，AO+CO12（1）判断M与x轴的位置关系，并说明理由；（2）求AB的长题型5.切线的性质与判定的综合应用10（2023邗江区二模）如图，ABC中，ABAC，O过B、C两点，且AB是O的切线，连接AO交劣弧BC于点P（1）证明：AC是O的切线；（2）若AB8，AP4，求O的半径11已知AB是O的直径，点C在AB的延长线上，AB4，BC2，P是O上半部分的一个动点，连接OP，CP（1）如图，OPC的最大面积是 ；（2）如图，延长PO交O于点D，连接DB，当CPDB时，求证：CP是O的切线题型6.三角形内切圆的计算与证明12（2023靖江市模拟）等腰三角形的底边长为12，腰长为10，该

13、等腰三角形内心和外心的距离为 13（2023沭阳县一模）如图O是ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，其中AB6，BC9，AC11，若MN与O相切与G点，与AC，BC相交于M，N点，则CMN的周长等于 题型7.探究题14如图，在梯形中，ADBC，为的直径，动点从点开始，沿边向点以的速度运动，点从点开始，沿边向点以的速度运动，点、分别从点、出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为秒（1）当为何值时，四边形是平行四边形?（2）当为何值时，直线与相切?题型8.直线和圆的位置关系与函数的综合15（2022春九年级课时练习）如图，已知直线yx6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是

14、以C（0，3）为圆心，3为半径的圆上一动点，连结PA、PB（1）求圆心C到直线AB的距离；（2）求PAB面积的最大值16（2022春全国九年级专题练习）如图，P为正比例函数图象上的一个动点，P的半径为3，设点P的坐标为（x、y）（1）求P与直线x=2相切时点P的坐标（2）请直接写出P与直线x=2相交、相离时x的取值范围17（2023全国九年级专题练习）新定义：在平面直角坐标系xOy中，若几何图形G与A有公共点，则称几何图形G为A的关联图形，特别地，若A的关联图形G为直线，则称该直线为A的关联直线如图1，M为A的关联图形，直线l为A的关联直线（1）已知O是以原点为圆心，2为半径的圆，下列图形：直

15、线y2x+2；直线yx+3；双曲线y，是O的关联图形的是 （请直接写出正确的序号）（2）如图2，T的圆心为T（1，0），半径为1，直线l：yx+b与x轴交于点N，若直线l是T的关联直线，求点N的横坐标的取值范围（3）如图3，已知点B（0，2），C（2，0），D（0，2），I经过点C，I的关联直线HB经过点B，与I的一个交点为P；I的关联直线HD经过点D，与I的一个交点为Q；直线HB，HD交于点H，若线段PQ在直线x6上且恰为I的直径，请直接写出点H横坐标h的取值范围【方法三】 成果评定法一选择题（共8小题）1（2023秋古冶区期中）如图，线段是的直径，是的弦，过点作的切线交的延长线于点，则AB

16、CD2（2023秋长春期末）已知点是外一点，且的半径为6，则的长可能为A2B4C6D83（2023江西）如图，点，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为A3个B4个C5个D6个4（2023秋海曙区期中）下列说法正确的是A平分弦的直径垂直于弦B不在同一直线上的三点确定一个圆C直径是弦，弦是直径D长度相等的弧是等弧5（2022秋谷城县期末）中，以点为圆心，为半径作，则正确的是A当时，直线与相交B当时，直线与相离C当时，直线与相切D当时，直线与相切6（2023秋南开区期末）如图，的内切圆分别与，相切于点，且，则的周长为A16B14C12D107（2023浠水县校级模拟）如

17、图，为的外心，四边形为正方形以下结论：是的外心；是的外心；直线与的外接圆相切其中所有正确结论的序号是ABCD8（2023秋盐都区期中）如图，直线、相交于点，半径为的的圆心在直线上，且位于点左侧的距离处如果以的速度沿由向的方向移动，那么秒钟后与直线相切A3B7C3或7D6或14二填空题（共8小题）9（2023泗洪县二模）如图，在平面直角坐标系中，点，都在格点上，过，三点作一圆弧，则圆心的坐标是10（2023秋舒兰市期末）若的面积为，在同一平面内有一点，若，则点在 （填内或上或外）11（2023秋长春期末）如图，是的切线，是切点，连结、若，则的大小为 度12（2023秋黑龙江期末）若一直角三角形外

18、接圆的半径为2.5，则这个直角三角形的斜边长为 13（2023秋日喀则市期末）如图，是的切线，点（不与，重合）是上任意一点，则的度数为 14（2023秋郾城区期中）如图，分别与相切于点，为的直径，若，则的形状是 15（2023秋青秀区月考）如图，在等边三角形中，若的半径为1，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 16（2022秋海珠区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，半径为2的的圆心从点（点在直线上）出发以每秒个单位长度的速度沿射线运动，设点运动的时间为秒，则当时，与坐标轴相切三解答题（共5小题）17（2023秋鼓楼区校级期中）如图，在中，点为边上一点，

19、以点为圆心，长为半径的圆与边相交于点，连接，且（1）求证：为的切线；（2）若，求半径的长18（2023秋中山区校级月考）如图1，一个圆形喷水池的中央是上下底面均为圆的几何体，喷水池内安装了竖直的喷水管，顶端的喷水头距水池底部0.2m，喷出的水柱呈抛物线形，其最高点距水池底部2.6m，与水管的水平距离为2m，水柱的落点恰好在上底面的圆心处如图2，以下底面圆的圆心O为原点，下底面圆心O与一个喷水头的底部B所在直线为x轴，下、上两圆圆心O，C所在直线为y轴，建立平面直角坐标系测得上下底面的高度OC为2m，喷水头的底部B与下底面圆上点的最近距离BD为2.5m，那么底面圆的半径OD的长是多少？19（2023秋黑龙江期末）如图，中，为边上一点，以为直径作，是的切线，过点作交的延长线于点，交于点，连接，（1）求证：平分；（2）求证20（2023秋潮南区期末）如图，矩形ABCD中，O经过点A，且与边BC相切于M点，O过CD边上的点N，且CMCN（1）求证：CD与O相切；（2）若BE2，AE6，求BC的长21（2023秋讷河市期末）如图，O是ABC的外接圆，AB是O的直径，DCAB（1）求证：CD是O的切线；（2）若DEAB于点E，DE交AC于点F，且CD6，ED9，求EF的长